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基于有界理性的非線性寡頭動(dòng)態(tài)價(jià)格博弈

2019-05-09 06:32喬若真
關(guān)鍵詞:均衡點(diǎn)寡頭控制參數(shù)

董 海, 任 鶴, 喬若真

(1. 沈陽大學(xué) a. 應(yīng)用技術(shù)學(xué)院, b. 機(jī)械學(xué)工程院, 遼寧 沈陽 110044;2. 東北大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110819)

寡頭壟斷是壟斷與完全競(jìng)爭(zhēng)之間的市場(chǎng)形態(tài),市場(chǎng)對(duì)少數(shù)企業(yè)(寡頭壟斷者)具有支配性的影響.進(jìn)入寡頭壟斷市場(chǎng)需要嚴(yán)格的條件,大部分市場(chǎng)份額被寡頭企業(yè)所占據(jù),最終形成激烈的競(jìng)爭(zhēng)局面和高度的相互依存關(guān)系[1].當(dāng)為競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系時(shí),隨著規(guī)模效應(yīng)的產(chǎn)生,寡頭企業(yè)的生產(chǎn)成本就會(huì)呈現(xiàn)出非線性增長(zhǎng)的特點(diǎn)[2].但在實(shí)際情況中,往往不能完全預(yù)測(cè)市場(chǎng)的變化情況,由于市場(chǎng)信息的復(fù)雜性,企業(yè)將無法掌握市場(chǎng)的全部信息,因此,寡頭企業(yè)采用有限理性進(jìn)行決策,根據(jù)邊際利潤(rùn)的變化來確定價(jià)格.近年來,雙寡頭博弈中兩者之間的利益沖突問題得到了廣泛研究.

法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Antoine Augustin Cournot于1838年最早提出寡頭壟斷市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)數(shù)學(xué)模型,即Cournot模型[3].該模型描述了企業(yè)的生產(chǎn)決策相互影響機(jī)制,但卻沒有提出相應(yīng)的協(xié)調(diào)策略,最早的納什均衡中的應(yīng)用版本便是此模型.佟巖等[4]構(gòu)建了一個(gè)基于博弈理論的技術(shù)創(chuàng)新激勵(lì)約束的博弈模型,采取不完全信息動(dòng)態(tài)博弈方法,分析了在信息不完全和不對(duì)稱條件下各自追求自身效用最大化的行為對(duì)技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)的影響.林劍修[5]對(duì)二期時(shí)滯的雙寡頭價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型進(jìn)行復(fù)雜性研究,并建立了相應(yīng)的價(jià)格博弈系統(tǒng)來幫助企業(yè)發(fā)展做出決策.文獻(xiàn)[6]通過對(duì)雙寡頭Cournot-Bertrand混合模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)研究,發(fā)現(xiàn)產(chǎn)量調(diào)整速度和價(jià)格調(diào)整速度過快都可以引起市場(chǎng)進(jìn)入對(duì)兩寡頭都不利的混沌狀態(tài).文獻(xiàn)[7]研究了具有有限理性的寡頭壟斷模型的一般公式,研究表明動(dòng)態(tài)博弈會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜的諸如周期和混亂行為.文獻(xiàn)[8-10]研究了具有非線性需求函數(shù)的有限理性雙寡頭博弈的復(fù)雜性問題,得出市場(chǎng)陷入混沌的主要原因是寡頭追求利潤(rùn)最大化而調(diào)節(jié)自身產(chǎn)量策略.文獻(xiàn)[11]研究了時(shí)變時(shí)延離散網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,采用Lyapunov泛函數(shù),并引入了松散變量技術(shù),獲得新的基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定性條件.文獻(xiàn)[12]研究了對(duì)于連續(xù)切換模糊系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制問題,提出了一種充分條件,該條件可以確保系統(tǒng)通過輸出反饋魯棒鎮(zhèn)定,并驗(yàn)證了其有效性.

