江蘇省泰州市姜堰區(qū)蔣垛中學(xué) 臧 華

離散型隨機變量的分布列、期望和方差等常與排列組合概率等知識綜合命題，很多同學(xué)在解有關(guān)題目時，大致的思路一般都能找到，但在具體解答時要么數(shù)據(jù)計算錯誤，要么特殊模型采用一般方法求解導(dǎo)致解答繁瑣，因此要學(xué)好隨機變量概率分布列就一定要掌握好“兩法則”和“一大三小四模型”.

一、兩個法則

法則一：概率限制，0≤Pi≤1，P1+P2+P3+…+Pn=1.

例1袋中裝有黑球和白球共7個，多次試驗表明從中任取2個球都是白球的概率接近現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù).

（1）求袋中原有白球的個數(shù)；

（2）求隨機變量ξ的概率分布.

解析（1）設(shè)袋中原有n個白球，由題意知

整理得n（n-1）=6，解得n=3或n=-2（舍去），即袋中原來應(yīng)有3個白球.

（2）由題意，ξ的可能取值為1，2，3，4，5.

所以ξ的分布列為：

注意：第（1）問由概率反過來求球的個數(shù)，只要熟知排列組合公式即可；第二問中，計算每個ξ值所對應(yīng)的概率時，很可能考慮不周全或者計算有誤而致錯，我班同學(xué)在解題時經(jīng)常發(fā)生，可以通過驗證P1+P2+P3+…+Pn=1這個法則來解決，且每個概率值都非負.

法則二：熟悉公式，E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a2D（X）.

例2已知隨機變量X ～B（5，0.2），Y=2X-1，則E（Y）=_______，方差D（Y）=______.

解析由題意得，E（X）=5×0.2=1，D（X）=5×0.2×0.8=45.

評注 求離散型隨機變量的分布列時應(yīng)注意：首先，明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值時所表示的意義；其次，利用排列組合和概率的有關(guān)知識，求出隨機變量取每個值時的概率，如本例1中，利用古典概型的概率公式求出隨機變量取各個值時的概率；最后，列表格寫出分布列，并注意用分布列的兩個性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.

在解決一些復(fù)合型隨機變量的概率分布列時公式使用顯得尤為重要，除了法則二，還有一些公式大家也可以記一下：

（1）E（C）=C（C為常數(shù)）；

（2）E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）；

（3）如果X1，X2相互獨立，則E（X1·X2）=E（X1）·E（X2）；

（4）D（X）=E（X2）-E（X）2.

二、四種模型

一般情況下，離散型隨機變量一般采用E（X）=X1P1+X2P2+…+XnPn來計算數(shù)學(xué)期望.

例3甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2，3，4，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3，某人用左手從甲袋中取球，用右手從乙袋中取球.

若一次在同一袋中取出兩球，如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功.某人第一次左手先取兩球，第二次右手再取兩球，記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機變量X，求X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解析依題意，X的可能取值為0，1，2.

所以X 的分布列為：

下面三種情況可以讓我們走點捷徑：

（1）若X 服從兩點分布，則E（X）=P，D（X）=P（1-P）；

（2）X ～B（n，p），則E（X）=np，D（X）=np（1-p）；

例4設(shè)某項試驗的成功概率是失敗概率的2倍，用隨機變量ξ描述1次試驗的成功次數(shù)，則P（ξ=0）=_______.

解析這是典型的兩點分布，ξ的分布列為：

例5已知一個袋子中有3個白球和3個紅球，這些球除顏色外完全相同.

（1）每次取出一個球，取出后不放回，直到取到一個紅球為止，求取球次數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）；

（2）每次取出一個球，取出后放回接著再取一個球，這樣取3次，求取出紅球次數(shù)η的數(shù)學(xué)期望E（η）.

解析第一問根據(jù)題中的條件，確定出ξ的取值，根據(jù)題意，確定出相應(yīng)的概率，根據(jù)期望公式，求得隨機變量的期望E（ξ），第二問條件中為有放回地抽取，所以η ～利用公式求得E（η）.

（2）取出后放回，取3次球，可看做3次獨立重復(fù)試驗，所以所以

評注 近幾年高考一般通過實際背景考查相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗的概率計算及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，同時也考查超幾何分布、二項分布等特殊的概率模型.解決此類問題時要注意分清取樣方式和合理地選擇恰當?shù)哪Ｐ徒忸}.