許楠 張巖

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院,長春 130024)

1 引 言

拓撲絕緣體是一種具有全新量子特性的物質(zhì)態(tài),在量子理論的發(fā)展過程中具有重要意義.從1980年Klitzing等[1,2]在二維電子氣系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了量子整數(shù)霍爾效應(yīng),到Haldane[3]發(fā)現(xiàn)了量子反?；魻栃?yīng),以及之后的十年,拓撲性質(zhì)相關(guān)的理論實驗研究都得到了極大的發(fā)展[4-10].而作為其中最為經(jīng)典的拓撲模型之一,一維的Aubry-André-Harper (AAH)模型在研究多聚化晶格方面得到了越來越多的關(guān)注與重視.該模型最初被用來研究類周期系統(tǒng)的局域性轉(zhuǎn)變[11-15].AAH晶格的本征能譜由三條能帶、兩條能隙組成,兩條能隙中分別存在可由參數(shù)調(diào)制的邊緣態(tài).因此,能譜可分為兩種不同的相位：有邊緣態(tài)的非平庸相和沒有邊緣態(tài)的平庸相.然而,在實際的拓撲實驗中,由于總是與環(huán)境相互作用,所以需考慮耗散效應(yīng)對系統(tǒng)的影響.其中,典型的例子便是針對非厄密系統(tǒng)(引入增益和損耗)的研究[16-27].尤其在近幾年,均勻的增益或損耗被引入到一些非厄密的拓撲絕緣體理論或者實驗中,如Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型[28,29]和AAH模型[30-33]的理論研究,以及一維耦合微腔[34,35]和一維耦合光波導(dǎo)的實驗論證[36,37],都得到了很多厄密系統(tǒng)中沒有的新奇現(xiàn)象.實驗中通過設(shè)計一維耦合環(huán)腔,在虛數(shù)規(guī)范場中調(diào)制輔助腔的增益和損耗[38],使得二聚化模型系統(tǒng)中最近鄰正反耦合系數(shù)出現(xiàn)差值,從而產(chǎn)生趨膚效應(yīng)[39,40],該效應(yīng)在近年獲得極大關(guān)注.區(qū)別于同一耦合的正反向系數(shù)一致的拓撲系統(tǒng)具有一般性的體邊對應(yīng)關(guān)系,非厄密系統(tǒng)中通過改變晶格正反向耦合系數(shù)差,破壞系統(tǒng)的手性反演對稱,從而展現(xiàn)了擴展的體邊對應(yīng)關(guān)系.主要表現(xiàn)為包含系統(tǒng)的拓撲保護邊緣態(tài)和體態(tài)在內(nèi)的所有本征態(tài)都局域于開放系統(tǒng)單側(cè)邊緣附近的趨膚效應(yīng).然而,三聚化非厄密系統(tǒng)的趨膚效應(yīng)的研究還不充分.因此,本文旨在研究一維三聚化的非厄密晶格的具有趨膚效應(yīng)的拓撲特性.將三聚化模型結(jié)構(gòu)從一維鏈狀拓展到類一維的鋸齒形結(jié)構(gòu),通過適當(dāng)調(diào)制胞內(nèi)最近鄰正反耦合系數(shù)差和次近鄰耦合系數(shù),觀察三聚化模型中的拓撲特性變化.發(fā)現(xiàn)正反向系數(shù)差不為零的最近鄰耦合對非厄密系統(tǒng)的能譜和拓撲保護邊緣態(tài)都有顯著影響,并引發(fā)新奇的趨膚效應(yīng)；次近鄰耦合則對系統(tǒng)能譜的上下能隙中的邊緣態(tài)能帶的寬度和系統(tǒng)本征態(tài)的局域效果有影響.最后,進行了總結(jié)并展望了擁有豐富結(jié)構(gòu)模型的各種新型拓撲材料的發(fā)展前景.

2 理論模型與能譜分布

如圖1所示,本文考慮的是類一維的非厄密三聚化晶格,并為實現(xiàn)可調(diào)的耦合,將晶胞結(jié)構(gòu)設(shè)計為鋸齒形.晶胞內(nèi)最近鄰正向耦合系數(shù)為g1+μ,反向系數(shù)為g1-μ,其中 2μ為最近鄰正反向耦合系數(shù)差,次近鄰耦合系數(shù)為ν,胞間耦合系數(shù)為g2.在該非厄密系統(tǒng)中,在每個晶胞內(nèi)添加均勻的增益損耗——添加勢能 iγ于增益格點A、零勢能于中性格點B、勢能 -iγ于損耗格點C.這些參數(shù)條件構(gòu)成了本研究所需的擴展的一維非厄密的AAH模型.其中,令an,bn和cn表示第n個晶胞內(nèi)格點的湮滅算符,總晶胞數(shù)為N.則該擴展的AAH模型的哈密頓量為

式內(nèi)各項分別為AAH模型哈密頓量HAAH=次近鄰項的哈密頓量和非厄密項的哈密頓量然后將哈密頓量代入薛定諤方程[41],便可得：

圖1 擴展的三聚化非厄密晶格示意圖Fig.1.Schematic of the generalized trimerized non-Hermitian lattice.

