孫鼎杰 郭鵬飛

(1.紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興 312000；2.紹興文理學(xué)院 巖石力學(xué)與地質(zhì)災(zāi)害實(shí)驗(yàn)中心，浙江 紹興 312000)

巖石材料具有不連續(xù)性、非均勻性和各向異性等特征，且?guī)r石內(nèi)部存在天然的缺陷，如預(yù)裂裂紋、節(jié)理、層理等，這些均嚴(yán)重影響了巖石的強(qiáng)度.其中，預(yù)裂裂紋對巖石強(qiáng)度的影響較為顯著.隨著我國經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，對資源的需求日趨增大，在資源開采的過程中許多問題隨之而來.例如，當(dāng)巖體內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)育較差時(shí)，在地應(yīng)力作用下巖體容易產(chǎn)生變形，且在變形的過程中伴隨著裂紋的擴(kuò)展、延伸及貫通，使巖體產(chǎn)生斷裂破壞，從而造成大量的財(cái)產(chǎn)損失和人員傷亡.由裂紋導(dǎo)致巖石破壞的內(nèi)在原因，即在裂紋擴(kuò)展變形的過程中巖體內(nèi)應(yīng)力會重新分布，使新的區(qū)域應(yīng)力達(dá)到臨界斷裂應(yīng)力，從而使巖石產(chǎn)生斷裂破壞.研究預(yù)裂裂紋巖體的變形和裂紋周圍應(yīng)力分布規(guī)律，不僅會對巖體斷裂力學(xué)問題有更進(jìn)一步的認(rèn)識，而且也將對巖石力學(xué)與工程理論有深入的了解，研究成果將對巖體災(zāi)害防治有理論和現(xiàn)實(shí)意義.

隨著巖石工程項(xiàng)目的開展，國內(nèi)外學(xué)者對預(yù)裂裂紋巖體進(jìn)行了多方面的研究，并取得了豐碩的成果.Inglis早在1913年通過對帶有橢圓通孔平板的拉伸應(yīng)力分布進(jìn)行研究和計(jì)算，證明了應(yīng)力集中現(xiàn)象的存在[1]；Griffith在1920年指出，預(yù)裂裂紋的存在對脆性材料穩(wěn)定性的影響很大、對材料的穩(wěn)定性影響顯著，從而在理論上有很大的突破[2]；Lajtai研究了含預(yù)制裂紋的石膏試件在單軸壓縮條件下的脆性破壞過程，給出了裂紋斷裂擴(kuò)展的演化過程[3]；Chua和Wong等人使用類砂巖模擬材料，研究了含不同角度分布的預(yù)置裂紋的貫通機(jī)制，對巖橋貫通失效機(jī)制進(jìn)行了一系列的研究[4]；陳衛(wèi)中與李術(shù)才等研究了閉合裂紋在單軸和雙軸荷載作用下，預(yù)裂裂紋擴(kuò)展、貫通的規(guī)律[5]；Tang和Kou采用RDPA2D軟件，從數(shù)值分析角度研究了硬巖中裂紋的擴(kuò)展及貫通規(guī)律[6]；唐謙與李云安采用PFC顆粒流數(shù)值模擬方法，預(yù)設(shè)了單預(yù)裂裂紋巖石在雙向壓縮狀態(tài)下裂紋擴(kuò)展的過程[7].

為了研究預(yù)裂裂紋巖石材料的變形及其破壞過程，研究人員運(yùn)用了各種先進(jìn)的技術(shù)手段，但是他們主要偏重于研究有角度的單裂紋或多裂紋擴(kuò)展以及在不同圍壓下的裂紋擴(kuò)展.本文基于上述研究結(jié)果，采用FLAC3D數(shù)值仿真軟件，對相同正壓力、剪切力但不同長度的豎直預(yù)裂裂紋巖樣進(jìn)行模擬剪切實(shí)驗(yàn)，結(jié)合斷裂力學(xué)理論，探究不同預(yù)裂裂紋長度下巖石的應(yīng)力分布及變形規(guī)律，為巖體相關(guān)工程施工提供參考.

