楊 偉，張 華,2，葉志勇，武曉慧，韓寶如

(1.重慶理工大學(xué) 理學(xué)院， 重慶 400054; 2.銅仁學(xué)院 大數(shù)據(jù)學(xué)院， 貴州 銅仁 554300；3.重慶醫(yī)科大學(xué) 醫(yī)學(xué)信息學(xué)院， 重慶 400016)

自然界中有很多生物群體會(huì)自發(fā)呈現(xiàn)出規(guī)律一致性的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，例如：魚群能快速一致地改變隊(duì)形來(lái)應(yīng)對(duì)獵物的追捕，螢火蟲(chóng)能節(jié)奏一致地進(jìn)行閃爍，螞蟻?zhàn)裱恍┖?jiǎn)單的規(guī)則就能進(jìn)行覓食等復(fù)雜群集動(dòng)力學(xué)同步行為[1]。在過(guò)去幾十年中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步一致性研究受到了該領(lǐng)域眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，得到了很多重要的研究成果[2-8]。一般來(lái)講，同步是指含有兩個(gè)或兩個(gè)以上子系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)在一定時(shí)間內(nèi)，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)趨于一致的動(dòng)力學(xué)行為[4]，主要有有限時(shí)間同步[5]、幾乎處處同步[6]，分群同步或時(shí)間無(wú)窮大時(shí)同步[7-8]等。

在復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步研究中，子系統(tǒng)為諧振子的一類二階多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步問(wèn)題，在過(guò)去10年中一直是國(guó)際上的一個(gè)研究熱點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在多種約束條件下給出了許多重要的控制輸入?yún)f(xié)議[9-14]。例如，Ren W首次在有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下建立了基于局部耦合的時(shí)間連續(xù)型諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型，給出了該連續(xù)型耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步態(tài)以及達(dá)到同步的判定條件[10]。隨后，Ballard等針對(duì)時(shí)間離散型諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行建模并設(shè)計(jì)了一個(gè)簡(jiǎn)單的分布式控制輸入算法，并研究將該模型應(yīng)用于機(jī)器人的同步協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，利用離散時(shí)間分布耦合諧振子設(shè)計(jì)了對(duì)稱編隊(duì)的控制策略，給出了網(wǎng)絡(luò)化移動(dòng)機(jī)器人協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的物理實(shí)驗(yàn)[11]。

最近，Zhang等[12-13]在系統(tǒng)無(wú)法感知振子之間的相對(duì)速度狀態(tài)而只能在一系列離散時(shí)刻獲得相對(duì)位移狀態(tài)的約束條件下，提出了基于相對(duì)位移采樣信息的兩種分布式控制輸入?yún)f(xié)議：脈沖控制協(xié)議和采樣控制協(xié)議。分別在無(wú)向固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、無(wú)循環(huán)劃分的分簇拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，給出了系統(tǒng)達(dá)到同步的一些充分必要條件，得到了系統(tǒng)在達(dá)到同步時(shí)采樣周期與系統(tǒng)的自身參數(shù)以及拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的準(zhǔn)確函數(shù)關(guān)系。隨后，Wan等[14]在基于離散時(shí)刻相對(duì)速度的耦合情形下，分析了網(wǎng)絡(luò)型諧振子系統(tǒng)的分群同步現(xiàn)象并給出了諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到同步的一些判定準(zhǔn)則。

值得注意的是以上幾乎所有的工作都是建立在非隨機(jī)耦合的諧振子系統(tǒng)上的。但是，在現(xiàn)實(shí)世界中由于測(cè)量噪聲的不可避免性，系統(tǒng)均不同程度地受到各種噪聲的干擾。因此，在隨機(jī)噪聲環(huán)境下研究耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步問(wèn)題具有重要的實(shí)際意義。例如，Shang等[15]基于隨機(jī)時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性理論、代數(shù)圖論和矩陣論研究了帶有隨機(jī)噪聲和時(shí)滯的耦合諧振子系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)—跟隨同步線性。Sun等[16]在無(wú)引導(dǎo)者的結(jié)構(gòu)下，研究了隨機(jī)噪聲作用下耦合諧振子系統(tǒng)的同步，設(shè)計(jì)了兩種分布式控制算法，得到了使耦合諧振子系統(tǒng)達(dá)到幾乎處處同步的充分條件。但是，他們考慮的隨機(jī)諧振子系統(tǒng)的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)都是基于相對(duì)速度的耦合設(shè)計(jì)。

