胡小亮 謝志江 吳小勇 劉 飛 盧 超 唐小斌

(1.重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 重慶 400044; 2.重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 重慶 400054)

0 引言

在某大型連續(xù)式跨聲速風(fēng)洞半柔壁噴管段中，需要設(shè)計(jì)一種重載3自由度調(diào)整機(jī)構(gòu)，調(diào)整其中的喉塊段，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)剛?cè)狁詈献冃螀f(xié)調(diào)、精度控制[1-3]。冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可以提高機(jī)構(gòu)的承載能力與控制精度，獲得較好的剛度特性及動(dòng)態(tài)性能[4-5]。但冗余驅(qū)動(dòng)中驅(qū)動(dòng)數(shù)大于自由度數(shù)，驅(qū)動(dòng)力與功率分配理論上有無(wú)窮多解，需要根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析可以通過拉格朗日法、牛頓-歐拉法、凱恩法、虛功原理等方法[6-12]得到機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。DONG等[13]采用加權(quán)偽逆法優(yōu)化了驅(qū)動(dòng)力分配，并減小了最大驅(qū)動(dòng)力。NOKLEBY等[14]采用無(wú)約束方法對(duì)冗余并聯(lián)機(jī)器人的力旋量能力進(jìn)行求解，結(jié)果表明冗余驅(qū)動(dòng)能夠明顯提升機(jī)構(gòu)的承載能力。王立平等[15-16]采用最小化驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)對(duì)驅(qū)動(dòng)力進(jìn)行了優(yōu)化。卿建喜等[17]提出了最小化驅(qū)動(dòng)器最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)功率和最大瞬時(shí)驅(qū)動(dòng)力的優(yōu)化方法，與非冗余驅(qū)動(dòng)方式相比，冗余驅(qū)動(dòng)能夠顯著降低驅(qū)動(dòng)器的瞬時(shí)負(fù)載和瞬時(shí)輸出功率。LEE等[18-20]利用驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)及能量矩對(duì)2自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了能耗優(yōu)化，結(jié)果表明其明顯降低了系統(tǒng)的功耗；文獻(xiàn)[21-22]分析了優(yōu)化動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡，表明能減少冗余驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)功耗。

本文對(duì)平面3自由度4-PRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)求解，提出驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)與最小驅(qū)動(dòng)總功率優(yōu)化方法并對(duì)此機(jī)構(gòu)功率進(jìn)行優(yōu)化，由驅(qū)動(dòng)功率得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)功耗，與非冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，得到冗余驅(qū)動(dòng)優(yōu)化方法的優(yōu)化特征。

1 機(jī)構(gòu)模型描述與運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解

1.1 機(jī)構(gòu)模型描述

圖1 8-PRR/6-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic of 8-PRR/6-PRR parallel mechanism

喉塊段驅(qū)動(dòng)實(shí)際結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由喉塊、固定基座及連接兩個(gè)平臺(tái)的拉桿構(gòu)成。機(jī)構(gòu)共有4組8條運(yùn)動(dòng)支鏈，每條分支包含相同的運(yùn)動(dòng)部件和運(yùn)動(dòng)副，每條支鏈由1個(gè)滑塊導(dǎo)軌移動(dòng)副P和2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副R組成，移動(dòng)副P為驅(qū)動(dòng)副。將8-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的第3條和第7條支鏈移除即得到非冗余驅(qū)動(dòng)的6-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

由于此機(jī)構(gòu)為1R2T三自由度機(jī)構(gòu)，且關(guān)于xoy平面對(duì)稱，為便于分析，機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化為平面4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖2所示。將4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的第3條支鏈移除即得到非冗余驅(qū)動(dòng)的3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

圖2 4-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic of 4-PRR parallel mechanism

在基座A2建立定坐標(biāo)系oxyz，在喉塊質(zhì)心處建立動(dòng)坐標(biāo)系o′x′y′z′。各移動(dòng)副之間的軸線距離為si，拉桿長(zhǎng)度為li，下鉸鏈點(diǎn)Ci到平面x′z′的距離為hi, 下鉸鏈點(diǎn)Ci到平面y′z′的距離為ki。其中C1、C2、C3在y′軸的負(fù)方向，C4在y′軸的正方向。第i條支鏈的封閉矢量圖如圖3所示。其中，si為移動(dòng)副軸線在定坐標(biāo)系中沿x軸的位置矢量，ei為移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)方向單位矢量，ni為上鉸鏈點(diǎn)到移動(dòng)副軸線的距離矢量，ui為拉桿的單位方向矢量，ci為下鉸鏈點(diǎn)到動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)的矢量。

