☉江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué) 蔣駿哲
近讀南京師范大學(xué)涂榮豹教授新著《數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)原理的構(gòu)建——教學(xué)生學(xué)會思考》,涂教授關(guān)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)的原理有如下論述:數(shù)學(xué)解題教學(xué)的任務(wù),實(shí)際上是要教學(xué)生“學(xué)解題”,而現(xiàn)實(shí)中的解題教學(xué)大多是“叫”學(xué)生“解題”,或者是給學(xué)生“講”解題,并沒有把解題教學(xué)落到教學(xué)生“學(xué)解題”上.其實(shí)學(xué)生的主要任務(wù)并不是解題,而是“學(xué)解題”.筆者深有同感,本文結(jié)合近期解題教學(xué)課堂上習(xí)題教學(xué)的案例,闡釋自己的一些實(shí)踐與思考.
案例1:促進(jìn)學(xué)生積累基本圖形及性質(zhì).
例1如圖1,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,BF平分∠CBA,交CD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.若BC=3,AC=4,求CE的長.
圖1
圖2
教學(xué)記錄:經(jīng)過5分鐘的獨(dú)立思考后,多數(shù)學(xué)生只能求出AB=5,CD=2.4,后續(xù)沒有獲得進(jìn)展.為了啟發(fā)學(xué)生思考,我們不急于告知答案,也沒有安排個(gè)別已獲得答案的學(xué)生上臺展示,而是給出以下幾點(diǎn)思路啟發(fā):
念頭1:該圖形中有一個(gè)等腰三角形,先找出來并證明;
念頭2:角平分線BF會啟發(fā)哪條重要輔助線?
念頭3:構(gòu)造輔助線后,是否得到一個(gè)新的直角三角形?該直角三角形的三條邊能否用一個(gè)未知數(shù)x表示不同邊長,進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程求解呢?
很多學(xué)生經(jīng)過這三個(gè)念頭的啟發(fā),很快就發(fā)現(xiàn)等腰三角形CEF,于是待求的CE轉(zhuǎn)化為CF,進(jìn)一步在圖2中作出FH⊥AB,從而將目光聚焦到直角三角形AFH中,利用勾股定理獲得一個(gè)方程,實(shí)現(xiàn)問題求解.
解后回顧與反思:解答之后,提醒學(xué)生以后遇到類似的看似沒有思路的幾何題,要學(xué)會自己向自己提這樣的方向性念頭.另外,要求最初沒有順利解出的學(xué)生整理記錄,并分解兩個(gè)基本圖形進(jìn)行整理:
基本圖形1:直角三角形中銳角平分線+斜邊上的高,一定會出現(xiàn)等腰三角形;
基本圖形2:角平分線的“比例”性質(zhì),如圖1中,CF∶AF=BC∶AB.
教學(xué)隨感:提示思路、促進(jìn)解題者自己發(fā)現(xiàn)思路并貫通解題過程,而不是告知答案.前者是專業(yè)教師的“善于提問”“善于引導(dǎo)”的基本功,后者只是針對這一道習(xí)題的解法展示.此外,解題能力強(qiáng)的學(xué)生往往是積累、收集、記憶、儲存這類基本圖形及性質(zhì)多的學(xué)生.所以,優(yōu)秀解題者遇到這種基本圖形出現(xiàn)時(shí),就條件反射地有了方向或思路.
案例2:翻折問題的多角度思考.
例2如圖3,將正方形紙片ABCD沿MN折疊,使點(diǎn)D落在邊AB上,對應(yīng)點(diǎn)為D′,點(diǎn)C落在C′處. 若AB=6,AD′=2,求折痕MN的長.
教學(xué)記錄:這是八年級的一道練習(xí)題,八年級學(xué)生學(xué)過勾股定理、平行四邊形的有關(guān)知識.學(xué)生經(jīng)過5分鐘獨(dú)立思考后,沒有獲得最終解答.部分學(xué)生的進(jìn)展是求出了AM、DM的長.我們通過對話追問了不少優(yōu)秀學(xué)生的障礙,他們都把目光投向了右側(cè)一些直角三角形中,但是苦于缺少條件,無法進(jìn)展下去.為了幫助學(xué)生尋找思路,我們提供如下的啟發(fā)性念頭:
念頭1:在你們思考的基礎(chǔ)上,如果有八年級相似三角形的知識,也能夠順利繼續(xù)前行……目前此路難通;
念頭2:可另辟方向,如考慮翻折對稱,連接DD′,能不能求出它的長度?
念頭3:容易想到線段DD′與MN的位置關(guān)系嗎?它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?如能攻克,則大功告成!
圖3
學(xué)生在上述思考的啟發(fā)下繼續(xù)思考,不到3分鐘,就有好幾名學(xué)生貫通了思路,筆者請他們上臺講解思路,待一名學(xué)生講解之后,有一半以上的學(xué)生都想通了思路.
案例3:雙角平分線與平行線綜合問題.