1 巖石預(yù)裂裂紋強(qiáng)度理論

1.1 Griffith斷裂理論

Griffith對鋼和玻璃等脆性材料進(jìn)行試驗(yàn)研究，并于1920年提出斷裂強(qiáng)度理論，巖石斷裂理論也起源于此.Griffith斷裂理論為巖體斷裂破壞機(jī)理研究奠定了基礎(chǔ).Griffith認(rèn)為，材料斷裂的起因是由于材料內(nèi)部存在微小裂紋，在受到力的作用時(shí)在裂紋的尖端產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，材料中的眾多微小裂紋相互貫通從而使材料產(chǎn)生斷裂破壞.Griffith考慮了如圖1所示的受拉平板，認(rèn)為預(yù)裂裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展的臨界條件，是預(yù)裂裂紋擴(kuò)展時(shí)所需要的表面能正好與預(yù)裂裂紋擴(kuò)展時(shí)系統(tǒng)釋放的彈性應(yīng)變能相抵[8].裂紋擴(kuò)展?jié)M足的條件為：

(1.1)

式中：σc為臨界應(yīng)力；a為預(yù)裂裂紋的半長；γ為形成單位面積新表面所需要的表面能.

圖1Griffith斷裂理論示意圖

其后，Griffith把強(qiáng)度理論用于壓縮試驗(yàn)裂紋擴(kuò)展研究，在不考慮摩擦對壓縮下閉合裂紋的影響，以及假定橢圓裂紋將從最大拉應(yīng)力集中點(diǎn)開始向外擴(kuò)展的情況下，獲得了雙向壓縮下裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則，即所謂的Griffith強(qiáng)度準(zhǔn)則[9]：

(1.2)

式中：σ1為正壓力；σ3為側(cè)壓力；σt為脆性材料的單軸抗壓強(qiáng)度.

1.2 Griffith的能量平衡理論[10]

Griffith在Inglis得到的裂紋周圍應(yīng)變能密度的基礎(chǔ)上，設(shè)置板厚為單位1，并假定為平面應(yīng)力的情況下，得到的彈性勢能公式為：

(1.3)

式中E為楊氏彈性模量.由于裂紋的出現(xiàn)，其增加的表面能為：

S=4aΓ，

(1.4)

其中，Γ為單位面積的表面能.Griffith認(rèn)為，當(dāng)裂紋尖端部擴(kuò)展一小段長度da(裂紋長度從2a→2a+da)時(shí)，彈性勢能的釋放率dWc/da如果大于或等于表面能的增加率dS/da，則裂紋處于不穩(wěn)定狀態(tài)，必定會進(jìn)一步擴(kuò)展，因此得到裂紋擴(kuò)展的條件為：

(1.5)

將式(1.3)和式(1.4)代入式(1.5)中，得到臨界應(yīng)力σg為：

(1.6)

式中E和Γ是材料的常數(shù).式(1.6)與其他判斷臨界應(yīng)力公式的最大區(qū)別在于，σg不僅與材料性質(zhì)有關(guān)，而且與裂紋長度有密切關(guān)系.

1.3 裂紋周圍的應(yīng)力和位移

為了進(jìn)行裂紋問題的應(yīng)力分析，首先要確定裂紋的類型.根據(jù)裂紋尖端的受力形式以及斷裂特征，裂紋可分為3種基本的類型(如圖2)，分別為Ⅰ型(張開型)、Ⅱ型(滑開型)和Ⅲ型(撕開型)[11].

Ⅰ型 Ⅱ型 Ⅲ型

圖2裂紋的3種基本類型

巖石試件在承受豎直和水平荷載情況下，裂紋以滑開裂紋的形式存在，因此本文研究的是Ⅱ型裂紋.當(dāng)裂紋尖端承受Ⅱ型應(yīng)力作用時(shí)，裂紋將發(fā)生滑開型斷裂，其裂紋尖端在極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量表達(dá)式為[12]：

(1.7)

式中：KⅡ表示Ⅱ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子；σrr、σθθ和τrθ分別為裂紋尖端徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力和剪切應(yīng)力；θ為裂紋偏離角度；r為裂紋外某點(diǎn)與裂紋尖端的距離.

裂紋尖端位移場分量為[13]：

(1.8)

其中：ur為裂紋尖端在X方向產(chǎn)生的位移；uθ為裂紋尖端在Z方向產(chǎn)生的位移；k為巖石材料常數(shù).

2 FLAC3D數(shù)值模擬

2.1 FLAC3D軟件簡介

FLAC(Fast lagrangian Analysis of Continua)是由美國ITASCA公司研發(fā)的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)分析軟件.FLAC源于流體力學(xué)，其基本原理類似于離散元法，最早由Willkins應(yīng)用于固體力學(xué)領(lǐng)域，目前已經(jīng)成為巖石力學(xué)最主要的計(jì)算方法之一.FLAC3D所采用的顯式拉格朗日算法和混合-離散分區(qū)技術(shù)，能夠非常準(zhǔn)確地模擬材料的塑性破壞和流動.FLAD3D不僅可以處理一些大變形的幾何非線性問題，模擬巖體沿某一弱面產(chǎn)生的滑移變形,也可以處理諸多有限元程序難以解決的復(fù)雜工程問題.

