鄭 莉, 孫常春

(沈陽建筑大學 理學院, 遼寧 沈陽 110168)

系統(tǒng)的混沌運動,產(chǎn)生于非線性,具有對初態(tài)的敏感依賴性、系統(tǒng)內的隨機性、局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定性.混沌行為廣泛存在于工程、生物、經(jīng)濟、通訊等許多學科中.目前,學術界開始有越來越多的學者,提出了很多新混沌系統(tǒng)[1],譬如共存式系統(tǒng)[2],具有蝴蝶形混沌吸引子的類洛倫茲混沌系統(tǒng),具有無窮多平衡點的混沌系統(tǒng)[3],具有二次曲面平衡點的四維混沌系統(tǒng)[4],等等.混沌廣泛地應用于保密通信,數(shù)據(jù)加密、流體力學以及工程當中.1990年,美國海軍實驗室的T. L. Carrol等專家成功地讓兩個混沌系統(tǒng)實現(xiàn)了同步,而應用的方法便是驅動-響應法[5].目前,混沌控制和同步在許多領域有著極大的應用前景,如醫(yī)學、通信、生物工程等.許多學者針對不同的混沌系統(tǒng)提出了不同的混沌同步方法[6],如不確定參數(shù)的自適應同步[7]、分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步[8]、基于主動自適應滑?？刂频某煦缦到y(tǒng)同步[9]、切換系統(tǒng)的控制及同步[10]、四維超混沌系統(tǒng)的計算機仿真及同步控制[11]、異結構混沌系統(tǒng)的混沌同步[12]等.本文提出了一個全新的三維自治系統(tǒng),并利用非線性動力學的方法,研究了該系統(tǒng)的基本動力學特性,用MATLAB數(shù)學軟件畫出隨時間t變化的相圖、計算出系統(tǒng)平衡點隨時間t變化的Lyapunov指數(shù)譜,驗證了系統(tǒng)是混沌的.基于本文所給出的新混沌系統(tǒng),參考自適應控制器的設計方法,驗證了在本文設計的自適應控制器的作用下,驅動響應系統(tǒng)能達到漸近同步.并能準確地識別出響應系統(tǒng)的參數(shù),通過數(shù)值仿真,進一步證明了控制器的有效性.

1 提出新的三參數(shù)的三維二次混沌系統(tǒng)

給出新的二次混沌系統(tǒng),其參數(shù)為三個:

(1)

系統(tǒng)(1)的參數(shù)為a1,b1,c1,而對應的狀態(tài)變量則為x1,x2,x3.在此系統(tǒng)中,非線性和線性項數(shù)量分別為6個和4個.若a1=15,b1=10,c1=8,那么該系統(tǒng)存在混沌吸引子,具體可參見圖1.

2 新系統(tǒng)的動力學分析

2.1 耗散性

圖1 當a1=15,b1=10,c1=8時,系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of the system with a1=15,b1=10,c1=8(a)—x1x2x3空間相圖; (b)—x1x2平面相圖; (c)—x1x3平面相圖; (d)—x2x3平面相圖.

2.2 Lyapunov指數(shù)譜

用MATLAB仿真得到該混沌系統(tǒng)當a1=15,b1=10,c1=8時的Lyapunov指數(shù)譜,如圖2所示.可以看出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù),LE1>0,LE2=0,LE3<0,且LE1+LE2+LE3<0,系統(tǒng)混沌.

圖2Lyapunov指數(shù)譜
Fig.2Lyapunovexponentspectrum

3 自適應控制器的設計

設系統(tǒng)(1)為驅動混沌系統(tǒng),系統(tǒng)(2)

(2)

為響應系統(tǒng).在u1=0,u2=0,u3=0時,即系統(tǒng)(1)未加控制器的情況下,選取驅動混沌系統(tǒng)的初始值為x0=(1,2,3),選取響應系統(tǒng)的初始值為y0=(1.1,2.1,3.1),這兩個時間序列有細微的差別,但經(jīng)過幾次迭代后,系統(tǒng)軌道會迅速分離,走入完全不同的軌道,如圖3所示.

a2,b2,c2為系統(tǒng)(2)中的未知參數(shù),u1,u2,u3為控制器,e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3為誤差變量,則誤差系統(tǒng)為

(3)

自適應控制器為

(4)

圖3 未加控制時驅動系統(tǒng)和響應從不同的初始點出發(fā)的軌道隨時間的變化

(5)

定理新提出的驅動混沌系統(tǒng)(1)與響應混沌系統(tǒng)(2)在選取了式(4)為控制器,式(5)為更新規(guī)則時,從任意初始值出發(fā),軌道均可達到同步.

4 數(shù)值仿真

選取系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)中的初始點分別為:x0=(1,2,3)和y0=(3,6,9),由此可得系統(tǒng)(3)的初值:e0=(2,4,6),取a1=15,b1=10,c1=8,此時系統(tǒng)(1)的狀態(tài)為混沌態(tài),將系統(tǒng)(2)的初始參數(shù)設置為a2=0.01,b2=0.01,c2=0.01,接著通過管控裝置(4)和相應的更新規(guī)則(5),對系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的同步過程加以模擬,可以看出驅動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的軌線很快重合,也就是說,這兩個系統(tǒng)實現(xiàn)了漸近同步,具體可參見圖4、圖5.

響應系統(tǒng)的參數(shù)本是未知的,在編程中將a2、b2、c2設為變量,在加入控制器后,用計算機模擬出a2、b2、c2隨時間t變化的軌線,如圖6,a2、b2、c2漸近地穩(wěn)定在15、10和8,這與a1、b1、c1的取值完全相同,即在控制器的作用下,參數(shù)能被準確地識別出來.

圖4 控制器作用下驅動系統(tǒng)及響應系統(tǒng)隨時間變化相圖Fig.4 Phase diagram of driving system and response system with time when controller is added(a)—控制器作用下x1及y1隨時間變化相圖; (b)—控制器作用下x2及y2隨時間變化相圖;(c)—控制器作用下x3及y3隨時間變化相圖.

圖5 控制器作用下響應系統(tǒng)和驅動系統(tǒng)的同步誤差曲線Fig.5 Synchronization error curve of response system and drive system under the action of controller(a)—控制器作用下x1及y1的同步誤差曲線; (b)—控制器作用下x2及y2的同步誤差曲線;(c)—控制器作用下x3及y3的同步誤差曲線.

圖6 控制器作用下的參數(shù)辨識過程Fig.6 Parameter identification under the action of controller(a)—控制器作用下a2的辨識過程; (b)—控制器作用下b2的辨識過程; (c)—控制器作用下c2的辨識過程.

5 結 論

本文提出了一個新的三維混沌系統(tǒng),對該系統(tǒng)展開了相應的動力學分析,驗證了系統(tǒng)的混沌性,設計了誤差系統(tǒng)控制器,比較了加入控制器前后系統(tǒng)(1)、(2)軌線的不同性態(tài),明確了參數(shù)更新規(guī)則,在理論上和仿真試驗中都證明了控制器的有效性.