童福林，周桂宇，周浩，張培紅,*，李新亮2,

1. 中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 計(jì)算空氣動(dòng)力研究所，綿陽(yáng) 621000 2. 中國(guó)科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190 3. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

激波與湍流邊界層的相互作用是現(xiàn)代高速飛行器氣動(dòng)設(shè)計(jì)中不可或缺的基礎(chǔ)問(wèn)題，至今仍未被充分理解。激波/湍流干擾區(qū)內(nèi)會(huì)出現(xiàn)流動(dòng)分離/再附、局部強(qiáng)壓力脈動(dòng)和熱流峰值，這會(huì)對(duì)飛行器氣動(dòng)性能、防熱層以及結(jié)構(gòu)疲勞等方面產(chǎn)生顯著影響。因此，進(jìn)一步深入研究干擾區(qū)內(nèi)復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象有助于加深對(duì)該問(wèn)題的理解認(rèn)識(shí)，為工程應(yīng)用提供重要的理論參考依據(jù)。Dolling[1]和Gaitonde[2]從熱流預(yù)測(cè)、激波的非定常運(yùn)動(dòng)特性以及流動(dòng)控制等方面對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了詳細(xì)的綜述。

依據(jù)激波的產(chǎn)生方式不同，可以將激波與邊界層干擾劃分為[3]：壓縮拐角、入射激波干擾、雙錐、后掠壓縮拐角、單楔、雙楔以及內(nèi)流道問(wèn)題。壓縮拐角和入射激波干擾是其中兩類最具代表性的流動(dòng)構(gòu)型。自20世紀(jì)40年代以來(lái)，國(guó)內(nèi)外大量學(xué)者對(duì)這兩類構(gòu)型進(jìn)行了系統(tǒng)的風(fēng)洞試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究。

在風(fēng)洞試驗(yàn)方面，Settles和Fitzpatrick[4]研究了不同激波強(qiáng)度下壓縮拐角干擾區(qū)內(nèi)物面壓力、摩阻及平均速度的演化規(guī)律。Ardonceau[5]和Smits等[6]分析了激波干擾對(duì)湍流脈動(dòng)的增強(qiáng)機(jī)制。結(jié)果表明，激波干擾湍流剪切應(yīng)力的影響要明顯強(qiáng)于雷諾應(yīng)力的其他分量，干擾區(qū)下游湍流邊界層內(nèi)質(zhì)量通量脈動(dòng)強(qiáng)度顯著增強(qiáng)。分離激波的低頻振蕩現(xiàn)象及其物理機(jī)制一直以來(lái)都是風(fēng)洞試驗(yàn)的研究熱點(diǎn)。Andreopoulos和Muck[7]發(fā)現(xiàn)上游湍流邊界層的猝發(fā)現(xiàn)象與低頻振蕩運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)。但隨后，Erengil和Dolling[8]的研究結(jié)果表明，上游壓力脈動(dòng)才是激波非定常運(yùn)動(dòng)的主要來(lái)源。目前，對(duì)于該問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)研究尚未達(dá)成共識(shí)。大量研究表明，激波運(yùn)動(dòng)機(jī)制與上游邊界層速度型剖面[9]、大尺度高低速條帶結(jié)構(gòu)[10]等因素密切相關(guān)。

在數(shù)值模擬方面，隨著計(jì)算速度和數(shù)值格式的飛速發(fā)展，直接數(shù)值模擬(Direct Numerical Simulation，DNS)方法已逐漸成為激波/湍流邊界層干擾復(fù)雜流動(dòng)機(jī)理方面的重要研究手段。相較于風(fēng)洞試驗(yàn)，DNS可以直接給出干擾區(qū)內(nèi)試驗(yàn)難以測(cè)量的流場(chǎng)信息。Adams[11]首次采用DNS方法研究了壓縮性對(duì)干擾區(qū)下游湍流結(jié)構(gòu)的影響機(jī)制，發(fā)現(xiàn)邊界層猝發(fā)頻率與激波運(yùn)動(dòng)頻率較為接近。Ringuette等[12]數(shù)值研究了雷諾數(shù)對(duì)干擾區(qū)物面壓力脈動(dòng)頻譜特性、分離區(qū)長(zhǎng)度以及湍流脈動(dòng)的影響規(guī)律。Priebe等[13-14]著重探討了激波運(yùn)動(dòng)的低頻振蕩現(xiàn)象。低通濾波后的DNS瞬時(shí)流場(chǎng)表明，分離激波的非定常運(yùn)動(dòng)與分離泡的膨脹/收縮存在較強(qiáng)關(guān)聯(lián)。此外，李新亮等[15]研究了激波低頻振蕩機(jī)制以及干擾區(qū)湍動(dòng)能的輸運(yùn)機(jī)制。結(jié)果證實(shí)了激波的低頻振蕩與上游邊界層擬序結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。近年來(lái)，童福林等[16-18]開(kāi)展了大量的激波/湍流邊界層干擾直接數(shù)值模擬研究，探討了激波強(qiáng)度、壁面溫度、馬赫數(shù)等因素對(duì)干擾區(qū)內(nèi)復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象的影響規(guī)律。