在算法上,FLAC3D相對于有限元軟件有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：

(1)采用“混合離散法”模擬材料的塑性破壞和塑性流動，這種方法相對于有限元方法所采用的“離散集成法”在結(jié)果上更加合理[14].

(2)即使問題的本質(zhì)是靜力問題，F(xiàn)LAC3D也會采用動態(tài)的運(yùn)動方程進(jìn)行求解，這就使得其在模擬物理學(xué)中的不穩(wěn)定過程時(shí)不存在數(shù)值上的障礙.

(3)采用顯式差分法求解微分方程.對于顯式法來說，線性本構(gòu)關(guān)系與非線性本構(gòu)關(guān)系在算法上并無差別，對于已知應(yīng)變增量，可以快速準(zhǔn)確地求出應(yīng)力增量，并得到平衡力[15].可以追蹤系統(tǒng)的演化過程，不需要儲存剛度矩陣，所需內(nèi)存較小，可以用較小的內(nèi)存模擬出大量的單元.

2.2 方案的設(shè)計(jì)和參數(shù)的選取

為了研究不同長度的豎直預(yù)裂裂紋巖石在剪切實(shí)驗(yàn)過程中的位移和應(yīng)力規(guī)律，本文采用FLAC3D數(shù)值仿真軟件進(jìn)行模擬試驗(yàn)，以闡明預(yù)裂巖石破壞的力學(xué)機(jī)制.數(shù)值模擬采用的單元體尺寸為150 mm×150 mm×150 mm，分別在6個(gè)不同的豎直預(yù)裂裂紋長度(0 mm、20 mm、50 mm、80 mm、110 mm和140 mm)條件下進(jìn)行巖塊的剪切試驗(yàn)，數(shù)值模擬參數(shù)見表1，主要監(jiān)測指標(biāo)為其變形和應(yīng)力.

表1 數(shù)值模擬參數(shù)

序號裂紋長度/mm正應(yīng)力/Pa剪應(yīng)力/Pa102×1042×1042202×1042×1043502×1042×1044802×1042×10451102×1042×10461402×1042×104

由于FLAC3D軟件模擬時(shí)需要定義巖石單元體微觀參數(shù)，而在現(xiàn)實(shí)中只能得到巖石的宏觀參數(shù)，因此需要通過計(jì)算得到巖石單元體的微觀參數(shù).巖石的宏觀力學(xué)參數(shù)見表2.利用以下經(jīng)驗(yàn)公式及巖石的宏觀參數(shù)公式[16]，可計(jì)算模擬時(shí)所需的巖石微觀參數(shù).巖石體積模量K的計(jì)算公式為：

(2.1)

巖石剪切模量G的計(jì)算公式為：

(2.2)

式(2.1)和式(2.2)中的E為巖石的彈性模量，μ為巖石的泊松比.

計(jì)算所得單元體的微觀力學(xué)參數(shù)見表3.

2.3 模型生成及荷載施加

首先建立單元體.模型試樣尺寸大小為150 mm×150 mm×150 mm，按照比例劃分網(wǎng)格.在單元格生成后，根據(jù)預(yù)設(shè)裂紋的空間坐標(biāo)將相應(yīng)位置的單元格刪除，從而生成含預(yù)裂裂紋的試樣.預(yù)裂裂紋豎直且裂紋在試樣的中軸線上，寬為2 mm，使用表2參數(shù)賦予模型材料屬性.如圖3所示，設(shè)置約束邊界條件及施加應(yīng)力：固定模型沿Y方向所有的面，在Z方向左側(cè)面施加均布荷載，右側(cè)面固定；在X方向裂紋右側(cè)的頂面上施加均布荷載；通過Fish函數(shù)控制正應(yīng)力和剪應(yīng)力保持不變.建模完成后，在6個(gè)不同裂紋長度(0 mm、20 mm、50 mm、80 mm、110 mm和140 mm)條件下進(jìn)行剪切試驗(yàn)，通過試驗(yàn)探究在不同預(yù)裂裂紋長度的影響下，巖石的應(yīng)力分布及變形規(guī)律.

