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滿足增益相位裕度的自動(dòng)駕駛儀結(jié)構(gòu)化H∞綜合

2019-05-15 03:16馬曉川閆杰符文星陳康
關(guān)鍵詞:裕度開(kāi)環(huán)結(jié)構(gòu)化

馬曉川, 閆杰, 符文星, 陳康

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072)

乘波體氣動(dòng)布局的高超聲速飛行器通常沒(méi)有翼面,升力主要由機(jī)體產(chǎn)生。由于乘波體布局頭部的傾斜面設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu),飛行器的氣動(dòng)壓心相對(duì)于傳統(tǒng)飛行器更靠機(jī)身頭部,降低了飛行器的靜穩(wěn)定性,所以乘波體構(gòu)型的高超聲速飛行器一般具有靜不穩(wěn)定特性[1-2]。尤其高超聲速飛行器進(jìn)行大過(guò)載機(jī)動(dòng)時(shí),隨著攻角增大,飛行器靜不穩(wěn)定度進(jìn)一步降低[3-4]。對(duì)于靜不穩(wěn)定的高超聲速飛行器,過(guò)大或過(guò)小的控制器增益都會(huì)引起飛行控制系統(tǒng)發(fā)散。因此在設(shè)計(jì)飛行控制器時(shí),控制系統(tǒng)幅值增益在增大和減小2個(gè)方向上都要留有充分的穩(wěn)定裕度,增加了控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難度。

在復(fù)平面內(nèi)考慮一個(gè)以實(shí)軸對(duì)稱(chēng)且包含(-1,j0)的圓,圓心和半徑由控制系統(tǒng)期望的開(kāi)環(huán)幅值裕度和相位裕度決定。當(dāng)控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線與圓沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)則認(rèn)為控制系統(tǒng)滿足期望的穩(wěn)定裕度[5]。對(duì)于靜不穩(wěn)定被控對(duì)象,滿足穩(wěn)定裕度的控制器使開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)的Nyquist曲線圍繞圓一周或者多周且與圓沒(méi)有交點(diǎn),保證了控制器開(kāi)環(huán)增益在增大和減小2個(gè)方向上都可以滿足期望的裕度。基于此思想,文獻(xiàn)[6]給出了一種基于H∞綜合求解滿足穩(wěn)定裕度控制器的方法。此方法中控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是通過(guò)約束標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)增益放大后補(bǔ)靈敏度函數(shù)的H∞范數(shù)而實(shí)現(xiàn)的,求解控制器過(guò)程比較復(fù)雜,并且求解的控制器階次比較高[7]。為了解決這些問(wèn)題,本文使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合方法,求解滿足穩(wěn)定裕度約束的控制器。

結(jié)構(gòu)化H∞和H∞綜合的區(qū)別在于使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合算法求解控制器時(shí),需要先定義控制器結(jié)構(gòu),例如PID控制器、三回路過(guò)載跟蹤自動(dòng)駕駛儀等[8-9]。控制器結(jié)構(gòu)確定后,控制器中未知的部分只有控制器參數(shù)。控制器參數(shù)優(yōu)化時(shí)與傳統(tǒng)H∞綜合相似,需要根據(jù)控制目標(biāo)建立性能指標(biāo),并求解使性能指標(biāo)H∞范數(shù)最小的控制器參數(shù)。因?yàn)榭刂破鹘Y(jié)構(gòu)可以事先定義,結(jié)構(gòu)化H∞綜合算法使H∞控制理論具有了更好的實(shí)用性[10-14]。

本文以三回路過(guò)載自動(dòng)駕駛儀為控制器結(jié)構(gòu),使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合算法求解滿足性能指標(biāo)H∞范數(shù)最優(yōu)的控制器參數(shù),而且保證開(kāi)環(huán)系統(tǒng)滿足給定的幅值裕度和相位裕度。