總體來(lái)看，國(guó)內(nèi)外在激波與湍流邊界層相互作用問(wèn)題上取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步，并在一些復(fù)雜問(wèn)題流動(dòng)機(jī)理方面達(dá)成共識(shí)。但在干擾區(qū)內(nèi)物面剪切應(yīng)力統(tǒng)計(jì)特性方面，相關(guān)試驗(yàn)及DNS的研究報(bào)道較為少見(jiàn)。Murthy和Rose[19]對(duì)馬赫數(shù)Ma=2.9下的入射激波湍流邊界層干擾問(wèn)題進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，獲得了干擾區(qū)內(nèi)物面剪切的平均量和脈動(dòng)量。進(jìn)一步深入開(kāi)展干擾區(qū)內(nèi)物面剪切應(yīng)力統(tǒng)計(jì)特性的演化規(guī)律研究，有助于為改進(jìn)現(xiàn)有湍流模型和亞格子模型提供理論支撐。

本文采用直接數(shù)值模擬方法對(duì)入射激波/平板湍流邊界層相互作用問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值研究。著重探討分離激波低頻振蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)物面剪切應(yīng)力功率譜密度的影響機(jī)制，研究分離泡內(nèi)流向及展向剪切應(yīng)力分量的概率密度分布規(guī)律。采用本征正交分解方法，分析比較了流向剪切應(yīng)力脈動(dòng)與物面壓力脈動(dòng)的差異。為了便于比較和驗(yàn)證結(jié)果，計(jì)算參數(shù)的選取與Bookey等[20]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和Priebe等[13]的DNS結(jié)果相近。

1 計(jì)算參數(shù)

直接數(shù)值模擬的控制方程為三維可壓縮無(wú)量綱Navier-Stokes方程組：

(1)

式中：Q為守恒變量；F、G和H為3個(gè)方向上的無(wú)黏通量；Fv、Gv和Hv為3個(gè)方向?qū)?yīng)的黏性通量，具體表達(dá)式參見(jiàn)文獻(xiàn)[21]。方程的無(wú)量綱化采用無(wú)窮遠(yuǎn)處來(lái)流參數(shù)以及單位特征長(zhǎng)度。計(jì)算時(shí)，為了抑制激波間斷區(qū)的數(shù)值振蕩同時(shí)保證對(duì)湍流邊界層內(nèi)不同尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)的高分辨率，采用Martin等[22]優(yōu)化構(gòu)造的WENO_SYMBO_LMT格式以及Steger-Warming流通量分裂方法計(jì)算無(wú)黏項(xiàng)。同時(shí)，采用八階中心差分格式對(duì)黏性項(xiàng)進(jìn)行離散，時(shí)間推進(jìn)采用三階Runge-Kutta方法計(jì)算。需要特別指出的是，本文DNS采用的高精度差分求解器OpenCFD-SC軟件已在多個(gè)激波/湍流邊界層干擾問(wèn)題[15-18]中得到了成功的驗(yàn)證和確認(rèn)，可以保證DNS結(jié)果的準(zhǔn)確和可靠。

圖1 計(jì)算模型示意圖Fig.1 Illustration of computation model

如圖1所示，計(jì)算模型為入射激波與平板湍流邊界層的相互作用問(wèn)題。氣流方向?yàn)閺淖笸?，?lái)流馬赫數(shù)為2.9，基于單位長(zhǎng)度的來(lái)流雷諾數(shù)為5 581.4 mm-1，來(lái)流靜溫為108.1 K，壁面溫度為307 K。計(jì)算域流向跨度為-363 mm

