張韶杰

（中山市第一中學(xué) 廣東中山 528403）

人教版必修2 教材“人類遺傳病”一節(jié)中有一道討論題：“紅綠色盲中男性發(fā)病率為7%，女性發(fā)病率為0.5%。你計算的發(fā)病率是否接近上述數(shù)據(jù)［1］？”很多學(xué)生認(rèn)為7%和0.5%指在整個人群中XbY 和XbXb的基因型頻率。實際上，與常染色體遺傳病的發(fā)病率不同，伴性遺傳病的發(fā)病率常指在相應(yīng)性別中的發(fā)病概率，教材在此處敘述得比較模糊。根據(jù)伴性遺傳平衡定律，由男性中XbY%=7%，可得該性別中Xb%=7%，則女性中XbXb%=（Xb%）2=（7%）2=0.49%，與調(diào)查得到的0.5%數(shù)據(jù)基本接近。但學(xué)生難以理解的是為何由男性得出的色盲基因頻率就是人群中或女性中的基因頻率?，F(xiàn)行生物學(xué)教材中也沒有出現(xiàn)遺傳平衡定律，只是在“現(xiàn)代生物進(jìn)化理論的主要內(nèi)容”一節(jié)中以“思考與討論”的形式呈現(xiàn)［1］，且沒有延伸到伴性遺傳中。本文通過數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)出伴性遺傳平衡定律及其相關(guān)規(guī)律，并結(jié)合相關(guān)題目說明這些規(guī)律的實際運用。

1 伴X 基因頻率在兩性中為什么是相等的？

理解該問題是利用伴性遺傳平衡定律解決相關(guān)問題的前提，中學(xué)教師往往采用以下幾種方式處理。

1.1 簡單記憶法 這樣做可節(jié)省時間，對一些基礎(chǔ)差的學(xué)生也只好如此。但一些思維習(xí)慣好的學(xué)生總是想搞清楚為什么，而且不加理解的記憶并不能靈活處理各種問題。

1.2 簡單理解法 以色盲為例，根據(jù)X 染色體交叉遺傳的特點，因男性患者的色盲基因來自其母親，將來又會傳給其女兒，故在兩性中相等。伴X 顯性遺傳同樣如此理解，但這種解釋比較牽強，仍然不能滿足部分學(xué)生的刨根問底。

1.3 棋盤驗證法 假設(shè)色盲基因頻率在兩性中是相等的（設(shè)XB=p，Xb=q）。由于基因頻率可看作是相應(yīng)配子的比率（注意男性可產(chǎn)生X 和Y 2 種比例相等的精子），隨機婚配可看作精、卵的隨機結(jié)合，因此，可利用棋盤格法推出隨機婚配后代的各基因型頻率［2］。

表1 利用棋盤格法表示隨機交配過程

表1所得的各基因型頻率是基于整個人群的。由于人群中男女比例為1∶1，所以在女性中：XBXB=p2，XBXb=2pq，XbXb=q2；在男性中：XBY=p，XbY=q。這正是很多中學(xué)教師給學(xué)生補充的伴性遺傳平衡定律的內(nèi)容，而本定律成立的前提就是伴X 基因頻率在兩性中是相等的。2016年全國乙卷第6 題就直接考查了定律的內(nèi)容：

理論上，下列關(guān)于人類單基因遺傳病的敘述，正確的是（D）。

A．常染色體隱性遺傳病在男性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

B．常染色體隱性遺傳病在女性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

C．X 染色體隱性遺傳病在女性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

D．X 染色體隱性遺傳病在男性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

為了更好地檢測學(xué)生對于伴性遺傳平衡定律的理解程度，筆者改編了一道相關(guān)題目：

（多選題）紅綠色盲為伴X 隱性遺傳病，抗維生素D 佝僂病為伴X 顯性遺傳病。調(diào)查某一城市人群中男性紅綠色盲發(fā)病率為P、男性抗維生素D 佝僂病發(fā)病率為Q。下列敘述正確的是（B、C）。