1 結(jié)構(gòu)化H∞控制

標(biāo)準(zhǔn)的H∞控制模型:

(1)

Z(s)表示評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的輸出,Y(s)表示傳感器測(cè)量輸出量,W(s)為外部輸入,U(s)是控制輸入。假設(shè)存在反饋控制器C(s),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為控制器C(s)的線性分式變換:

Tzω=Fl(P,C)=P11+P21(I+CP22)P12

(2)

標(biāo)準(zhǔn)的H∞控制問(wèn)題是求解使系統(tǒng)(1)內(nèi)穩(wěn)定且保證Tzω(s)的H∞范數(shù)最小的控制器C(s)。與標(biāo)準(zhǔn)H∞控制不同的是結(jié)構(gòu)化H∞綜合需要預(yù)先設(shè)計(jì)好控制器C(s)的結(jié)構(gòu),例如PID控制器、校正網(wǎng)絡(luò)、多回路自動(dòng)駕駛儀等或者其他任意形式的控制器。控制器的結(jié)構(gòu)具有任意無(wú)限多個(gè),此處用PID控制器為例進(jìn)行解釋,典型的PID控制器為

(3)

PID控制器可以表示成控制器參數(shù)kp,kd,ki的線性下分式變換

CPID(s)=Fl(Q(s),K)

(4)

Q(s)是控制器中除去控制器參數(shù)的部分,K是由控制器參數(shù)組成的矩陣。把(4)式代入(2)式中,可得到閉環(huán)系統(tǒng)關(guān)于控制器參數(shù)的下分式變換

(5)

M(s)是被控對(duì)象和控制器開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)除去控制器參數(shù)的部分。在結(jié)構(gòu)化H∞綜合中,控制問(wèn)題就轉(zhuǎn)換成求解使系統(tǒng)(1)內(nèi)穩(wěn)定且‖Tzω(s)‖∞最小的一組控制器參數(shù)。結(jié)構(gòu)化H∞控制把經(jīng)典H∞控制器求解問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂破鲄?shù)優(yōu)化問(wèn)題[15-17]。另外與H∞綜合不同,在結(jié)構(gòu)化H∞綜合中,性能指標(biāo)可以是相互獨(dú)立的,即性能指標(biāo)可以表示為[8-9]:

H(s)=diag([T1(s),T2(s),…]T)

(6)

diag(T)表示由向量T中元素組成的對(duì)角矩陣。這一特性使得結(jié)構(gòu)化H∞綜合算處理多目標(biāo)約束優(yōu)化問(wèn)題更為方便。

2 增益裕度和相位裕度

在復(fù)平面內(nèi)考慮一個(gè)包圍點(diǎn)(-1,j0),以(-a,j0)為圓心,r為半徑的圓O,如圖1。當(dāng)控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線不與圓O相交時(shí),控制系統(tǒng)至少具有幅值裕度

Gm1=-20lg(a-r)

(7)

Gm2=-20lg(a+r)

(8)

相位裕度:

(9)

公式(7)Gm1由點(diǎn)A到(-1,j0)的距離計(jì)算得出,若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益放大倍數(shù)小于Gm1dB,閉環(huán)系統(tǒng)依然穩(wěn)定;公式(8)Gm2由點(diǎn)B到(-1,j0)的距離計(jì)算得出,若系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益減小倍數(shù)小于Gm2dB,閉環(huán)系統(tǒng)依然穩(wěn)定。公式(9)表示圓O與單位元交點(diǎn)C與原點(diǎn)的連線和實(shí)軸的夾角,表示開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相位裕度。圖1以圓心在(-1,j0),半徑r為0.5的圓O為例進(jìn)行解釋說(shuō)明。圓O與實(shí)軸相交于點(diǎn)A(-0.5,j0)與點(diǎn)B(-1.5,j0),圓O與單位圓交點(diǎn)連線和實(shí)軸夾角為29°。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線與圓O沒(méi)有交點(diǎn)時(shí),對(duì)于靜穩(wěn)定被控對(duì)象系統(tǒng)至少具有6 dB的幅值裕度和29°的相位裕度。對(duì)于靜不穩(wěn)定被控對(duì)象,系統(tǒng)至少具有±6 dB的幅值裕度和29°的相位裕度。