網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為3 200×200×140(流向×法向×展向)，計(jì)算網(wǎng)格采用代數(shù)解析方法生成，流向網(wǎng)格在激波與湍流邊界層的干擾區(qū)內(nèi)均勻分布(如圖1所示)，法向網(wǎng)格在近壁區(qū)采用了雙曲正切函數(shù)的加密處理，展向網(wǎng)格均勻分布。這里以x=-60 mm處壁面量為參考量，干擾區(qū)內(nèi)網(wǎng)格尺度分別為Δx+=4.5、 Δy+=0.5、 Δz+=5.0,與Priebe等[13]的DNS結(jié)果較為接近。如無(wú)特別說(shuō)明，本文中上游湍流邊界層的統(tǒng)計(jì)變量均取自x=-60 mm處(位于充分發(fā)展湍流邊界層內(nèi))。表1分別給出了上游湍流邊界層的馬赫數(shù)Ma、邊界層厚度δ、位移厚度δ*、動(dòng)量厚度θ和物面摩阻系數(shù)Cf。

表1 上游湍流邊界層參數(shù)Table 1 Parameters of incoming turbulent boundary layer

2 結(jié)果驗(yàn)證

本節(jié)通過(guò)與以往數(shù)值模擬結(jié)果和風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，進(jìn)一步驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，其中包括上游湍流邊界層的統(tǒng)計(jì)特性、干擾區(qū)內(nèi)平均壓力和摩阻分布以及物面壓力脈動(dòng)的功率譜等。

圖2 湍流邊界層統(tǒng)計(jì)特性Fig.2 Statistical characteristics of turbulent boundary layer

圖3分別給出了激波/湍流邊界層干擾區(qū)內(nèi)物面壓力pw/p∞和摩阻系數(shù)沿流向的分布情況。為了便于比較說(shuō)明，這里將壓力和摩阻分布的流向坐標(biāo)均進(jìn)行了平移和無(wú)量綱處理，其中x*為流向坐標(biāo)平移后的值，xsep為平均分離點(diǎn)流向坐標(biāo)。計(jì)算得到的壓力和摩阻分布與Priebe等[13]的數(shù)值結(jié)果均基本重合。與Bookey等[20]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較來(lái)看，干擾區(qū)下游的物面壓力值要明顯高于試驗(yàn)值。在直接數(shù)值模擬時(shí)，展向取為周期性邊界條件，而實(shí)際風(fēng)洞試驗(yàn)時(shí)展向?yàn)檎鎸?shí)固壁，因此洞壁干擾[13]是造成該差異的主要因素之一。

另一方面，圖4給出了計(jì)算得到的上游湍流邊界層和分離平均起始點(diǎn)物面壓力脈動(dòng)的預(yù)乘譜(Pre-Multiplied Power Spectral Density,fPSD)，其中f為頻率，PSD為功率譜密度?？梢?jiàn)，在無(wú)干擾區(qū)內(nèi)，壓力脈動(dòng)的無(wú)量綱峰值頻率出現(xiàn)在1.0U∞/δ附近,U∞為來(lái)流速度。由于干擾區(qū)內(nèi)分離激波的低頻振蕩運(yùn)動(dòng)，分離點(diǎn)物面壓力脈動(dòng)的低頻能量在(0.004～0.01)U∞/δ的范圍內(nèi)急劇增強(qiáng)。計(jì)算值與以往激波湍流邊界層干擾直接數(shù)值模擬得到的低頻峰值頻率范圍(0.002～0.006)U∞/δ[13]較為接近，這也證實(shí)了本文DNS計(jì)算采用的數(shù)值方法和網(wǎng)格分辨率能夠準(zhǔn)確捕捉到干擾區(qū)內(nèi)的分離激波低頻振蕩現(xiàn)象。

圖3 物面平均壓力及摩阻系數(shù)分布Fig.3 Distribution of wall average pressure and skin friction coefficient

圖4 物面壓力脈動(dòng)預(yù)乘譜Fig.4 Pre-multiplied power spectral density of wall pressure fluctuations

3 流場(chǎng)結(jié)構(gòu)