基于以上研究工作，考慮到實(shí)際工程中獲知相對(duì)速度信息比相對(duì)位移信息更加困難這一現(xiàn)實(shí)，設(shè)計(jì)了一種由帶有隨機(jī)噪聲的相對(duì)位移信息構(gòu)成的分布式控制輸入?yún)f(xié)議，并且得到了該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到幾乎處處同步的一個(gè)充分條件。

1 基礎(chǔ)知識(shí)和模型建立

1.1 符號(hào)說(shuō)明

1.2 代數(shù)圖論

代數(shù)圖論是分析網(wǎng)絡(luò)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。令G=(V,E,A)是一個(gè)n(n≥2)階加權(quán)有向圖，V={1,2,…,n}是有向圖G的節(jié)點(diǎn)集合，Ni={j∈V∶(i,j)∈E}表示節(jié)點(diǎn)i的鄰居集合，E?V×V是有向邊界集，A=[aij]∈Rn×n是鄰接矩陣。(i,j)∈E當(dāng)且僅當(dāng)aij>0(i≠j)，即節(jié)點(diǎn)i能夠從節(jié)點(diǎn)j收到信息，(i,j)?E當(dāng)且僅當(dāng)aij=0(i≠j)，即節(jié)點(diǎn)i不能夠從節(jié)點(diǎn)j收到信息。

1.3 模型描述

耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)一般動(dòng)力學(xué)方程為[18]：

(1)

其中：xi(t),vi(t)∈R分別表示第i個(gè)振子的位移和速度；α>0表示位移增益；ui(t)是分布式控制輸入?yún)f(xié)議。

Sun等[16]提出了如下帶有隨機(jī)擾動(dòng)的分布式控制協(xié)議：

(2)

其中：c>0表示耦合強(qiáng)度；aij表示振子i和振子j的相互作用。

值得注意的是，該協(xié)議中的控制輸入項(xiàng)是由相對(duì)速度狀態(tài)信息構(gòu)成的，但是在現(xiàn)實(shí)中由于技術(shù)條件的限制，準(zhǔn)確地測(cè)量相對(duì)速度要比測(cè)量相對(duì)位移困難。因此，本文給出如下基于帶隨機(jī)擾動(dòng)相對(duì)位移狀態(tài)的分布式控制輸入?yún)f(xié)議：

(3)

其中：δ是噪聲強(qiáng)度；B(t)是一個(gè)定義在完備概率空間(Ω,F,P)上的一維布朗運(yùn)動(dòng)，滿足如下條件：E[dB(t)]=0，[dB(t)]2=dt。

研究目標(biāo)是構(gòu)建帶有分布式控制算法(3)的耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)達(dá)到幾乎處處同步的充分條件。首先介紹如下著名的伊藤(It)公式。考慮一個(gè)n維隨機(jī)微分方程

dx(t)=f(t,x(t))dt+g(t,x(t))dB(t)

(4)

其中，t≥0，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，B(t)是一個(gè)m維獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)的維納過(guò)程，向量值函數(shù)f:[0,+∞]×Rn→Rn，g:[0,+∞]×Rn→Rn×m，并且f(t,0)=0，g(t,0)=0。

假設(shè)C2,1(Rn×R+;R)表示非負(fù)函數(shù)V(x,t)在Rn×R+上關(guān)于x二階可導(dǎo)，關(guān)于t一階可導(dǎo)。對(duì)于每一個(gè)V∈C2,1(Rn×R+;R)，定義從Rn×R+到R的極小生成元lV[19]

lV=Vt(x,t)+Vx(x,t)f(x,t)+

(5)