圖3 第i條支鏈封閉矢量圖Fig.3 Vector diagram of the ith PRR kinematic chain

如圖2、3所示，動(dòng)平臺(tái)的位姿可由一個(gè)位置矢量r和一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣oRo′描述。動(dòng)平臺(tái)繞定坐標(biāo)系z(mì)軸旋轉(zhuǎn)角為θ，則位置矢量r和動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣oRo′分別為

(1)

(2)

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)求解

平面4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)和3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方法相同，本節(jié)以4-PRR關(guān)聯(lián)機(jī)構(gòu)為模型進(jìn)行求解。

1.2.1位置逆解

如圖3所示，建立位置封閉矢量方程

(3)

則該機(jī)構(gòu)的位置逆解模型為

(4)

將已知結(jié)構(gòu)參數(shù)條件代入式(4)，得到4條驅(qū)動(dòng)支鏈的位置逆解表達(dá)式為

(5)

(6)

(7)

(8)

其中sθ表示sinθ，cθ表示cosθ。

1.2.2雅可比矩陣及速度求解

求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣一般使用微分變換法或者矢量積法。針對(duì)該冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)采用基于符號(hào)運(yùn)算的微分變換法，求出一階影響系數(shù)矩陣，并采用一階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)對(duì)該機(jī)構(gòu)速度雅可比矩陣快速求解。

滑塊位置可以表示為

(9)

將式(9)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得到滑塊速度為

(10)

即得到該機(jī)構(gòu)末端速度與驅(qū)動(dòng)速度的映射關(guān)系為

(11)

(12)

其中

J——雅可比矩陣，機(jī)構(gòu)的一階影響系數(shù)矩陣

對(duì)于3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，雅可比矩陣為3×3的方陣。

1.2.3加速度求解

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)反映了機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)本質(zhì)。本文利用機(jī)構(gòu)的二階運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)求解滑塊加速度。

將式(10)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)表示為

(13)

式中Hi——二階影響系數(shù)矩陣

由式(13)求解得驅(qū)動(dòng)加速度

(14)

2 動(dòng)力學(xué)建模

動(dòng)力學(xué)建模方法主要包括牛頓-歐拉法、凱恩法、拉格朗日功能平衡法以及虛功原理法。虛功原理建模方法在執(zhí)行效率和算法上更為出色。本文采用虛功原理進(jìn)行冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型建模。由于拉桿的質(zhì)量相對(duì)于動(dòng)平臺(tái)、滑塊及推桿的質(zhì)量較小，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也較小，把拉桿質(zhì)量轉(zhuǎn)換到動(dòng)平臺(tái)和滑塊質(zhì)量上。

動(dòng)平臺(tái)在風(fēng)洞流場(chǎng)中做平面運(yùn)動(dòng)，為便于分析，將其擴(kuò)展到空間運(yùn)動(dòng)。對(duì)于動(dòng)平臺(tái)，外力、慣性力和重力合力為

(15)

式中mp——?jiǎng)悠脚_(tái)、下鉸鏈及每根拉桿一半質(zhì)量的質(zhì)量和

fe——作用于動(dòng)平臺(tái)的外力

ne——作用于動(dòng)平臺(tái)的外力矩

wp——?jiǎng)悠脚_(tái)角速度

oIp——?jiǎng)悠脚_(tái)在定坐標(biāo)系下的慣性張量

對(duì)支鏈i的滑塊及推桿，只有平動(dòng)，則作用在滑塊上的驅(qū)動(dòng)力、慣性力和重力合力為

(16)

式中mqi——第i條支鏈上滑塊、推桿、上鉸鏈及一半拉桿的質(zhì)量和

N——滑塊慣性力

Ni——第i條支鏈上的慣性力

f——滑塊驅(qū)動(dòng)力

fi——第i條支鏈上的驅(qū)動(dòng)力

由式(15)、(16)可得，虛功原理可描述為

(17)

其中

δxp=[δxpδypδθp]T

式中 δxp——?jiǎng)悠脚_(tái)虛位移

δq——驅(qū)動(dòng)虛位移

式(17)中，虛位移δxp與δq滿足機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)的約束，其關(guān)系為

δq=Jδxp

(18)

將式(18)代入式(17)得

(19)

式(19)對(duì)任意的δxp均成立，因此有

Fp+JTf+JTN=0

(20)

其中

(21)

(JT)+=J(JTJ)-1

f0=(E-(JT)+JT)

式中 (JT)+——JT的廣義逆矩陣

f0——JT的零空間基向量

K——JT的零空間基向量系數(shù)