表2 巖石試驗(yàn)宏觀力學(xué)參數(shù)

項(xiàng) 目 數(shù) 值 密 度/(kg·m-3)2.55 單軸壓縮模量/GPa20.00 單軸抗壓強(qiáng)度/MPa45.00 抗拉強(qiáng)度/MPa19.60 泊松比 μ0.20

表3 單元體的微觀力學(xué)參數(shù)

項(xiàng) 目 數(shù) 值 體積模量/GPa11 剪切模量/GPa8 內(nèi)聚力/MPa6.7 剪脹角/(°)15 抗拉強(qiáng)度/MPa19.60

圖3 模擬剪切試驗(yàn)示意圖

3 模擬結(jié)果

3.1 變形

不同預(yù)裂裂紋長度下巖塊達(dá)到平衡時(shí)X方向上的變形如圖4所示.由圖4可以看出：

(1)當(dāng)預(yù)裂裂紋長度不超過80 mm時(shí)，巖石在X方向上產(chǎn)生的位移不均勻，對裂紋右側(cè)巖體有明顯的影響；當(dāng)預(yù)裂裂紋長度大于80 mm時(shí)，巖石在X方向上產(chǎn)生的位移逐漸均勻，對裂紋右側(cè)的巖體幾乎沒有影響.

(2)隨著X方向的預(yù)裂裂紋長度不斷增大，裂紋兩側(cè)巖塊的相對位移也在增大，更容易使相對位移達(dá)到臨界位移條件而產(chǎn)生破壞.

3.2 應(yīng)力分布

不同預(yù)裂裂紋長度下巖塊達(dá)到平衡時(shí)X方向上的應(yīng)力分布如圖5所示.由圖5可以看出：

(1)隨著裂紋長度的增大，正應(yīng)力和剪應(yīng)力的合力在裂紋周圍的影響都集中在裂紋端部，合力影響范圍在逐漸變小，裂紋端部應(yīng)力集中程度增大.

(2)隨著裂紋長度的增大，X方向的應(yīng)力越來越大，裂紋尖端的應(yīng)力集中程度也越來越高，巖石會達(dá)到臨界破壞條件而產(chǎn)生破壞.

4 結(jié)論

本文利用FLAC3D數(shù)值模擬軟件，分別對預(yù)裂裂紋長度為0 mm、20 mm、50 mm、80 mm、110 mm和140 mm的預(yù)裂巖石開展數(shù)值模擬(圖3)，研究剪切條件下的巖石變形及其應(yīng)力分布規(guī)律(圖4和圖5)，通過模擬實(shí)驗(yàn)得到如下結(jié)論：

圖4 不同預(yù)裂裂紋長度下X方向的位移

(1)預(yù)裂裂紋的長度對巖石X方向的變形有顯著影響.當(dāng)預(yù)裂裂紋長度在0～50 mm之間時(shí)，預(yù)裂裂紋左側(cè)巖石的位移分布不均勻，對巖石右側(cè)的影響較大；當(dāng)預(yù)裂裂紋長度在80 mm～110 mm之間時(shí)，預(yù)裂裂紋左側(cè)巖石的位移分布趨于均勻，對右側(cè)巖石幾乎沒有影響；當(dāng)達(dá)到140 mm時(shí)，左側(cè)巖石的位移分布更加均勻.

(2)預(yù)裂裂紋的長度對巖石X方向的應(yīng)力分布有顯著的影響.當(dāng)預(yù)裂裂紋長度在0～50 mm之間時(shí)，外力在預(yù)裂裂紋周圍較大范圍內(nèi)產(chǎn)生影響；當(dāng)預(yù)裂裂紋長度在80～110 mm之間時(shí)，外力的影響范圍逐漸減小，而在預(yù)裂裂紋端部產(chǎn)生較大的影響，應(yīng)力集中程度越來越高；當(dāng)達(dá)到140 mm時(shí)，應(yīng)力集中程度更高.

(3)通過分析位移圖和應(yīng)力圖中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，隨著預(yù)裂裂紋長度的增加，預(yù)裂裂紋左側(cè)巖石的位移更加均勻，裂紋尖端應(yīng)力更大，巖石將會沿裂紋尖端處發(fā)生斷裂破壞，且兩側(cè)巖石相互擾動影響較小.

(4)綜合各方面因素并考慮巖塊X方向的位移和應(yīng)力分布規(guī)律可知，當(dāng)預(yù)裂裂紋達(dá)到巖塊長度的53%～73%時(shí)為巖石的最佳預(yù)裂裂紋長度，這時(shí)預(yù)裂裂紋兩側(cè)巖體的相互擾動影響最小，這一點(diǎn)具有重要的工程實(shí)際意義.

圖5 不同預(yù)裂裂紋長度下X方向的應(yīng)力