結(jié)合(1)式與(2)式,得到可描述該三聚化模型的本征能譜,如圖2所示；并可對與最近鄰耦合有關(guān)的趨膚效應(yīng)和與次近鄰耦合有關(guān)的拓撲保護邊緣態(tài)進行深入的研究,如圖3和圖4所示.這里設(shè)相關(guān)參數(shù)為：N=30,g1=1,γ=0.2,g2≡g1-δcosθ(δ=0.5,θ∈{0,2π} ).

首先,通過調(diào)節(jié)胞內(nèi)最近鄰正反向耦合系數(shù)差,對系統(tǒng)本征能譜進行分析.圖2(a),圖2(c),圖2(e)和圖2(g)為系統(tǒng)本征能譜的實部,能帶中包含上、下兩個非平庸能隙,共四條邊緣態(tài).上(下)能隙中存在兩條邊緣態(tài)的本征值,分別用棕色虛線和綠色實線表示,且這兩條邊緣態(tài)簡并.圖2(b),圖2(d),圖2(f)和圖2(h)為本征能譜的虛部,同樣用綠色實線和棕色虛線表示對應(yīng)邊緣態(tài)的虛部.系統(tǒng)本征值的實部描述的是能譜中系統(tǒng)能帶的位置；本征值的虛部描述的是能譜中能級的寬度.

此處,不考慮次近鄰耦合(ν=0 ),體態(tài)的能譜具有對稱特征.如圖2(a)和圖2(b)所示,當(dāng)胞內(nèi)最近鄰正反向耦合相同(μ=0 )時,體態(tài)和邊緣態(tài)的本征能譜均關(guān)于E=0 和θ=π 對稱,能譜的三條能帶在 0.5π 和 1.5π 附近區(qū)域結(jié)合,上下能隙中的四條邊緣態(tài)具有相同長度.然而,如圖2(c)—圖2(f)所示,隨著μ逐漸增大,雖然體態(tài)能譜仍保持原有對稱性,但是用棕色虛線表示邊緣態(tài)能譜的實部和虛部均會縮短,而用綠色表示的兩條邊緣態(tài)的實部和虛部均不變化.當(dāng)最近鄰正反向耦合差繼續(xù)增大至μ＞0.2 時,如圖2(g)和圖2(h)所示,棕色虛線表示的兩條邊緣態(tài)消失,只存在綠色實線表示的兩條邊緣態(tài).這表明邊緣態(tài)的簡并情況發(fā)生改變,邊緣態(tài)數(shù)量由四條縮減到兩條,該三聚化晶格產(chǎn)生了新的拓撲特性.這對應(yīng)邊緣態(tài)在晶格的分布情況就是晶格一側(cè)的兩條邊緣態(tài)消失,如圖3所示,此為邊緣態(tài)的趨膚效應(yīng).

3 體態(tài)與邊緣態(tài)的趨膚效應(yīng)

在上一部分中,通過對動力學(xué)方程的求解,討論了本征能譜在最近鄰耦合影響下邊緣態(tài)能帶寬度以及數(shù)量發(fā)生的變化.本小節(jié)通過觀察本征態(tài)的演變,繼續(xù)討論三聚化非厄密系統(tǒng)中的邊緣態(tài)和體態(tài)的趨膚效應(yīng).圖3為該三聚化模型包括體態(tài)(藍點)和拓撲保護邊緣態(tài)(綠線)在內(nèi)的所有本征態(tài)的分布.如圖3(a)所示,當(dāng)μ=0 時,體態(tài)均勻分布,邊緣態(tài)則對稱地局域在晶格的兩端.如圖3(b)所示,隨著μ增大,所有的本征態(tài)都開始向晶格的同一端附近局域,展現(xiàn)了趨膚效應(yīng).如圖3(c)所示,當(dāng)μ=0.2 時,本征態(tài)的局域性更好；體態(tài)繼續(xù)向一端局域；邊緣態(tài)完全消失,只存在于左端,數(shù)量也由四條變?yōu)閮蓷l.也就是說實現(xiàn)了邊緣態(tài)數(shù)量的動態(tài)調(diào)節(jié).如圖3(d)所示,當(dāng)最近鄰正反耦合差繼續(xù)增大,體態(tài)也完全局域在左端,也就是說三聚化非厄密晶格本征態(tài)的趨膚效應(yīng)愈加顯著.