其中

為了證明主要結(jié)果，引入以下定義和引理。

定義1圖G=(V,E,A)的節(jié)點(diǎn)i是平衡的當(dāng)且僅當(dāng)節(jié)點(diǎn)i的入度和出度相等，即degin(i)=degout(i)。有向圖G是平衡的當(dāng)且僅當(dāng)它的所有節(jié)點(diǎn)均是平衡的。

degout(i)=Dii

(6)

2 主要結(jié)果

在分布式控制協(xié)議(3)下，網(wǎng)絡(luò)型耦合諧振子系統(tǒng)(1)動(dòng)力學(xué)方程寫成矩陣的形式：

(7)

(8)

(9)

再令

那么方程(9)能寫成以下形式：

de(t)=He(t)dt-δEe(t)dB(t)

(10)

(11)

證明首先構(gòu)造一個(gè)正定的Lyapunov函數(shù)V(t)=eT(t)e(t)。通過(guò)伊藤(It)公式，能夠計(jì)算極小生成元

lV=2eT(t)He(t)+

2eT(t)He(t)+δ2trace(eT(t)ETEe(t))=

eT(t)Me(t)

矩陣M的特征方程是

即

(12)

要使得該特征方程的所有特征值為負(fù)數(shù)，則需滿足

即

則對(duì)于所有的l=2,3，…,n，有

(13)

由于0=λ1<λ2≤…≤λn，那么只要

則矩陣M的所有特征值是負(fù)的。假設(shè)-λmin(M)是矩陣M的最大特征值，則

lV≤-λmin(M)eT(t)e(t)=-λmin(M)V(t)

(14)

3 實(shí)驗(yàn)仿真

考慮由6個(gè)諧振子構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以及邊的權(quán)重如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

其對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣為

根據(jù)定理1，如果7.737 2δ2<16<27.029 6+7.737 2δ2,即δ2<2.067 9，那么帶隨機(jī)擾動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)型耦合諧振子系統(tǒng)(7)能夠達(dá)到幾乎處處同步。取δ=0.8，選擇初始值為x1(0)=11，x2(0)=1，x3(0)=22，x4(0)=-5，x5(0)=-13，x6(0)=5，v1(0)=4，v2(0)=13，v3(0)=-15，v4(0)=2，v5(0)=-5，v6(0)=18。圖2展示了系統(tǒng)隨著時(shí)間的演化，位移xi(i=1,2,…,6)的變化曲線。圖3展示了隨著時(shí)間的演化，速度vi(i=1,2,…,6)的變化曲線?？梢钥闯觯弘S著時(shí)間的演化，各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移和速度均能夠達(dá)到幾乎處處同步。

圖2 位移狀態(tài)時(shí)間反應(yīng)曲線

圖3 速度狀態(tài)的時(shí)間反應(yīng)曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了在隨機(jī)噪聲擾動(dòng)環(huán)境下網(wǎng)絡(luò)型諧振子系統(tǒng)的幾乎處處同步的問(wèn)題。因?qū)嶋H操作中準(zhǔn)確地直接測(cè)量振子的相對(duì)速度難于相對(duì)位置信息，因而設(shè)計(jì)了一種用準(zhǔn)確的相對(duì)速度耦合信息和帶隨機(jī)噪聲的相對(duì)位移耦合信息兩部分構(gòu)成的分布式控制輸入?yún)f(xié)議。利用伊藤(It)公式以及拉普拉斯矩陣的譜理論，給出了隨機(jī)耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到幾乎處處同步的充分條件。數(shù)值模擬進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出結(jié)果的正確性和協(xié)議的有效性。在后續(xù)的研究計(jì)劃中，我們將探索只含有相對(duì)位移耦合的隨機(jī)耦合諧振子網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定的判定條件，以及帶有通訊和輸入時(shí)滯、噪聲強(qiáng)度是如何影響隨機(jī)耦合諧振子系統(tǒng)同步的機(jī)理等。