吳林雋
【摘要】有理數(shù)是什么?或許我們馬上會(huì)回答:有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù),有理數(shù)是可以用分?jǐn)?shù)形式表示的實(shí)數(shù).我們學(xué)過(guò)的教材對(duì)有理數(shù)的定義真的是這樣的嗎?有理數(shù)有幾種定義,它們之間是否相互等價(jià)?筆者分析了一些教材中對(duì)有理數(shù)的兩種定義,在本文中嘗試并證明了兩種定義的等價(jià)性,而且通過(guò)一些具體的例子驗(yàn)證了兩種定義的等價(jià)性,希望讀者讀過(guò)此文后能對(duì)有理數(shù)的兩種定義有更深刻的理解.
【關(guān)鍵詞】有理數(shù)定義;分?jǐn)?shù);無(wú)限循環(huán)小數(shù);循環(huán)節(jié);唯一表示
一、有理數(shù)的兩種定義
何為有理數(shù)?或許我們會(huì)馬上回答:有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù).或許我們還會(huì)再?lài)?yán)格一點(diǎn)回答:有理數(shù)是整數(shù)或有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù).我們還有一種常見(jiàn)的回答:有理數(shù)是可以用分?jǐn)?shù)形式表示的實(shí)數(shù).我們有沒(méi)有想過(guò),上面我們所熟悉的有理數(shù)的概念是從哪里獲得的,自創(chuàng)的?做習(xí)題時(shí)在參考書(shū)上旁注的?教科書(shū)上獲得的?或許我們很難回憶起是從哪里獲得有理數(shù)這個(gè)概念的了,但沒(méi)有關(guān)系,我們對(duì)有理數(shù)的應(yīng)用是熟悉的,所以不會(huì)影響我們下面的討論.
下面我們先看一些教材中有理數(shù)的定義.
人民教育出版社出版的《義務(wù)教育教科書(shū)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)》第12頁(yè)對(duì)有理數(shù)的定義是:“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù).”[1]我們知道,整數(shù)可以看作是分母為1的分?jǐn)?shù),所以這本初中數(shù)學(xué)教材對(duì)有理數(shù)的定義其實(shí)是:能夠用分?jǐn)?shù)形式表示的實(shí)數(shù)叫作有理數(shù).
人民教育出版社出版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》的數(shù)學(xué)所有必修、選修系列均未對(duì)有理數(shù)下定義,只有《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1》第3頁(yè)中簡(jiǎn)潔地提了一下有理數(shù)集的概念:“全體有理數(shù)組成的集合稱(chēng)為有理數(shù)集,記作Q.”[2]這里并沒(méi)有對(duì)有理數(shù)下定義.
科學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)分析(一)》第3頁(yè)這樣描述有理數(shù):“有理數(shù)集Q中的每個(gè)數(shù)都可以用既約分?jǐn)?shù)pq表示(其中p∈Z,q∈N+,且p,q互質(zhì)).”第177頁(yè)說(shuō):“有理數(shù)可表示為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù),有限小數(shù)也可以表示為無(wú)限循環(huán)小數(shù).”[3]
現(xiàn)在我們先明確教材中有理數(shù)的兩種定義.
定義1 能夠用無(wú)限循環(huán)小數(shù)形式表示的實(shí)數(shù)叫作有理數(shù),如果把整數(shù)和有限小數(shù)寫(xiě)成循環(huán)節(jié)為0的無(wú)限循環(huán)小數(shù)的話.
定義2 能夠用分?jǐn)?shù)形式表示的實(shí)數(shù)叫作有理數(shù).
二、無(wú)限循環(huán)小數(shù)的本質(zhì)
現(xiàn)在我們明確了我們以前接觸過(guò)的有理數(shù)的上面兩種定義.下面我們要討論的是,這兩種定義等價(jià)嗎?換言之,無(wú)限循環(huán)小數(shù)是不是一定可以用分?jǐn)?shù)表示,分?jǐn)?shù)是不是一定可以寫(xiě)成無(wú)限循環(huán)小數(shù)?我們的第一反應(yīng)可能會(huì)覺(jué)得這個(gè)想法太荒謬了,這不是很顯然嗎?也許,我們?cè)偌?xì)細(xì)想想,兩者的等價(jià)性好像不是那么“顯然”.