A.女性中色盲發(fā)病率大于P

B.人群中女性抗維生素D 佝僂病發(fā)病率大于Q

C.男性中色盲基因頻率為P，抗維生素D 佝僂病基因頻率為Q

D.抗維生素D 佝僂病女患者的父親和母親可以都正常

解析：本題答案為B、C。設(shè)致病基因分別為Xb和XD，則Xb%=XbY%=P（0＜P＜1），XD%=XDY%=Q（0＜Q＜1），且在兩性中是相同的，故C 正確。女性色盲的發(fā)病率XbXb%=（Xb%）2=P2＜P，故A 錯誤。女性抗VD佝僂病的發(fā)病率=（XD%）2+2XD%×Xd%=Q2+2Q（1-Q）=Q+Q（1-Q）＞Q，故B 正確?？筕D佝僂病為伴X 染色體顯性遺傳病，根據(jù)X 染色體的交叉遺傳特點，女患者必有一個XD基因來自于雙親中的一位，則其雙親必有一人為患者，故D 錯誤。

1.4 數(shù)據(jù)計算法 設(shè)XB和Xb的基因頻率在男性中分別為0.4 和0.6，在女性中分別為0.7 和0.3，利用棋盤格法得出隨機婚配后代的各基因型頻率［3］。

表2 利用棋盤格法表示隨機交配過程

女性中XB的基因頻率=（2×0.28+0.54）／2=0.28+0.54／2=0.55（即XB=XBXB+XBXb／2），同理可得Xb=0.45。

男性中XB的基因頻率=0.7／1=0.7(即XB= XBY)，同理可得Xb=0.3。

如此逐代隨機交配各代的基因頻率，以及在兩性中的差值如表3［4］。

表3 逐代隨機交配各代的基因頻率

計算到第3 代就可發(fā)現(xiàn)：伴X 基因頻率在兩性間的差值每代減少一半。如此大部分學(xué)生可接受“色盲基因頻率在兩性中相等”這一事實，而且也真正理解了遺傳平衡定律的適應(yīng)條件：種群非常大、能自由交配、無遷入和遷出、無自然選擇、無基因突變。表2和表3也顯示了X 染色體交叉遺傳的特點，即男性的發(fā)病率剛好是上一代女性中色盲基因頻率，而男性中色盲基因頻率就等于男性的發(fā)病率。

2 用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)伴X 基因頻率在兩性中差值的變化規(guī)律

設(shè)隨機交配的大群體中一對伴X 基因XB和Xb，令雌性中第n 代XB和Xb的基因頻率分別為Fn和fn（起始基因頻率分別為F0和f0），雄性中第n 代XB和Xb的基因頻率分別為Mn和mn（起始基因頻率分別為M0和m0）。令M0≠F0，m0≠f0。據(jù)表3可采用歸納推理法得出Fn-Mn=（-0.5）n×（F0-M0）［5］，但假說的正確與否必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)證明。

由棋盤格法得出第n+1 代各基因型頻率如表4。

表4 利用棋盤格法表示隨機交配過程

則第n+1 代雌性中XB的基因頻率：Fn+1=，同理可得等。

第n+1 代雄性中XB的基因頻率：Mn+1=XBY=Fn，同理可得Mn=Fn-1等。

所以Fn-Mn=（Fn-1+Mn-1）-Fn-1=-0.5（Fn-1-Mn-1），

而Fn-1-Mn-1=-0.5（Fn-2-Mn-2），F(xiàn)n-2-Mn-2=-0.5（Fn-3-Mn-3）……

所以Fn-Mn=（-0.5）2×（Fn-2-Mn-2）=……=（-0.5）n×（F0-M0）。

以上證明采用了高中數(shù)學(xué)歸納法的思想，它屬于完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理法，平時的教學(xué)中可引導(dǎo)有興趣的學(xué)生進(jìn)行證明。教學(xué)中利用好這些學(xué)科間的交叉聯(lián)系，可有效訓(xùn)練學(xué)生的理性思維，提升學(xué)生的生物學(xué)核心素養(yǎng)。