圖5分別給出了入射激波與平板湍流邊界層干擾區(qū)內(nèi)的無(wú)量綱瞬態(tài)密度梯度場(chǎng)和時(shí)間平均密度場(chǎng)。圖中紅色和藍(lán)色曲線為Ma=1和u=0的瞬態(tài)等值線，這里u為流向無(wú)量綱速度?？梢钥吹?，在入射激波和分離激波的相互作用下，干擾區(qū)內(nèi)存在著強(qiáng)逆壓梯度，邊界層內(nèi)出現(xiàn)了大范圍的流動(dòng)分離，同時(shí)在下游邊界層外緣還存在較強(qiáng)的壓縮波系。此外，從兩者的定性比較來(lái)看，分離泡內(nèi)存在強(qiáng)烈的間歇性和非定常特征。

研究結(jié)果表明，物面剪切流向分量要比其展向分量大了約一個(gè)量級(jí)，這表明干擾區(qū)內(nèi)物面剪切以流向剪切為主。圖6分別給出了物面流向剪切應(yīng)力τx的瞬態(tài)和時(shí)均分布云圖。為了便于下文比較說(shuō)明，沿流向選取了5個(gè)典型特征位置，其中E1～E3分別位于上游無(wú)干擾邊界層內(nèi)、分離泡和下游再附區(qū)內(nèi)，S和R分別位于平均分離和再附點(diǎn)。從整體分布規(guī)律來(lái)看，上游無(wú)干擾邊界層內(nèi)物面剪切以條帶結(jié)構(gòu)特征為主，這與邊界層近壁區(qū)的高低速條帶緊密相關(guān)。隨后，該條帶結(jié)構(gòu)在分離區(qū)內(nèi)被破壞并消失，分離區(qū)內(nèi)流向剪切表征為強(qiáng)間歇特性。在干擾區(qū)下游，流向剪切的量值呈逐漸增大趨勢(shì)，但其展向分布規(guī)律與上游存在明顯差異。從時(shí)均結(jié)果也可以看到，干擾區(qū)下游的流向摩阻沿展向表現(xiàn)為強(qiáng)烈的非均勻性。

圖5 瞬態(tài)密度梯度和時(shí)均密度流場(chǎng)Fig.5 Instantaneous density gradient and mean density flow fields

圖6 物面流向剪切應(yīng)力瞬態(tài)和時(shí)均分布云圖Fig.6 Instantaneous and mean contours of streamwise component of wall shear stress

4 物面剪切應(yīng)力統(tǒng)計(jì)特性

4.1 預(yù)乘譜分析

分析物面剪切應(yīng)力信號(hào)的功率譜密度有助于理解干擾區(qū)內(nèi)各剪切分量脈動(dòng)特征的演化規(guī)律。此外，分離激波的低頻振蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)物面剪切脈動(dòng)的影響同樣值得關(guān)注。

圖8給出了干擾區(qū)內(nèi)各特征位置物面剪切應(yīng)力預(yù)乘譜分布的比較情況?？梢钥吹?，對(duì)于流向分量，相較于上游E1處，分離區(qū)內(nèi)和再附區(qū)下游邊界層內(nèi)峰值頻率略有升高，低頻區(qū)脈動(dòng)能量也有一定的增強(qiáng)，但從整體分布規(guī)律來(lái)看，脈動(dòng)能量仍然以高頻特征為主。干擾區(qū)內(nèi)展向分量的演化規(guī)律與流向分量基本類似，只是在干擾區(qū)下游S和E3處的峰值頻率略有降低，但高頻脈動(dòng)仍占主導(dǎo)。研究結(jié)果也進(jìn)一步表明，分離激波的低頻振蕩運(yùn)動(dòng)不會(huì)對(duì)干擾區(qū)內(nèi)物面剪切應(yīng)力各分量的脈動(dòng)產(chǎn)生實(shí)質(zhì)影響。

圖7 湍流邊界層內(nèi)物面剪切應(yīng)力信號(hào)預(yù)乘譜Fig.7 Pre-multiplied power spectral density of wall shear stress in incoming turbulent boundary layer

圖8 干擾區(qū)內(nèi)物面剪切應(yīng)力信號(hào)預(yù)乘譜Fig.8 Pre-multiplied power spectral density of wall shear stress in interaction region