圖1 系統(tǒng)增益裕度和相位裕度

控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線不與圓O相交等價(jià)于

P(jω)C(jω)≠(-a+rexp(jθ))

(10)

方程(10)中C(jω)是控制器,P(jω)為被控對(duì)象。對(duì)方程(10)進(jìn)行變換

(11)

方程(11)可以表示成如下形式[6]

[A+Rexp(jψ)]P(jω)C(jω)≠1

(12)

式中

(13)

A+Rexp(jψ)可以看作標(biāo)稱(chēng)被控對(duì)象P(jω)的乘性不確定性加權(quán)(A+ΔR),其中‖ΔR‖∞=R。

根據(jù)小增益定理,使圖2表示的閉環(huán)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件是

(14)

不等式(14)等價(jià)于

(15)

不等(15)式左邊括號(hào)中的部分可以看作標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)P(s)乘以放大系數(shù)A后的閉環(huán)補(bǔ)靈敏度傳遞函數(shù)。當(dāng)不等式(15)成立時(shí),系統(tǒng)P(s)C(s)的Nyquist曲線不與圓O相交,即開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)P(s)C(s)滿足至少由(7)~(9)式表示的穩(wěn)定裕度。

圖2 帶有乘性不確定性的閉環(huán)控制系統(tǒng)

對(duì)被控對(duì)象P(s)設(shè)計(jì)滿足預(yù)定穩(wěn)定裕度的控制器問(wèn)題可以表示為在AP(s)加權(quán)補(bǔ)靈敏度函數(shù)的H∞范數(shù)小于1的條件約束下,求解穩(wěn)定控制器C(s),使性能指標(biāo)的H∞范數(shù)最小:

(16)

式中

Tn(s)=[T1(s),T2(s),…]T

(17)

表示對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)性能約束的傳遞函數(shù)。

Wn(s)=diag([W1(s),W2(s),…])T

(18)

是相應(yīng)的加權(quán)傳遞函數(shù)。

(19)

(20)

上述是帶有不等式約束的H∞優(yōu)化問(wèn)題,直接求解比較困難。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)化H∞綜合可以解決性能指標(biāo)相互獨(dú)立的約束問(wèn)題,所以在Wn(s)中加入調(diào)節(jié)參數(shù)η,此時(shí)求解滿足穩(wěn)定裕度控制器的性能指標(biāo)傳遞函數(shù)可表示為

(21)

當(dāng)使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合求解出使(21)式H∞范數(shù)最小的控制器參數(shù)不滿足(16)式中的不等式約束時(shí),可通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)η使其滿足小于1的約束。

3 控制器設(shè)計(jì)及仿真

以文獻(xiàn)[18]給出的COM高超聲速飛行器模型為被控對(duì)象,使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合設(shè)計(jì)過(guò)載跟蹤自動(dòng)駕駛儀,并保證自動(dòng)駕駛儀穩(wěn)定裕度滿足給定要求。(22)式給出了COM在高度20 km,飛行速度10馬赫時(shí)的線性化模型。

(22)

圖3給出了閉環(huán)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖,圖中控制器結(jié)構(gòu)是典型的三回路過(guò)載跟蹤自動(dòng)駕駛儀。

圖3 閉環(huán)系統(tǒng)

其中KAz,Kθ,Kω是待優(yōu)化的參數(shù)。r,e,u分別是參考輸入、跟蹤誤差和控制器輸出。z1和z2是描述系統(tǒng)性能的輸出。

權(quán)函數(shù)W1用于約束系統(tǒng)跟蹤誤差和動(dòng)態(tài)響應(yīng)