上述研究大多是致力于研究模型的復(fù)雜性,且大多采用線性的成本函數(shù),但在實(shí)際市場(chǎng)上,提高每單位產(chǎn)量,價(jià)格往往進(jìn)行非線性增長(zhǎng).本文以Bertrand模型為基礎(chǔ),研究雙寡頭價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的動(dòng)態(tài)博弈模型,構(gòu)建了基于有限理性的非線性離散系統(tǒng),分析了納什均衡的存在性和穩(wěn)定性.通過對(duì)該模擬系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析表明,調(diào)整控制參數(shù)可以有效調(diào)整系統(tǒng)的有序性和穩(wěn)定性,實(shí)現(xiàn)混沌控制.

1 雙寡頭產(chǎn)品動(dòng)態(tài)價(jià)格博弈模型

qi(t)=ai-bipi(t)+eipj(t).(1)

式中:ai,bi,ei>0,ai表示市場(chǎng)對(duì)產(chǎn)品i的最大需求量;bi為價(jià)格敏感系數(shù);ei為差異化系數(shù);i,j=1,2,i≠j.企業(yè)自身價(jià)格和交叉價(jià)格對(duì)市場(chǎng)需求的影響一般為0

式中,ci>0,i=1,2,ci為企業(yè)分別選擇的產(chǎn)品價(jià)格.

πi為第i家企業(yè)在第t期的稅前利潤(rùn),由此各寡頭企業(yè)的收益利潤(rùn)函數(shù)表示如下:

企業(yè)i第t期的邊際利潤(rùn)為

則企業(yè)各自的邊際利潤(rùn)如下:

假設(shè)博弈雙方對(duì)上一期邊際利潤(rùn)進(jìn)行局部估算后再進(jìn)行調(diào)整,即進(jìn)行決策時(shí)采用有限理性預(yù)期.如果企業(yè)在第t期的利潤(rùn)為正,便在第t+1期提高產(chǎn)品價(jià)格;反之則降低產(chǎn)品價(jià)格.由此可得企業(yè)i在第t+1期的產(chǎn)品價(jià)格為

式中vi(i=1,2)為正常量,是企業(yè)的調(diào)整速度,在此博弈過程中,博弈均衡的穩(wěn)定性和博弈結(jié)果都會(huì)受到產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整速度的影響.因此,對(duì)于系統(tǒng)(7)的動(dòng)態(tài)模擬過程進(jìn)行研究非常必要.在系統(tǒng)(7)中,令pi(t+1)=pi(t),i=1,2,動(dòng)態(tài)雙寡頭利用非線性代數(shù)系統(tǒng)求解出模型的4個(gè)均衡點(diǎn)為

1.3.2 觀察指標(biāo) SAP10-2模式偏差圖分為上半側(cè)、下半側(cè)和六個(gè)區(qū)域,每個(gè)區(qū)域均計(jì)算平均缺損(aMD上半側(cè),aMD下半側(cè),aMD鼻上,aMD上方,aMD顳上,aMD鼻下,aMD下方,aMD顳下)。因模式偏差圖的每位點(diǎn)數(shù)值單位dB為相對(duì)亮度單位,非線性,因此計(jì)算某區(qū)域視野平均缺損時(shí)需將模式偏差圖的每位點(diǎn)數(shù)值(單位為dB)轉(zhuǎn)換為反對(duì)數(shù)單位(1/L)后再求算術(shù)平均數(shù)。轉(zhuǎn)換單位的公式為平均缺損(MD)1/L=10(0.1×MDdB)。MD1/L數(shù)值越小表示視野缺損越嚴(yán)重。統(tǒng)計(jì)模式偏差圖的68個(gè)位點(diǎn)中超過90%的SAP10-2異常受試者存在視野損害的位點(diǎn)編號(hào)與空間分布特點(diǎn)。