如圖4所示，分離激波的大尺度低頻振蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)物面壓力脈動(dòng)影響顯著，尤其是對(duì)平均分離點(diǎn)附近的低頻能量。而從圖8的結(jié)果來(lái)看，激波的非定常運(yùn)動(dòng)對(duì)流向和展向分量的影響則要弱得多。盡管在低頻部分，有一個(gè)數(shù)量級(jí)的升高，但脈動(dòng)仍以高頻能量為主。從定性分析來(lái)看，認(rèn)為造成這種差異的原因很可能有以下兩方面。首先，分離激波非定常運(yùn)動(dòng)的影響作用主要體現(xiàn)在流場(chǎng)中零階分量，如壓力、質(zhì)量通量[28]等，而物面剪切應(yīng)力是流向或展向速度的法向梯度，為流場(chǎng)參數(shù)的一階分量?？梢杂^察到，盡管干擾區(qū)內(nèi)剪切脈動(dòng)的低頻能量有一定的升高，但其增長(zhǎng)速率要明顯低于壓力脈動(dòng)。另一方面，從圖5中還可以看到，分離激波在邊界層外層逐步弱化為弱壓縮波系，因而其非定常運(yùn)動(dòng)對(duì)近壁區(qū)內(nèi)流動(dòng)參數(shù)的影響程度會(huì)急劇減弱。從圖4和圖8的比較來(lái)看，邊界層內(nèi)激波強(qiáng)度的弱化對(duì)物面剪切的影響程度要遠(yuǎn)強(qiáng)于物面壓力脈動(dòng)，具體更為詳細(xì)的定量作用機(jī)制有待下一步深入研究。

4.2 概率密度分布

為了研究干擾區(qū)內(nèi)物面剪切應(yīng)力演化的統(tǒng)計(jì)特性，圖9給出了E1～E3處流向剪切分量及其脈動(dòng)的概率密度函數(shù)(PDF)。在本節(jié)中剪切應(yīng)力分量采用當(dāng)?shù)氐臅r(shí)空平均值τx,av和τz,av進(jìn)行歸一化處理，分別表示為

(2)

從圖9可以看到，在上游干擾區(qū)E1和下游再附區(qū)E3，流向分量的PDF曲線都近似地呈現(xiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布。盡管流動(dòng)在這兩個(gè)特征位置均以附著流為主，但仍存在一定的概率出現(xiàn)負(fù)的流向剪切。以往零壓力梯度平板的試驗(yàn)結(jié)果表明[29-30]，邊界層內(nèi)存在較小概率的回流現(xiàn)象(Backflow)，上述研究成果也進(jìn)一步證實(shí)了該流動(dòng)現(xiàn)象的存在。另外，在分離泡內(nèi)E2處，從統(tǒng)計(jì)意義來(lái)看，流動(dòng)以負(fù)剪切為主要特征，但其函數(shù)分布在正剪切范圍內(nèi)仍存在較高的可能性，這主要由于分離泡的強(qiáng)間歇性的緣故。對(duì)于流向剪切的脈動(dòng)量，由于采用當(dāng)?shù)鼐礁M(jìn)行了歸一化處理，可以清楚看到，干擾區(qū)上游和下游的函數(shù)分布近似重合，且與Carlos等[26]的不可壓平板數(shù)值結(jié)果吻合較好，兩者只是在脈動(dòng)量變化劇烈的區(qū)域存在較明顯的差別，這表明在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，局部應(yīng)力脈動(dòng)的統(tǒng)計(jì)特征是相似的。此外，在分離泡內(nèi)的脈動(dòng)量變化范圍要明顯大于前兩個(gè)區(qū)域。

圖10給出了干擾區(qū)內(nèi)展向剪切及其脈動(dòng)值的概率密度分布曲線。函數(shù)與流向分量的分布規(guī)律則完全不同。如圖所示，干擾區(qū)內(nèi)的展向剪切均近似呈現(xiàn)正態(tài)分布。偏斜因子的計(jì)算表明，3個(gè)特征位置處的偏斜因子絕對(duì)值小于0.1，這說(shuō)明分布函數(shù)以對(duì)稱特征為主。但在變化較劇烈的區(qū)域，分離泡內(nèi)的發(fā)生概率要明顯高于其他兩個(gè)區(qū)域。與此同時(shí)，干擾區(qū)內(nèi)歸一化后的展向脈動(dòng)值均與Carlos等[26]的統(tǒng)計(jì)結(jié)果吻合。綜上所述，在激波湍流邊界層干擾區(qū)內(nèi)，研究表明，相較于上游充分發(fā)展湍流邊界層，分離泡內(nèi)的流向剪切統(tǒng)計(jì)特性變化劇烈，而展向剪切統(tǒng)計(jì)特性的變化則可忽略不計(jì)。