先看一個(gè)問(wèn)題:0.9999…=1是否成立?可能我們會(huì)馬上說(shuō):當(dāng)然成立了,這不很明顯嗎?——如果要我們說(shuō)明理由呢?好的,我們想出了這個(gè)理由:因?yàn)?.9999…和1無(wú)限接近,所以0.9999…=1.——這個(gè)理由得牽強(qiáng).或許筆者想到了一個(gè)更加充分的理由:因?yàn)?3=0.3333…,所以1=13×3=0.3333…×3=0.9999…——這個(gè)理由讓筆者非常滿意,因?yàn)樗浞值亟忉屃藶楹?.9999…=1.
0.9999…=1是否成立的問(wèn)題已經(jīng)得到了完美的解決,那么0.573573573…=0.5·73·能否寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式?如果我們沒(méi)有這方面的經(jīng)驗(yàn),或許我們一時(shí)想不出來(lái)——不如我們先思考一個(gè)比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題:0.1·怎樣用分?jǐn)?shù)形式表示?不用考慮太久,我們就可以想到0.1·=19,而且驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)確實(shí)是成立的.那么0.2·呢?或許我們馬上脫口而出:0.2·=29.
現(xiàn)在我們應(yīng)該可以猜出0.5·73·怎樣用分?jǐn)?shù)表示了,它應(yīng)該是:0.5·73·=573999,經(jīng)過(guò)長(zhǎng)除法驗(yàn)證后,它確實(shí)是成立的.
我們下面想想如何證明0.5·73·=573999是否成立?我們嘗試把0.5·73·寫(xiě)成如下形式:
三、有理數(shù)兩種定義的等價(jià)性
六、表示形式的唯一性
現(xiàn)在我們已經(jīng)知道有理數(shù)的兩種定義是等價(jià)的,不過(guò)還有兩個(gè)問(wèn)題待解決:任何一個(gè)無(wú)限循環(huán)小數(shù)是不是可以用唯一的分?jǐn)?shù)表示?任何一個(gè)分?jǐn)?shù)是不是可以用唯一的無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示?換言之,任何一個(gè)有理數(shù)是不是有唯一的分?jǐn)?shù)表示形式?任何一個(gè)有理數(shù)是不是用唯一的無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示形式?
對(duì)前一個(gè)問(wèn)題,我們很容易得到下面的結(jié)論.任何一個(gè)有理數(shù)都沒(méi)有唯一分?jǐn)?shù)表示形式,比如,0.3·可以寫(xiě)成13,26,39,…,-1-3,-2-6,-3-9,…這些分?jǐn)?shù),但是我們可以得到一個(gè)結(jié)論:任何一個(gè)有理數(shù)都可以用唯一的既約分?jǐn)?shù)pq表示(其中p∈Z,q∈N+,且p,q互質(zhì)).
對(duì)后一個(gè)問(wèn)題,由于每一個(gè)分?jǐn)?shù)都可以用長(zhǎng)除法寫(xiě)成無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式,我們或許直觀感覺(jué)每一個(gè)有理數(shù)應(yīng)該可以有唯一的無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示形式.其實(shí)不然,比如,我們一開(kāi)始提出的問(wèn)題:“0.9999…=1是否成立?”告訴我們,有理數(shù)1可以表示為1.00000…和0.99999…兩種形式,所以每一個(gè)有理數(shù)不一定有唯一的無(wú)限循環(huán)小數(shù)形式.
為了使得每一個(gè)有理數(shù)都有唯一的無(wú)限循環(huán)小數(shù)表示形式,我們可以規(guī)定整數(shù)和有限小數(shù)寫(xiě)成循環(huán)節(jié)為0的無(wú)限循環(huán)小數(shù),如同本文的定義1.不過(guò)科學(xué)出版社出版的《數(shù)學(xué)分析(一)》[3]第177頁(yè)給出了另一種巧妙的規(guī)定:
(1)當(dāng)x=a0.a1a2…an>0時(shí),其中a0∈N,aj∈N,0≤aj≤9,j=1,2,…,n,an≥1.記x=a0.a1a2…an-1(an-1)999…;
(2)當(dāng)x=a0為正整數(shù)時(shí),記x=(a0-1).999…;
(3)0=0.000…;
(4)當(dāng)x<0時(shí),先將-x表示為無(wú)限小數(shù),然后在所得的無(wú)限小數(shù)前加負(fù)號(hào).
在這樣的規(guī)定下,每個(gè)實(shí)數(shù)都可表示為唯一一種無(wú)限小數(shù).
【參考文獻(xiàn)】
[1]人民教育出版社課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.義務(wù)教育教科書(shū)七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)[M].北京:人民教育出版社,2012.
[2]人民教育出版社課程教材研究所、中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1[M].北京:人民教育出版社,2017.
[3]劉名生,馮偉貞,韓彥昌.數(shù)學(xué)分析(一)[M].北京:科學(xué)出版社,2009.