由式(8)和式(9)可以發(fā)現(xiàn),調(diào)整速度v1、v2的變化不影響系統(tǒng)的納什均衡點(diǎn),系統(tǒng)(7)中不動(dòng)點(diǎn)局部穩(wěn)定性的研究取決于其雅可比矩陣的特征值.系統(tǒng)(7)中任意點(diǎn)(p1,p2)的雅可比矩陣J的形式如下:

將E3代入式(10),其雅可比矩陣的特征方程為

式(11)中λ為雅克比矩陣特征值,Tr(J)和Det(J)分別是雅克比矩陣的跡和行列式,其表達(dá)式如下:

Tr(J)= 2+v1(ρ1-2p1b1(b1c1+1))+

v2(ρ2-2p2b2(b2c2+1));

由于(Tr(J))2-Det(J)>0,即該特征方程有2個(gè)實(shí)根.雅克比矩陣的特征根十分復(fù)雜,需要借助Routh-Hurwitz判據(jù)來判斷均衡解的穩(wěn)定性,E3的局部穩(wěn)定性的充要條件是其雅可比矩陣的特征值在復(fù)數(shù)平面內(nèi)的單位圓上應(yīng)同時(shí)滿足以下3個(gè)條件:

(12)

式(12)定義了調(diào)整速度平面中的穩(wěn)定區(qū)域,該穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示.該區(qū)域是由具有正v1和v2的雙曲線部分限定.納什均衡點(diǎn)E3在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)穩(wěn)定,然后通過倍周期分岔失去穩(wěn)定性.

當(dāng)參數(shù)取值為a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13.得出系統(tǒng)的納什均衡點(diǎn)為E3=(0.461 9,0.509 8),此時(shí)分岔曲線分別在點(diǎn)(0.630 8,0)和軸v1相交,在點(diǎn)(0,0.832 7)與軸v2相交.廠商往往通過增大調(diào)整速度來增加收益,為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài),兩廠商的調(diào)整參數(shù)都應(yīng)在該穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),否則整個(gè)市場(chǎng)將處于混沌狀態(tài).

圖1納什均衡點(diǎn)E3的穩(wěn)定區(qū)域

Fig.1TheregionofstabilityoftheNashequilibriumE3

2 數(shù)值仿真

為了說明非線性雙寡頭博弈解的定性行為,對(duì)系統(tǒng)(7)動(dòng)力學(xué)演化進(jìn)行數(shù)值模擬分析,以此探明系統(tǒng)(7)的納什均衡的穩(wěn)定性和倍周期分岔路徑對(duì)系統(tǒng)混沌的影響.在模擬中,將價(jià)格調(diào)整速度v2設(shè)為可控參數(shù),其他參數(shù)值設(shè)為a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3.圖2為調(diào)節(jié)速度v2的分岔圖.從圖2中可以看出,當(dāng)v2較小時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定,當(dāng)v2增加時(shí),系統(tǒng)變得不穩(wěn)定,出現(xiàn)分岔,甚至混沌.

圖2系統(tǒng)解的分岔圖

Fig.2Thebifurcationdiagramofthesolutionsofthesystem

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3.

圖3~圖8顯示出與系統(tǒng)(7)中的參數(shù)有關(guān)的分岔圖.從圖3和圖4中可以看到納什均衡點(diǎn)E3對(duì)a1,a2為較小值時(shí),系統(tǒng)(7)是局部穩(wěn)定的.當(dāng)a1,a2增大時(shí),納什均衡點(diǎn)變得不穩(wěn)定,發(fā)生復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為,包括高階周期分岔和混沌.

圖3系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)a1的分岔圖

圖4系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)a2的分岔圖

Fig.4Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttoa2

a1=2.3,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,
c1=0.15,c2=0.13,v1=0.09,v2=0.085.