E——單位矩陣

對(duì)于3-PRR非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，(JT)+為JT的逆矩陣，f0不存在。對(duì)于4-PRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，式(21)有4個(gè)未知數(shù)、3個(gè)線性方程，故解不是唯一的；對(duì)于3-PRR非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，解是唯一的。

3 驅(qū)動(dòng)輸入功率分析

對(duì)3-PRR非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入功率進(jìn)行分析；并利用驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)解、周期內(nèi)功耗最小兩種方法分別對(duì)4-PRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入力、功率進(jìn)行優(yōu)化分析。

3.1 3-PRR非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)功率

對(duì)于3-PRR非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其輸入驅(qū)動(dòng)力和驅(qū)動(dòng)功率為

f=-(JT)-(Fp+JTN)

(22)

(23)

其中

3.2 4-PRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)功率

對(duì)于4-PRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分別利用驅(qū)動(dòng)力的二范數(shù)解和最小驅(qū)動(dòng)總功率兩種方法求解。

3.2.1驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解

對(duì)該冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，驅(qū)動(dòng)力配置方式有無(wú)窮多種，利用驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解，式(21)可寫為

f=-(JT)+(Fp+JTN)

(24)

驅(qū)動(dòng)功率

(25)

其中

即為4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解得的驅(qū)動(dòng)器輸出功率。

3.2.2最小驅(qū)動(dòng)總功率解

由式(21)可得，驅(qū)動(dòng)功率為

(26)

其中

對(duì)于第i個(gè)驅(qū)動(dòng)器，雖然輸出功率在一個(gè)周期內(nèi)有正負(fù)，其輸出功總是正的，故在由功率對(duì)時(shí)間在一個(gè)周期內(nèi)積分時(shí)，應(yīng)該對(duì)功率取絕對(duì)值，即

(27)

式中ts——開始時(shí)間te——結(jié)束時(shí)間

則，一個(gè)周期驅(qū)動(dòng)器總的輸出功

由式(26)可知,瞬時(shí)輸出功率解不唯一，為使一個(gè)周期內(nèi)輸出功最少，則瞬時(shí)輸出總功率應(yīng)該最小，瞬時(shí)輸出總功率為

Ps=|P1|+|P2|+|P3|+|P4|

(28)

其中，Ps為關(guān)于零空間系數(shù)K的非線性函數(shù)。當(dāng)Ps取得最小值時(shí)，將K代入式(21)、(26)即得到驅(qū)動(dòng)器瞬時(shí)輸出總功率最小時(shí)的驅(qū)動(dòng)力與輸出功率。

對(duì)每個(gè)驅(qū)動(dòng)器，其輸出功率最大不能超過其額定功率，利用Matlab中的工具箱文件fmincon求解有約束的非線性最小值Psmin。通過得到有限個(gè)時(shí)間點(diǎn)的最小功率來逼近理論上的最小功率變化。其將t時(shí)刻的基向量系數(shù)返回值kj作為t+Δt時(shí)刻的初值循環(huán)求解Psmin，流程如圖4所示。

圖4 最小功率變化仿真流程Fig.4 Flow chart of minimum power’s simulation

3.3 周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)器輸出功

對(duì)冗余和非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，驅(qū)動(dòng)器總的輸出功率為

Ps=|P1|+|P2|+…+|Pi| (i=3或4)

(29)

則一個(gè)周期內(nèi)總的輸出功為

(30)

一個(gè)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)器輸出功率W近似求解計(jì)算方法為

(31)

其中

式中n——時(shí)間間隔數(shù)

tk——一個(gè)時(shí)間間隔的起始時(shí)刻

tk+1——一個(gè)時(shí)間間隔的結(jié)束時(shí)刻

4 數(shù)值模擬分析

綜合分析風(fēng)洞試驗(yàn)條件及并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際要求，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Geometrical parameters of parallel manipulator

動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)量為12 547.33 kg，其在動(dòng)坐標(biāo)系中的慣性張量矩陣為

其在定坐標(biāo)系中的慣性張量為

oIp=oRo′o′Ipo′Ro

在動(dòng)坐標(biāo)系中，作用于動(dòng)平臺(tái)的外力為

則在定坐標(biāo)系中外力為

根據(jù)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)在風(fēng)洞中的狀況，選擇一種典型工況進(jìn)行剛體動(dòng)力學(xué)與能耗分析，其運(yùn)動(dòng)軌跡為

