孫毅堅

孫子在兵法中強調，戰(zhàn)爭的目的是為了勝利而非殺戮的快感，同樣，數學的學習是為了更快更精準地解題，而非僅僅用來炫技.有時候，解決一道難題的最佳方案，也許反而是最純粹的列舉.希望這篇文章能引起各位的注意，畢竟數學能力的強弱更主要是在于分析和解決問題的能力，而非知識量的多少.

例一列數：1，2，3，5，8，13，…請問第1993個數被6除余幾？

這道看似是名校自主招生的題，實際上來自一本小學四年級的奧數講義書.顯然，所謂“一列數”即去掉首項1的斐波那契數列（斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，…），對這樣龐大的數字求解，其背后一定有規(guī)律存在，于是我隨手便列舉了7位：

表1

隨著數列的展開，具體數值將滾雪球般越來越大，這時依然靠它求被6除的余數顯然不夠理智，觀察可以發(fā)現，最右邊由被6除余數組成的新數列之間，也存在著類似斐波那契數列的性質，簡單證明一下：

設一列數為{an}，一列數被6除余數為{bn}，

再設an=6T+p，an+1=6T+q，T ∈N，p，q∈{0，1，2，3，4，5}，

則bn=p，bn+1=q，an+2=12T+p+q.

因為p+q＜12，

那么借助{bn}的性質可以免去計算具體數值，這樣列到16位：

表2

至此，再回頭看產生的新數列，可以說還是沒有頭緒.我不禁失去了耐心，將題目上傳到了一個數學愛好者討論群中，很快，各種學霸和數學競賽牛人都各抒己見，我則繼續(xù)默默列舉.

有人搬出了特征方程，將數列通項解出：

可是談及被6除余幾卻依然無人作答，這時，我驚喜地發(fā)現，列舉有了突破性進展.

表3

山重水復疑無路，柳暗花明又一村.如表3所示，亂序的數字在第24位出現了轉機，即第24位不僅回到了第1位的數值1，其前一位為0，那么第25位為1、第26位為2、……分別對應第1、2……位.所以說，這個“一列數”呈現出以24為周期的循環(huán).這時經簡單運算，答案為1.為了保險起見，我又在網上找到了原題與詳解，答案正確并且窮舉為目前我能查到的唯一方法，解析最后一句“本題旨在考驗學生的意志力與科學精神”，仿佛是對我默默窮舉，耐心求解的一種稱贊.

我上傳答案后，仍有人不死心，誓要熬夜思考其他方法……祝他成功.而整理草稿的我不禁想起一句話，可能與文題不太吻合：“有時我們走得太遠，以至于忘了為何出發(fā).”

解完了這道工程量頗為浩大的題，我總結歸納了一下，得到有關窮舉法的幾個要點：

①題干中出現幾百幾千這樣極大的數據時，往往會有規(guī)律可循，可先通過窮舉發(fā)現規(guī)律，再進行代數證明；

②在窮舉過程中，盡量避免計算過于龐大的數據，而是在數值比較小的數據中找規(guī)律.這需要在解題過程中隨時化繁為簡；

③面對較難的，求具體數值、最值的相關問題時，窮舉往往是最先與最后要考慮的方法，先小規(guī)律地列表，未果后考慮其他思路，若依舊毫無成效，則可放大窮舉的范圍，對填空題而言，這種相對客觀的解題策略與方法既省時又高效；

④窮舉并非單純的全部列舉，在適當的條件下結合兩分法等，在對過程的分析中可以跳過一些無意義的列舉，抓住性質縮小范圍，尋找列舉中的“轉機”.

那么，讓我們回到高中數學中來，嘗試解答這道2018年高考江蘇卷的填空壓軸題：

已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}，將A∪B的所有元素從小到大依次排列構成一個數列{an}，記Sn為{an}的前n項和，則使得Sn＞12an+1成立的n 的最小值為_________.

這是絕大多數資料上提供的解答方法，很“江蘇”：

設An=2n-1，Bn=2n，n∈N*，則當Ak＜Bl＜Ak+1（k，l∈N*）時，

2k-1＜2l＜2k+1，有則k=2l-1.

設Tl=A1+A2+…+A2l-1+B1+B2+…+Bl，則共有k+l=2l-1+l個數，即Tl=S2l-1+l，而A1+A2+…+A2l-1=

B1+B2+…+Bl=則Tl=22l-2+2l+1-2，

則l，Tl，n，an+1的對應關系為：

表4

觀察到l=5時，Tl=S21＜12a22，而l=6時，Tl=S38＞12a39，則在n∈（21，38），n∈N*時，存在n使得Sn＞12an+1，此時T5=A1+A2+…+A16+B1+B2+B3+B4+B5，則當n∈（21，38），n∈N*時，

an+1=An+1-5=An-4，12an+1=12［2（n-4）-1］=24n-108，

Sn-12an+1=n2-34n+195=（n-17）2-94，

則n≥27時，Sn-12an+1＞0，即nmin=27.

不過，用窮舉法可能還要更簡便一點：

{an｝顯然，2n與2n-1的增幅差距很大，將Sn拆開運算的壓力不大，所以我先選取了n=11（因為在歷年高考壓軸題中11這個答案出現頻率比較大），

未果，接著選取n=21和n=31，

曙光就此出現，立即兩分法處理，

得到答案為27，對于計算能力可觀的學生來講，窮舉似乎比需要討論的函數法更加迅猛，雖然不少行為更多是出于“下意識”，但在并不嚴謹的解題過程結束后可以再回頭思考原理，萬變不離其宗，就算沒能直接算出結果，列舉的過程中想必也能幫助考生更準確地把握函數表達式.

沒有花哨的公式，思考加上5次基本運算，一道高考壓軸題和小學生的思考題一樣煙消云散.下一次遇到符號字母們解決不了的問題，不要太狂躁，不如先列幾個數看看，回到原點，萬一那就是終點呢？

老師點評：孫毅堅同學愛好學習，善于思考，而且有堅韌的毅力.對于窮舉法，許多孩子是沒有耐心去嘗試的.正如試題解析所言“本題旨在考驗學生的意志力與科學精神”，學生的意志力與科學精神是可以通過考試的形式得到考查的.四年級的奧數題對于一個高中生來說應該是不算太難.但是方法的選擇顯得很重要，本題如果不用枚舉法去解，則要費時費力得多，2018年江蘇高考題也是這個道理.枚舉法是最基本且重要的方法，學生要有耐心去嘗試.當然并不是要求沒有目的地做，而是要求學生能夠邊做，邊觀察，邊思考，這樣才能找出規(guī)律，從而使問題得到解決.久而久之，學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養(yǎng)就能夠得到培養(yǎng).