圖5和圖6是關(guān)于參數(shù)b1和b2的分岔圖.可以看到,當(dāng)b1和b2較小時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)動(dòng)力學(xué)特征;當(dāng)b1和b2增加時(shí),系統(tǒng)(7)經(jīng)歷混沌和周期減半分岔.從圖7和圖8觀察到納什均衡點(diǎn)E3對(duì)于參數(shù)c1和c2為適當(dāng)值時(shí),系統(tǒng)(7)局部穩(wěn)定.從納什均衡點(diǎn)來看,隨著c1和c2減小,存在周期減半分岔.當(dāng)c1和c2從納什均衡點(diǎn)增加時(shí),系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是混沌的.

圖5 系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)b1的分岔圖

圖6 系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)b2的分岔圖

圖7 系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)c1的分岔圖

圖8系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)c2的分岔圖

Fig.8Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttoc2

a1=1.5,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,v1=0.09,v2=0.085.

奇異吸引子是系統(tǒng)混沌運(yùn)動(dòng)的主要內(nèi)在特征,它反映了混沌狀態(tài)下復(fù)雜現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律.奇異吸引子具有不同屬性的內(nèi)外2種方向,在其外的所有運(yùn)動(dòng)都趨向奇異吸引子,屬于相對(duì)穩(wěn)定的方向;所有到達(dá)奇異吸引子內(nèi)的運(yùn)動(dòng)都相互排斥,相對(duì)屬于不穩(wěn)定方向.因此,當(dāng)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí),企業(yè)可以根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律預(yù)測(cè)短期內(nèi)的市場(chǎng)價(jià)格是否為混亂競(jìng)價(jià),即只有當(dāng)兩個(gè)企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)格p1和p2不在奇異吸引子的軌道上時(shí),市場(chǎng)的競(jìng)價(jià)模式為穩(wěn)定狀態(tài);否則,整個(gè)市場(chǎng)將處于混亂競(jìng)爭(zhēng)的局面.圖9~圖11分別表示系統(tǒng)(7)對(duì)于v1=0.3和v2為不同值時(shí)的奇異吸引子的變化情況,與圖2中系統(tǒng)(7)關(guān)于v2的單參分岔圖相對(duì)應(yīng).從圖9~圖11中可以看到分岔過程,隨著v2取值的不斷增大,分形結(jié)構(gòu)變得清晰,當(dāng)v2=0.3時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的;圖10中,當(dāng)v2=0.55時(shí)系統(tǒng)發(fā)生2倍周期分岔;從圖11可看出,當(dāng)v2>0.75時(shí)系統(tǒng)完全進(jìn)入混沌狀態(tài).

吸引子的圖像也趨于完整.圖9中,

圖9 v2=0.3時(shí)系統(tǒng)的奇異吸引子Fig.9 The strange attractor for the system whenv2=0.3

圖10 v2=0.55時(shí)系統(tǒng)的奇異吸引子Fig.10 The strange attractor for the system whenv2=0.55

圖11v2=0.75時(shí)系統(tǒng)的奇異吸引子
Fig.11Thestrangeattractorforthesystemwhenv2=0.75

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.3,v2=0.75.

混沌系統(tǒng)的另一個(gè)內(nèi)在特征是對(duì)初值條件的敏感程度,對(duì)價(jià)格的初值敏感性.圖12、圖13分別為v1=0.3,v2=0.69時(shí),系統(tǒng)的初始價(jià)格p1為(0.461 9,0.462 0)和p2(0.509 8,0.509 9)時(shí)的價(jià)格的時(shí)間歷程圖.從圖12中可以看出,開始顯示每個(gè)變量的2個(gè)軌道之間是不可區(qū)分的,但經(jīng)過一系列迭代之后,差異變得明顯.由此可知,價(jià)格初始值發(fā)生微小變化會(huì)對(duì)系統(tǒng)結(jié)果產(chǎn)生顯著影響.

可以通過系統(tǒng)時(shí)間歷程圖來檢驗(yàn)系統(tǒng)

圖12 v1=0.3時(shí)系統(tǒng)對(duì)初值條件p1的敏感性

圖13v2=0.69時(shí)系統(tǒng)對(duì)初值條件p2的敏感性

Fig.13Sensitivedependenceofsystemoninitialconditionsp2whenv2=0.69

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,
e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13.