3 如何求出伴X 基因平衡后的基因頻率？

上述證明過程表明：若隨機交配逐代進(jìn)行，伴X 基因頻率將在兩性間擺動，最后差異消失，群體趨于平衡。這與常染色體上只需一個世代的隨機交配即可達(dá)到平衡不同。最終兩性的基因頻率會無限接近于何值？可以先簡單理解：男、女的性染色體組成分別為XY 和XX，人群中男女比例為1∶1。所以可認(rèn)為X 染色體有存在于女性中，有存在于男性中。最終相同時的XB基因頻率應(yīng)為［5］。仍以上述色盲為例，F(xiàn)0=0.7，M0=0.4，代入公式可得p=0.6，而Xb的基因頻率q=1-p=0.4。這僅是初步猜想，證明過程如下：

由公式Fn-Mn=（-0.5）n×（F0－M0）及公式Mn+1= Fn

可得Mn+1－Mn=（-0.5）n×（F0－M0）

n=0 時，M1－M0=（-0.5）0×（F0－M0）

n=1 時，M2－M1=（-0.5）1×（F0－M0）

……

n=n-1 時，Mn－Mn-1=（-0.5）n-1×（F0－M0）

n=n 時，Mn+1－Mn=（-0.5）n×（F0－M0）

以上式子相加可得：

Mn+1－M0=（F0－M0）［（-0.5）0+（-0.5）1+（-0.5）2+……+（-0.5）n］

令n=n-1，則Mn－M0=（F0－M0）［（-0.5）0+（-0.5）1+（-0.5）2+……+（-0.5）n-1］

4 兩性的伴X 基因頻率在逐代隨機交配時無限接近的過程

由上述證明過程同理可推出女性中第n 代XB的基因頻率公式，過程如下：

由公式Fn－Mn=（-0.5）n×（F0－M0）及公式Mn+1=Fn

可得Fn－Fn-1=（-0.5）n×（F0－M0）

n=1 時，F(xiàn)1－F0=（-0.5）1×（F0－M0）

n=2 時，F(xiàn)2－F1=（-0.5）2×（F0－M0）

……

n=n-1 時，F(xiàn)n-1－Fn-2=（-0.5）n-1×（F0－M0）

n=n 時，F(xiàn)n－Fn-1=（-0.5）n×（F0－M0）

以上式子相加可得：

Fn－F0=（F0－M0）［（-0.5）1+（-0.5）2+……+（-0.5）n］

總結(jié)2 個公式，第n 代中XB的基因頻率在男女中分別為：

假 設(shè)M0=0.1，F(xiàn)0=1，則Mn=0.7－0.6（-0.5）n，F(xiàn)n=0.7+0.3（-0.5）n。可利用這2 個函數(shù)，結(jié)合Excel軟件中的公式輸入與作圖功能，形象展現(xiàn)逐代隨機交配時伴X 基因在兩性中趨于平衡的過程。具體過程如下：B2、C2 輸入起始基因頻率，B3 輸入公式“=0.7-0.6*POWER（-0.5，A3）”，C3 輸入公式“=0.7+0.3*POWER（-0.5，A3）”，然后用B、C 列所輸出的基因頻率畫出折線圖［6］。從圖2中可以看出，只需經(jīng)過7～8 個世代后，XB基因頻率就可平衡在0.7 的水平。通過修改起始頻率即可呈現(xiàn)各種平衡過程圖表。在教學(xué)中若向?qū)W生簡單展示該過程，必然能加深學(xué)生對于伴X 基因平衡過程的認(rèn)識，同時也激發(fā)學(xué)生對于生物學(xué)的探索和興趣。