圖9 干擾區(qū)內(nèi)流向剪切應(yīng)力概率密度函數(shù)Fig.9 Probability density functions of streamwise component of wall shear stress in interaction region

為了更好地考察流向剪切與展向剪切之間的相互關(guān)系，定義兩者的夾角ψτ(t)為

ψτ(t)=arctan(τz(t)/τx(t))

(3)

圖10 干擾區(qū)內(nèi)展向剪切應(yīng)力概率密度函數(shù)Fig.10 Probability density functions of spanwise component of wall shear stress in interaction region

圖11給出了干擾區(qū)內(nèi)夾角的概率密度函數(shù)分布?？傮w來(lái)看，函數(shù)呈對(duì)稱分布，在變化劇烈的區(qū)域要明顯高于高斯正態(tài)分布。對(duì)于上游湍流邊界層，夾角主要集中出現(xiàn)在[-45°,45°]范圍內(nèi)，這與Jeon等[31]的研究結(jié)果是一致的。在分離泡內(nèi)E2處，可以看到，小夾角事件概率略有降低。值得注意的是，E2處夾角大于25°的可能性則要明顯高于其他兩個(gè)區(qū)域，這主要是由于分離泡內(nèi)流向剪切急劇降低，而展向剪切變化較小，兩者較為接近，導(dǎo)致大夾角事件的發(fā)生概率也相應(yīng)升高。在干擾區(qū)下游再附區(qū)E3處，流向剪切逐漸恢復(fù)到初始值，因而大角度事件的發(fā)生概率又隨之降低。

圖11 物面剪切應(yīng)力夾角概率密度函數(shù)Fig.11 Probability density functions of angle between wall shear stress components

圖12 物面剪切應(yīng)力矢量夾角和幅值聯(lián)合概率密度函數(shù)Fig.12 Joint probability density functions of angle and magnitude of wall shear stress vector

圖13 聯(lián)合概率密度隨物面應(yīng)力矢量幅值的變化Fig.13 Variation of joint PDFs with magnitude of wall shear stress vector

4.3 本征正交分解

為了進(jìn)一步深入分析物面剪切脈動(dòng)的能量結(jié)構(gòu)，采用本征正交分解(POD)方法探究了非定常物面剪切脈動(dòng)場(chǎng)的典型相干結(jié)構(gòu)。通過(guò)POD方法可以對(duì)復(fù)雜高維度的流場(chǎng)進(jìn)行低階近似，提取出非定常演化歷程中能量占優(yōu)的特征模態(tài)。假設(shè)非定常物面剪切場(chǎng)為T(mén)(x,z,t)，POD分析可以確定一族正交基函數(shù)φj(x,z)，j=1,2,…，具體分解過(guò)程如下[32]：

T(x,z,t)=T(x,z,t)

(4)

POD分析針對(duì)400個(gè)流向/展向平面內(nèi)瞬態(tài)物面流向剪切脈動(dòng)場(chǎng)進(jìn)行操作。依據(jù)模態(tài)特征值對(duì)模態(tài)能量Ej進(jìn)行排序，歸一化的模態(tài)能量定義為

(5)

圖14給出了物面流向剪切場(chǎng)POD模態(tài)能量的分布情況?？梢钥吹?，高能量模態(tài)主要集中在前20個(gè)模態(tài)，約占總能量的50%。