3 混沌控制

通過數(shù)值模擬,觀察到調(diào)整速度v1和v2極大地影響了系統(tǒng)(7)的穩(wěn)定性.如果參數(shù)在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)無法定位,則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為將非常復(fù)雜和混亂.混沌在經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的出現(xiàn)是不可預(yù)料的,甚至有害.在某種程度上,應(yīng)該避免或控制系統(tǒng)混沌,使動(dòng)態(tài)系統(tǒng)能夠更好地運(yùn)行.

為了抑制原動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(7)混沌行為的發(fā)生,使用參數(shù)變化方法控制系統(tǒng)的混沌,使其恢復(fù)穩(wěn)定狀態(tài).將系統(tǒng)(7)添加控制參數(shù)u,即將其轉(zhuǎn)換成以下受控系統(tǒng):

(13)

受控后系統(tǒng)(13)的雅克比矩陣J的形式如下:

令v1=0.7,v2=0.7,將參數(shù)a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,ρ1=0.147 6,ρ2=0.059 9代入得:

該雅克比矩陣的特征方程為

λ2-Tr(J)+Det(J)=0,

式中Tr(J)和Det(J)的表達(dá)式分別為

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)可得:

(14)

式(14)保證了受控系統(tǒng)(13)納什均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,解得u>1.659.圖14是受控系統(tǒng)(13)對(duì)混沌狀態(tài)添加控制參數(shù)u后,改變控制參數(shù)u的分岔圖.從圖14可以看出,隨著u增大,系統(tǒng)逐漸擺脫混沌,倍周期分岔逐漸消失,走向穩(wěn)定趨勢(shì).當(dāng)控制參數(shù)u>1.659 時(shí),完全呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài).這意味著當(dāng)市場(chǎng)處于混亂競(jìng)爭(zhēng)狀態(tài)時(shí),企業(yè)可以使用改變參數(shù)變化的控制策略,通過改變控制參數(shù)來控制調(diào)整速度,從而使市場(chǎng)能快速的從混沌中恢復(fù)有序、穩(wěn)定的競(jìng)爭(zhēng)局面.

圖14系統(tǒng)控制參數(shù)u的分岔圖

Fig.14Thebifurcationdiagramofthesystemwithrespecttou

a1=2.3,a2=2.5,b1=1.2,b2=1.1,e1=0.4,
e2=0.5,c1=0.15,c2=0.13,v1=0.7,v2=0.7.

4 結(jié) 論

本文通過構(gòu)建一個(gè)非線性雙寡頭動(dòng)態(tài)價(jià)格博弈模型,研究基于有限理性預(yù)期的博弈雙方價(jià)格決策問題,分析了均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、分岔和混沌行為,并對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)值仿真.

(1) 系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域取決于各個(gè)參數(shù)的取值,在特定參數(shù)范圍內(nèi),為了保證市場(chǎng)的穩(wěn)定性,產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整參數(shù)應(yīng)處于穩(wěn)定區(qū)域,否則市場(chǎng)價(jià)格將產(chǎn)生巨大波動(dòng).

(2) 同時(shí)考慮企業(yè)利潤(rùn)和市場(chǎng)份額的情況下,在一定區(qū)域內(nèi),為了抑制產(chǎn)品價(jià)格的浮動(dòng),可以在邊際利潤(rùn)大于0時(shí),通過增大邊際需求,調(diào)整價(jià)格調(diào)整參數(shù)來提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

(3) 對(duì)混沌狀態(tài)的系統(tǒng)使用參數(shù)變化控制表明,企業(yè)可以通過改變控制參數(shù)來控制調(diào)整速度,從而使市場(chǎng)恢復(fù)有序、穩(wěn)定的競(jìng)爭(zhēng)局面.

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