吳 昊，譚 元，郭小龍，毛新濤

0 引 言

由于柔性機(jī)械臂有著質(zhì)量輕，耗電少，低成本，且能夠產(chǎn)生較大的有效載荷等優(yōu)點(diǎn)[1-5]，因此柔性機(jī)器臂在空間機(jī)器人、微外科手術(shù)操作和核電站維修等重要領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用.然而，它們的柔性會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)振動(dòng)，有的空間機(jī)械臂除了連桿柔性外，還存在關(guān)節(jié)柔性.這種關(guān)節(jié)柔性主要是由電機(jī)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)聯(lián)合傳動(dòng)元件(如齒輪和執(zhí)行機(jī)構(gòu)軸)產(chǎn)生的.因此，在柔性機(jī)械臂實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤時(shí)，考慮關(guān)節(jié)的聯(lián)合傳動(dòng)性是必要的.

柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的控制是一個(gè)非常具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，這主要是因?yàn)橄到y(tǒng)自由度的數(shù)量是控制輸入的兩倍.在某些情況下，如果在控制設(shè)計(jì)中忽略關(guān)節(jié)的柔性甚者會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定.在大多數(shù)文獻(xiàn)中，機(jī)械臂的關(guān)節(jié)柔性常常被忽略，但在需要輕量級(jí)結(jié)構(gòu)的空間應(yīng)用中，如果忽略關(guān)節(jié)柔性的影響，機(jī)械臂的動(dòng)作將非常緩慢.然而，即使在處理較大的有效載荷時(shí)，即使保持非常慢的運(yùn)動(dòng)也可能產(chǎn)生明顯的振蕩.因此在空間機(jī)械臂的應(yīng)用中，考慮關(guān)節(jié)柔性是必不可少的.

在建模方面，文獻(xiàn)[6]提出了一個(gè)簡(jiǎn)化的模型，這個(gè)模型假設(shè)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子的角動(dòng)能只是由它們圍繞驅(qū)動(dòng)軸的相對(duì)旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的.文獻(xiàn)[7]提出了在電機(jī)與連桿之間存在聯(lián)軸器的精確動(dòng)態(tài)模型.

在控制器設(shè)計(jì)方面，文獻(xiàn)[8]提出了一種用于柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的簡(jiǎn)單比例微分(PD)調(diào)節(jié)器，其設(shè)計(jì)思想類(lèi)似于用于剛性機(jī)器人的PD調(diào)節(jié)器.文獻(xiàn)[9]提出了一種考慮關(guān)節(jié)柔性、執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和摩擦力的擴(kuò)展PD調(diào)節(jié)器.在文獻(xiàn)[10]中，針對(duì)調(diào)節(jié)任務(wù)提出了一種具有在線重力補(bǔ)償?shù)腜D控制器.除了PD控制器外，一些研究者研究奇異攝動(dòng)(SPB)控制策略[11-15].基于柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)特征，SPB控制是由一個(gè)基于剛性機(jī)器臂模型的慢速控制和一個(gè)抑制關(guān)節(jié)彈性振蕩的快速控制組成的控制方法.文獻(xiàn)[16]提出了Slotine and Li (SLI)控制律，該方法用于剛性關(guān)節(jié)機(jī)械臂和快速關(guān)節(jié)扭矩控制器的組合.文獻(xiàn)[17]提出了一種用于剛性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的模型的自適應(yīng)控制(MRAC)方法，文獻(xiàn)[18]將SPB方法擴(kuò)展到柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂.基于文獻(xiàn)[19-21]的思想，文獻(xiàn)[22-24]提出了柔性機(jī)械臂的非線性反步法控制.文獻(xiàn)[25]開(kāi)發(fā)了一種使用調(diào)優(yōu)函數(shù)的自適應(yīng)后退方法.

本文研究了柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，利用拉格朗日方法，建立了其狀態(tài)空間模型.該模型為軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)提供了的基礎(chǔ).因此，我們利用所導(dǎo)出的動(dòng)態(tài)模型的結(jié)構(gòu)，結(jié)合模型預(yù)測(cè)控方法，使機(jī)械臂末端執(zhí)行器在關(guān)節(jié)柔性存在的情況下跟蹤理想的軌跡.最后，數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的有效性.

本文剩余部分的結(jié)構(gòu)如下: 第2章給出了柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的狀態(tài)空間模型;第3章給出了適用于柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的非線性模型預(yù)測(cè)控制方法；為了驗(yàn)證方法的有效性，第4章給出了一些仿真結(jié)果；最后對(duì)本文的工作進(jìn)行了總結(jié).

1 柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模

本文考慮圖1所示的大型雙連桿機(jī)械臂，該機(jī)械臂具有轉(zhuǎn)動(dòng)式的肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié).由于該機(jī)械臂應(yīng)用在空間中，因此忽略重力效應(yīng).

假設(shè)該機(jī)械臂只做平面運(yùn)動(dòng)，每個(gè)關(guān)節(jié)都被建模為一個(gè)恒定剛度的線性扭轉(zhuǎn)彈簧.如圖2所示，該關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)直接由直流電機(jī)驅(qū)動(dòng).文獻(xiàn)[17]利用歐拉—拉格朗日公式，從動(dòng)力和勢(shì)能的角度推導(dǎo)了具有柔性關(guān)節(jié)的2連桿機(jī)械臂的非線性動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

qi(i=1,2)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的角位移，Li(i=1,2)表示連桿i的長(zhǎng)度，ri(i=1,2)是連桿i重心到上一個(gè)關(guān)節(jié)的長(zhǎng)度，mi(i=1,2)表示桿i的質(zhì)量，連桿i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ii(i=1,2)與xoy平面垂直.