(23)

權(quán)函數(shù)W2(s)對(duì)控制器指令輸出進(jìn)行約束

(24)

控制器要求至少有6 dB幅值裕度和36.9°的相位裕度。對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上約束穩(wěn)定裕度的圓O,圓心在(-1.25,j0),半徑r等于0.75。根據(jù)(13)式和(19)式得加權(quán)函數(shù)為

WA=0.6

(25)

控制器綜合時(shí)使用的優(yōu)化指標(biāo)為

He=diag(W1T1,W2T2,WATA)

(26)

式中,T1是系統(tǒng)的靈敏度函數(shù),T2是參數(shù)輸入到控制器指令輸出的傳遞函數(shù),TA是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)增益放大補(bǔ)靈敏度函數(shù),由(20)式給出。W2中的參數(shù)η用于調(diào)節(jié)‖WATA‖∞,使其滿足(16)式的不等式條件。仿真中使用的是Matlab 2014中的hinfstruct()函數(shù)進(jìn)行控制器綜合。

表1 控制器優(yōu)化結(jié)果

圖4 開(kāi)環(huán)Nyquist曲線

表1中給出了選取不同η時(shí)使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合的結(jié)果。圖4給出了相應(yīng)η值時(shí)系統(tǒng)的Nyquist曲線。系統(tǒng)的斷開(kāi)點(diǎn)選取在控制器輸出端,即圖3中舵機(jī)與鄰近的求和點(diǎn)中間。為了能更清晰地表明系統(tǒng)Nyquist曲線與圓O的關(guān)系,圖中省略了低頻部分的Nyquist曲線。表1中的結(jié)果顯示,不同的η會(huì)影響綜合后的‖WATA‖∞。而圖4表示了‖WATA‖∞數(shù)值與圓O的位置關(guān)系。當(dāng)‖WATA‖∞大于1時(shí),系統(tǒng)的Nyquist曲線與圓O相交,此時(shí)不能保證系統(tǒng)具有要求幅值與相位裕度。需要強(qiáng)調(diào)的是系統(tǒng)Nyquist曲線不與圓O相交是滿足增益與相位裕度的充分條件,而非必要條件。所以當(dāng)‖WATA‖∞大于1時(shí)系統(tǒng)仍有可能滿足增益相位裕度要求。因?yàn)樵鲆嫦辔辉6榷x中要系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist曲線上相位為180°和幅值為1的2個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)(-1,j0)的距離大于裕度要求。而本文通過(guò)限制Nyquist曲線到描述穩(wěn)定裕度圓的距離方法來(lái)使控制系統(tǒng)達(dá)到增益相位裕度。這不僅要求Nyquist曲線上相位為180°和幅值為1的2個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)(-1,j0)的距離要滿足預(yù)定條件,而且其他的點(diǎn)到點(diǎn)(-1,j0)距離也需要滿足預(yù)定條件。這種限制條件比穩(wěn)定裕度定義更苛刻。但當(dāng)‖WATA‖∞小于1時(shí),系統(tǒng)Nyquist曲線與圓O相切或不相交,此時(shí)一定可以保證系統(tǒng)滿足穩(wěn)定裕度要求。表1中穩(wěn)定裕度計(jì)算結(jié)果表明系統(tǒng)增益裕度大于6 dB,相位裕度大于36.9°,控制器的穩(wěn)定裕度滿足預(yù)定條件。另外,表1中增益裕度-9.83 dB表示當(dāng)開(kāi)環(huán)增益減小9.83 dB會(huì)引起閉環(huán)系統(tǒng)發(fā)散。