圖2 三聚化非厄密晶格的本征能譜 (a),(c),(e)和(g)分別為 μ=0,0.1,0.15,0.2 時本征能譜的實部；(b),(d),(f)和(h)分別為 μ=0,0.1,0.15,0.2 時本征能譜的虛部,邊緣態(tài)能帶用綠色實線和棕色虛線表示Fig.2.The eigen-energy spectrum of the trimerized non-Hermitian lattice.(a),(c),(e)and (g)show the real parts of the energy spectrum for μ=0,0.1,0.15,0.2,respectively；(b),(d),(f)and (h)show the imaginary parts of the energy spectrum forμ=0,0.1,0.15,0.2.Green solid lines and brown dash lines represent the energy band of the edge states.

圖3 系統(tǒng)本征態(tài)的光子分布 (a)μ=0 ；(b)μ=0.1 ；(c)μ=0.2 ；(d)μ=0.3Fig.3.Photon distributions for eigenstates of the system：(a)μ=0 ；(b)μ=0.1 ；(c)μ=0.2 ；(d)μ=0.3 .

接下來,在趨膚效應(yīng)下,繼續(xù)觀察次近鄰耦合對本征能譜和邊緣態(tài)的影響.在圖4中,第一列描述的是受次近鄰耦合影響的本征能譜的實部,第二列代表上能隙中邊緣態(tài)的光子分布,第三列代表下能隙中邊緣態(tài)的光子分布.當(dāng)μ=0.5 時,次近鄰耦合系數(shù)在適當(dāng)增加,如圖4(a),圖4(d)和圖4(g)所示,能譜的實部僅關(guān)于θ=π 對稱,而不再關(guān)于E=0對稱.值得注意的是,非平庸的上能隙開始變窄,導(dǎo)致非平庸拓撲區(qū)域縮?。环瞧接沟南履芟堕_始變寬,導(dǎo)致非平庸相位區(qū)域擴大.通過比較圖4(b)和圖4(c)發(fā)現(xiàn),相對應(yīng)的邊緣態(tài)不同于體態(tài)的普通振蕩,而是呈急速衰減.隨著上下能隙中的邊緣態(tài)能帶數(shù)量的縮減,只在上下能隙中各存在一條.如圖4(b),圖4(e)和圖4(h)所示,隨著次近鄰耦合的增強,由于趨膚效應(yīng)而局域在左側(cè)的上能隙邊緣態(tài)的峰值在逐漸減小,局域性減弱；而由于趨膚效應(yīng)而局域在左側(cè)的下能隙邊緣態(tài)變化正相反,峰值逐漸增大,局域效果逐漸增強.此外,如果次近鄰耦合進一步增強,本征能譜上下能隙及其邊緣態(tài)會繼續(xù)呈現(xiàn)相反的變化趨勢；最終上邊緣態(tài)能帶會縮短直至消失,下邊緣態(tài)峰值逐漸增大,局域效果會明顯增強.

4 結(jié)論與展望

本文探討和比較了擴展的非厄密三聚化晶格的能譜和邊緣態(tài)的演化和局域效果.首先,特殊調(diào)制晶胞內(nèi)的最近鄰耦合系數(shù),即最近鄰正反向耦合存在差異,會導(dǎo)致系統(tǒng)本征態(tài)發(fā)生趨膚效應(yīng).包括體態(tài)和邊緣態(tài)在內(nèi)的所有本征態(tài)都局域于系統(tǒng)的同一端附近；并且,邊緣態(tài)的二重簡并態(tài)消失,邊緣態(tài)數(shù)量由四條減少為兩條.其次,次近鄰耦合對系統(tǒng)能譜的演化有著顯著的影響.次近鄰耦合會使系統(tǒng)非平庸能隙和相對應(yīng)的具有趨膚效應(yīng)的邊緣態(tài)發(fā)生不對稱變化,且會影響所有本征態(tài)的局域效果.未來,通過設(shè)計多樣的多聚化非厄密晶格,并應(yīng)用于拓撲量子材料的研究中,一定會發(fā)現(xiàn)更多有意義的、新奇的拓撲物理性質(zhì).

特別感謝東北師范大學(xué)物理學(xué)院吳金輝教授對文章寫作的建議.

圖4 次近鄰耦合影響下系統(tǒng)的本征能譜和邊緣態(tài)的光子分布 (a),(d)和(g)分別為 ν=0.1,0.15,0.2 時本征能譜的實部；(b),(e)和(h)分別為 ν=0.1,0.15,0.2 時上能隙中的邊緣態(tài)；(c),(f)和(i)分別為 ν=0.1,0.15,0.2 時下能隙的邊緣態(tài)Fig.4.The eigen-energy spectrum and photon distributions for edge states of the system under the influence of the next-nearestneighbor coupling：(a),(d)and (g)show the real parts of the energy spectrum for ν=0.1,0.15,0.2 ；(b),(e)and (h)show the edge states whose energy band are in the upper gaps for ν=0.1,0.15,0.2 ；(c),(f)and (i)show the edge states whose energy bands are in the lower gaps for ν=0.1,0.15,0.2 .