圖1 兩連桿機(jī)械臂Fig.1 Two-link manipulator

圖2 柔性關(guān)節(jié)模型Fig.2 Flexible-joint modeling

(6)

2 非線性模型預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制(MPC)采用離散時(shí)間線性模型.然而，大多數(shù)動(dòng)力系統(tǒng)是非線性連續(xù)的，所以不能直接應(yīng)用傳統(tǒng)的模型預(yù)測(cè)控制方法.為了解決這個(gè)問(wèn)題，可以采用逐次線性化的方法.該方案的主要想法是在當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)的時(shí)刻點(diǎn)對(duì)連續(xù)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化.得到線性化連續(xù)系統(tǒng)后，進(jìn)行離散化.最后，將離散化方程擴(kuò)展成預(yù)測(cè)方程，構(gòu)建一個(gè)二次規(guī)劃(QP)問(wèn)題來(lái)求取最優(yōu)控制序列.

2.1 連續(xù)非線性系統(tǒng)線性化

式(6)中描述的系統(tǒng)可以通過(guò)在期望操作點(diǎn)找到其梯度矩陣來(lái)線性化.狀態(tài)向量分量的導(dǎo)數(shù)函數(shù)f的雅可比子矩陣可以寫(xiě)成

(7)

定義線性化的系統(tǒng)狀態(tài)向量為xL,控制向量為uL,該系統(tǒng)能用下列式表示：

(8)

式中的常數(shù)項(xiàng)用G∈Rnx表示，則線性化系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程表示為

(9)

2.2 連續(xù)線性系統(tǒng)離散化

接下來(lái)，將連續(xù)線性化系統(tǒng)進(jìn)行離散化.首先，將式(9)兩邊同時(shí)乘矩陣指數(shù)e-Act得

(10)

等式(10)能重寫(xiě)為：

(11)

對(duì)式(11)兩邊同時(shí)乘以eAct,得到連續(xù)線性動(dòng)力模型為：

(12)

定義離散時(shí)間指標(biāo)為xL(t)=xL(kTs)，Ts為采樣時(shí)間，在式(12)中用kTs取代t，有

xL(k+1)=eAcTsxL(k)+

(13)

假設(shè)在每個(gè)采樣點(diǎn)的輸入uL=uL(k)，Ac是可逆的，式(13)轉(zhuǎn)化為

xL(k+1)=

(14)

(15)

2.3 模型預(yù)測(cè)控制器的設(shè)計(jì)

(16)

令S=Fc-r為常量，式(16)寫(xiě)成

(17)

控制器性能的量化指標(biāo)即成本函數(shù)定義為

(18)

Q，R分別為誤差權(quán)值對(duì)角矩陣和輸入向量對(duì)角矩陣，將式(17)帶入(18)得

(19)

模型預(yù)測(cè)控制的一個(gè)重要特性就是處理約束的能力，它可以對(duì)狀態(tài)變量施加約束.與式(17)類(lèi)似，在時(shí)刻k預(yù)測(cè)未來(lái)Np狀態(tài)向量Xk為：

令Sx=Fxc為常量，該式可寫(xiě)成：

(20)

狀態(tài)約束定義為xmin≤VXk≤xmax,結(jié)合式(20)得

其中V狀態(tài)約束的矩陣系數(shù)，控制輸入約束定義為Umin≤Uk≤Umax,一個(gè)QP問(wèn)題能表示為：

(21)

(22)

Umin≤Uk≤Umax

(23)

該運(yùn)行機(jī)理如下：

(1)根據(jù)式(21)～(23)計(jì)算控制輸入U(xiǎn)k;

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證建立的狀態(tài)空間模型結(jié)果，進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn).2連桿柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂的參數(shù)為L(zhǎng)1=L2=1 m，m1=m2=0.5 kg，Jm1=Jm2=1 kg·m2，k1=k2=200 N·m/rad.假設(shè)采樣周期為T(mén)s=0.1 s，預(yù)測(cè)時(shí)域Np=5，加權(quán)矩陣為Q=1 000I8，R=I2.

3.1 無(wú)約束情況

圖3 圓軌跡跟蹤結(jié)果Fig.3 Trajectory tracking result of a circle

圖4 正方形軌跡跟蹤結(jié)果Fig.4 Trajectory tracking result of a square

3.2 有約束情況

為了提高機(jī)械臂運(yùn)行的穩(wěn)定性，桿1的旋轉(zhuǎn)角和控制輸入約束為

-π≤q1≤π

-20≤τ≤20

參考軌跡定義如下：

首先在本文方法中設(shè)計(jì)了不同的預(yù)測(cè)時(shí)域Np=5，10，20，仿真效果如圖5～6所示，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)域越大，達(dá)到跟蹤期望的時(shí)間越快.

圖5 在不同預(yù)測(cè)時(shí)域Np下桿1轉(zhuǎn)動(dòng)角度Fig.5 Angles of link 1 with different prediction time domains Np

圖6 在不同預(yù)測(cè)時(shí)域Np下桿2轉(zhuǎn)動(dòng)角度Fig.6 Angles of link 2 with different prediction time domains Np

圖7 桿1轉(zhuǎn)動(dòng)角度Fig.7 Angles of link 1

圖8 桿2轉(zhuǎn)動(dòng)角度Fig.8 Angles of link 2

圖9 桿1轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Fig.9 Angular speed of link 1

圖10 桿2轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Fig.10 Angular speed of link 2

4 結(jié) 論

本文在對(duì)柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究了機(jī)械臂軌跡跟蹤問(wèn)題，提出了一種連續(xù)線性化的模型預(yù)測(cè)控制方法，實(shí)驗(yàn)表明柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂末端可以快速穩(wěn)定到達(dá)目標(biāo)位置.