圖15分別給出了物面流向剪切脈動(dòng)場(chǎng)的能量占優(yōu)主模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)。圖中云圖為歸一化后的正交基向量，虛線表征了分離激波非定常運(yùn)動(dòng)的流向范圍，通過(guò)計(jì)算壓力脈動(dòng)信號(hào)的間歇因子[16]得到。為了便于比較差異，圖中還給出了物面壓力脈動(dòng)場(chǎng)對(duì)應(yīng)的能量模態(tài)結(jié)構(gòu)，這里SS1、SS2、SS3和SS40分別代表流向剪切脈動(dòng)場(chǎng)的第1、2、3和40個(gè)POD模態(tài)，而P1、P2、P3和P40分別為壓力脈動(dòng)場(chǎng)對(duì)應(yīng)的POD模態(tài)。如圖15(a) 和圖15(b)所示，剪切場(chǎng)的第1個(gè)模態(tài)空間結(jié)構(gòu)與壓力場(chǎng)較為相似，沿展向近似呈現(xiàn)二維分布，約占總能量的16%。從分布規(guī)律來(lái)看，能量結(jié)構(gòu)主要集中在平均分離點(diǎn)S及間歇區(qū)內(nèi)，這也說(shuō)明了分離激波沿流向的非定常低頻振蕩運(yùn)動(dòng)主導(dǎo)了物面壓力和流向剪切脈動(dòng)場(chǎng)。可以清楚看到，兩者不同之處在于，流向剪切場(chǎng)在平均再附點(diǎn)下游還有一定的能量結(jié)構(gòu)。

圖14 歸一化POD模態(tài)能量分布及累積能量Fig.14 Distribution of normalized energy of POD modes and cumulative energy

圖15 物面壓力和流向剪切應(yīng)力POD模態(tài)空間分布Fig.15 Spatial distribution of POD modes of wall pressure and streamwise shear stress

如圖15(d)和圖15(f)所示，物面剪切場(chǎng)第2和第3模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)則與第1模態(tài)完全不同，此時(shí)，空間結(jié)構(gòu)主要以再附點(diǎn)下游沿展向正負(fù)交替大尺度結(jié)構(gòu)為主，平均分離點(diǎn)附近結(jié)構(gòu)強(qiáng)度則要弱得多。以往的動(dòng)態(tài)模態(tài)分解(DMD)研究表明[33]，再附點(diǎn)下游的摩阻分布與G?rtler-like渦結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。本文的POD結(jié)果也進(jìn)一步證實(shí)了該研究結(jié)果。此外，盡管壓力場(chǎng)的第2和第3模態(tài)結(jié)構(gòu)也集中在再附點(diǎn)附近，但其空間分布沿展向仍呈二維結(jié)構(gòu)，在流向表征為正負(fù)交替結(jié)構(gòu)，這很可能與下游分離泡沿流向的膨脹/收縮運(yùn)動(dòng)有關(guān)。圖15(g)和圖15(h)給出了第40個(gè)模態(tài)的空間分布規(guī)律，該模態(tài)為低能量模態(tài)，僅占總量的0.5%?？梢?jiàn)，剪切脈動(dòng)場(chǎng)與壓力脈動(dòng)場(chǎng)的空間分布差別較小，均以小尺度結(jié)構(gòu)特征為主。

5 結(jié) 論

本文采用直接數(shù)值模擬方法研究了來(lái)流馬赫數(shù)2.9、12°激波角的入射激波與平板湍流邊界層相互作用問(wèn)題，詳細(xì)地分析了干擾區(qū)內(nèi)物面剪切應(yīng)力場(chǎng)的典型統(tǒng)計(jì)特征，如預(yù)乘譜、概率密度分布和相干結(jié)構(gòu)等，得到以下結(jié)論：

1) 數(shù)值模擬準(zhǔn)確捕捉到了分離激波的非定常運(yùn)動(dòng)。與物面壓力脈動(dòng)不同的是，分離激波低頻振蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)物面剪切應(yīng)力預(yù)乘譜沒(méi)有實(shí)質(zhì)影響，干擾區(qū)內(nèi)流向及展向切應(yīng)力的脈動(dòng)能量仍以高頻特征為主。

2) 干擾區(qū)內(nèi)分離泡對(duì)物面剪切應(yīng)力各分量統(tǒng)計(jì)特性的影響機(jī)制差異明顯。流向剪切概率密度函數(shù)變化劇烈，分離泡內(nèi)不再滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布規(guī)律，而展向剪切概率密度函數(shù)的變化則較小，近似于正態(tài)分布。

3) 主能量模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)表明，分離點(diǎn)附近物面剪切脈動(dòng)與分離激波的低頻振蕩運(yùn)動(dòng)密切相關(guān)，而下游再附區(qū)內(nèi)則由大尺度G?rtler-like流向渦結(jié)構(gòu)占主導(dǎo)。

致 謝

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