由式(11)和式(13)得到滑塊速度與加速度曲線如圖5、6所示。

圖5 滑塊速度曲線Fig.5 Velocity curves of sliders

圖6 滑塊加速度曲線Fig.6 Acceleration curves of sliders

由圖5和圖6可得，機(jī)構(gòu)最大速度和加速度都出現(xiàn)在滑塊4，分別為0.107 m/s和0.033 9 m/s2,即最大位移也出現(xiàn)在滑塊4。

圖7 驅(qū)動(dòng)力仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of driving forces

圖8 驅(qū)動(dòng)功率仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results of driving power

圖9 總功率仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of sum of driving power

由式(22)、(24)、(21)得到驅(qū)動(dòng)力仿真結(jié)果如圖7所示。由式(23)、(25)、(26)得到驅(qū)動(dòng)功率仿真結(jié)果如圖8所示。由式(31)可得，非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)、冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解和冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)最小驅(qū)動(dòng)總功率解在一個(gè)周期內(nèi)的驅(qū)動(dòng)器輸出總功率及總功分別如圖9和表2所示。

對(duì)于3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的6-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，總功為6個(gè)驅(qū)動(dòng)器做功之和；對(duì)于4-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的8-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，總功為8個(gè)驅(qū)動(dòng)器做功之和。

表2 驅(qū)動(dòng)器輸出總功Tab.2 Total output power of driver J

從圖7可看出，在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大驅(qū)動(dòng)力出現(xiàn)在滑塊2，最大驅(qū)動(dòng)力為145.1 kN。由驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解和最小驅(qū)動(dòng)總功率解得到的4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大驅(qū)動(dòng)力相比于3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大驅(qū)動(dòng)力都明顯減小，4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解最大驅(qū)動(dòng)力出現(xiàn)在滑塊3，為33.4 kN；4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)最小驅(qū)動(dòng)總功率解最大驅(qū)動(dòng)力出現(xiàn)在滑塊3，為35.6 kN。4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)滑塊3和滑塊4起主導(dǎo)作用，兩者的驅(qū)動(dòng)力明顯大于滑塊1和滑塊2；4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)最小驅(qū)動(dòng)總功率解存在異常驅(qū)動(dòng)，在3.5～20 s內(nèi)，僅電機(jī)2、3、4起到驅(qū)動(dòng)作用，其產(chǎn)生的原因是4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的功耗被作為優(yōu)化模型，并且該優(yōu)化模型僅與功率的絕對(duì)值有關(guān)，即為驅(qū)動(dòng)力的絕對(duì)值函數(shù)。

從圖8可以看出，在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大驅(qū)動(dòng)功率出現(xiàn)在滑塊4的15.5 s處，為-5 200.9 W(負(fù)功)；冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)最大驅(qū)動(dòng)功率明顯減小，4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解最大驅(qū)動(dòng)功率出現(xiàn)在滑塊4，為-2 788.5 W(負(fù)功)；4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)最小驅(qū)動(dòng)總功率解最大驅(qū)動(dòng)功率出現(xiàn)在滑塊4，為-2 665.4 W(負(fù)功)。冗余驅(qū)動(dòng)滑塊3和滑塊4的驅(qū)動(dòng)功率遠(yuǎn)大于滑塊1和滑塊2的驅(qū)動(dòng)功率。

由圖9和表2可知，冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)電機(jī)輸出總功明顯減少，分別減少到64 232 J和62 321 J，分別減少49.2%和50.7%；4-PRR冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)最小驅(qū)動(dòng)總功率解做功略小于驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解做功。

5 結(jié)論

(1)建立了4-PRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其非冗余3-PRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型，根據(jù)坐標(biāo)變換和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)得到運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解和機(jī)構(gòu)雅可比矩陣，利用二階影響系數(shù)法求解了加速度模型，為動(dòng)力學(xué)分析提供了基礎(chǔ)。

(2)利用虛功原理構(gòu)建了機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，提出以并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)器做功為優(yōu)化目標(biāo)，求解了3-PRR非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其4-PRR冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解、最小驅(qū)動(dòng)總功率解的滑塊驅(qū)動(dòng)力和和驅(qū)動(dòng)功率。

(3)冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)能夠有效減少運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)驅(qū)動(dòng)器做功，其中驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解與最小驅(qū)動(dòng)總功率解的驅(qū)動(dòng)器做功差異較小，且驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解不存在驅(qū)動(dòng)奇異，故能夠在均衡驅(qū)動(dòng)力上有效減少驅(qū)動(dòng)器做功。

(4)冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)與非冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力與功率仿真結(jié)果表明，驅(qū)動(dòng)力二范數(shù)解與最小驅(qū)動(dòng)總功率解所做總功分別減少49.2%和50.7%。