例3如圖4,AM//CN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn),AB⊥BC于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D,E、F在DM上,連接BE、BF、CF.若BF平分∠DBC、BE平分∠ABD,∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度數(shù).
教學(xué)記錄:學(xué)生經(jīng)過5分鐘的獨(dú)立思考,基本沒有進(jìn)展.通過對話追問幾個(gè)優(yōu)秀學(xué)生,他們都覺得條件太多,感覺無從下手,只解讀出幾個(gè)看似不太有用的結(jié)論.于是,為了促進(jìn)學(xué)生學(xué)會思考,我們提供如下念頭:
念頭1:求∠EBC的關(guān)鍵是求哪個(gè)角?能否設(shè)這個(gè)角為α,便于后續(xù)推理演算?
念頭2:把目光投向頂點(diǎn)B處的一些角,這里雙角平分線BE、BF的夾角是多少度?結(jié)合以前積累的一些基本圖形及解題經(jīng)驗(yàn),能否直接看出它的角度?
念頭3:用含α的式子分別表示∠ABD、∠BCN、∠FCB、∠BFC、∠FBC的度數(shù);
念頭4:可以選擇在三角形BCF中,利用三角形內(nèi)角和得出關(guān)于α的方程,獲得解題思路的貫通.
經(jīng)過上述念頭的啟發(fā),一些優(yōu)秀學(xué)生在5分鐘后就貫通了思路,想清了在△BCF中,∠FBC=45°+α,∠BFC=3α,∠FCB=90°-α,于是利用三角形內(nèi)角和得出α=15°,從而求得∠EBC=105°.
圖4
教師在解題教學(xué)備課時(shí)不只是貫通思路、解出答案,而且要在此基礎(chǔ)上想清習(xí)題的深層結(jié)構(gòu),對于較難習(xí)題還可辨析哪些步驟是關(guān)鍵步驟,有哪些可能的易錯(cuò)點(diǎn),在此基礎(chǔ)上預(yù)設(shè)一些啟發(fā)式提示語,像上文中提供的一些念頭啟示都不是解題現(xiàn)場即興想出來的,而是課前就有充分的預(yù)設(shè),當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)障礙時(shí)就可適當(dāng)給出,這樣可提高課堂教學(xué)效率.另外,啟發(fā)式提示語要注意引導(dǎo)學(xué)生“回到習(xí)題”,學(xué)會審題,對一些關(guān)鍵條件充分解讀、關(guān)聯(lián)不同條件組合解讀,以便得到解題念頭.
促進(jìn)學(xué)生尋找思路的解題教學(xué)在理解習(xí)題結(jié)構(gòu)的前提下,還要充分理解待教學(xué)生的學(xué)情,包括整體班情、個(gè)別優(yōu)秀學(xué)生的思維能力與層次水平,這樣在預(yù)設(shè)一些鋪墊式提示語之后,要有相應(yīng)學(xué)生能積極跟進(jìn),以便教學(xué)對話順利進(jìn)行,一些學(xué)生率先跟上教師鋪墊式提示語之后,可安排他們上臺講解思路,讓更多學(xué)生能跟上思路.如果學(xué)生整體理解能力不強(qiáng),則鋪墊式問題要更加“密集”,跨度不能太大,要讓學(xué)生在鋪墊式問題的提示之下,能獲得進(jìn)展,這樣學(xué)生才能通過解題收獲解題信心,有興趣參與解題、跟進(jìn)思考、“接力”思路進(jìn)展.
波利亞在名著《怎樣解題》中倡導(dǎo)解題教學(xué)要重視解后回顧與反思,在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生想清解題的關(guān)鍵步驟,一些易錯(cuò)點(diǎn),一些容易看漏的條件信息,哪些是容易挖掘不深的條件,哪些條件可以組合、關(guān)聯(lián)起來助推思路進(jìn)展,等等.如果習(xí)題中有很多基本問題或基本圖形存在,還需要引導(dǎo)學(xué)生分離、收集、積累這些基本圖形及其性質(zhì),以便后續(xù)處理一些復(fù)雜問題時(shí)遇到這類基本圖形及性質(zhì)能快速識別,獲得進(jìn)展.
解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要組成部分,解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一.如何開展解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)研究中的基本課題、日常課題,很多名師、專家都對解題教學(xué)投入大量精力進(jìn)行研究,并形成了解題教學(xué)的諸多流派(如張景中院士倡導(dǎo)的“中巧說”、傅學(xué)順教授倡導(dǎo)的“反應(yīng)塊”思想、顧泠沅教授總結(jié)的“變式教學(xué)”等).對我們一線教師來說,重要的不是“選邊站隊(duì)”,而是要通過恰當(dāng)?shù)慕谭?,遠(yuǎn)離題海戰(zhàn)術(shù),春風(fēng)化雨,帶領(lǐng)學(xué)生通過解題學(xué)會解題,悟得解題經(jīng)驗(yàn),提高解題智慧,發(fā)展數(shù)學(xué)思維.