圖5和圖6給出‖WATA‖∞不同時(shí)系統(tǒng)的過(guò)載跟蹤響應(yīng)。當(dāng)‖WATA‖∞大于1時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度較低,響應(yīng)過(guò)程中發(fā)生輕微的震蕩。當(dāng)‖WATA‖∞小于1時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)比較平穩(wěn)。從響應(yīng)速度上分析,當(dāng)滿足穩(wěn)定裕度要求時(shí),‖WATA‖∞越接近1系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快,保守性越小。所以需要確定η使‖WATA‖∞等于1。從圖7中可以看出隨η增加的過(guò)程中‖WATA‖∞單調(diào)減變化且‖WATA‖∞與1有一個(gè)交點(diǎn)。所以可以使用二分算法確定使‖WATA‖∞等于1的η。

1)η=ηl

2) 使用結(jié)構(gòu)化H∞求解使(22)式最小的控制器參數(shù)

3) if ‖WATA(s)‖∞=1

迭代結(jié)束

else

if ‖WATA(s)‖∞<1

else

返回執(zhí)行步驟2)

圖5 單位過(guò)載響應(yīng) 圖6 舵響應(yīng)圖7 ‖WATA‖∞曲線

表2 迭代計(jì)算結(jié)果

表2給出了迭代計(jì)算中部分結(jié)果,當(dāng)η等于0.871 9時(shí),‖WATA‖∞為1.009 0。如圖8所示,系統(tǒng)的Nyquist曲線與圓O相切,此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度為9.18 dB和36.9°,滿足預(yù)先設(shè)定的要求。

圖8 Nyquist曲線

圖9 氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)條件下過(guò)載跟蹤響應(yīng)

為了驗(yàn)證控制方法對(duì)非線性系統(tǒng)的適應(yīng)性和魯棒性。在仿真中使用文獻(xiàn)[18]提供的非線性高超聲速飛行器模型數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算過(guò)程中考慮氣動(dòng)力系數(shù)和氣動(dòng)力矩系數(shù)±10%以內(nèi)的隨機(jī)擾動(dòng)。使用非線性模型在氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)的條件下,進(jìn)行了100次的單位過(guò)載跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)。圖9中的曲線是仿真計(jì)算結(jié)果。結(jié)果表明無(wú)論對(duì)標(biāo)稱(chēng)非線性模型還是氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)模型,控制系統(tǒng)都能穩(wěn)定完成對(duì)單位過(guò)載指令的跟蹤。但因?yàn)槟P头蔷€性和氣動(dòng)參數(shù)擾動(dòng)的影響,過(guò)載跟蹤精度有所下降。

4 結(jié) 論

對(duì)于靜不穩(wěn)定的高超聲速飛行器,本文使用結(jié)構(gòu)化H∞綜合方法設(shè)計(jì)了飛行器的過(guò)載跟蹤自動(dòng)駕駛儀。通過(guò)調(diào)節(jié)優(yōu)化結(jié)果中增益放大系統(tǒng)補(bǔ)靈敏度函數(shù)的H∞范數(shù),改變系統(tǒng)Nyquist曲線與復(fù)平面內(nèi)表示穩(wěn)定裕度圓盤(pán)的相對(duì)位置,使控制器滿足穩(wěn)定裕度要求。并給出了計(jì)算使系統(tǒng)Nyquist曲線與圓盤(pán)相切的控制器參數(shù)計(jì)算方法,以減小控制器設(shè)計(jì)的保守性。計(jì)算仿真結(jié)果表明:

1) 由文中控制算法設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀能達(dá)到預(yù)定增益相位裕度指標(biāo)要求;

2) 在控制器綜合時(shí),調(diào)節(jié)性能指標(biāo)中引入的參數(shù)η能改變開(kāi)環(huán)Nyquist曲線與表示穩(wěn)定裕度圓盤(pán)的相對(duì)位置,并改變系統(tǒng)的保守性;

3) 由文中控制算法設(shè)計(jì)的自動(dòng)駕駛儀可以使用在非線性系統(tǒng)上,并且控制系統(tǒng)對(duì)參數(shù)擾動(dòng)具有魯棒性。

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