殷 琳 樓夢(mèng)麟 康 帥

1）寧波工程學(xué)院，建筑與交通工程學(xué)院，浙江寧波 315000

2）寧波工程學(xué)院，浙江省土木工程工業(yè)化建造工程技術(shù)研究中心，浙江寧波 315000

3）同濟(jì)大學(xué)，土木工程學(xué)院，上海 200092

4）河南大學(xué)，土木工程學(xué)院，河南開(kāi)封 475001

前言

土層地震反應(yīng)分析是工程場(chǎng)地地震安全性評(píng)價(jià)和區(qū)域地震區(qū)劃中的重要工作環(huán)節(jié)（上海市地震局等，2004；中華人民共和國(guó)國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局等，2006）。在土層地震反應(yīng)分析中，關(guān)于水平均勻土層的研究最為深入（邢浩潔，2017），建立了相關(guān)問(wèn)題的解析解（吳世明，2000；謝定義，2011），如水平均勻土層的水平和豎向線性地震反應(yīng)的解析解。在實(shí)際工程中，土層往往是水平分層的，若要應(yīng)用水平均勻土層地震反應(yīng)解析解的理論計(jì)算公式，必須把水平分層土層等效為水平均勻土層，其中土層系統(tǒng)的等效阻尼比是需要獲取的1個(gè)等效參數(shù)。此外，在強(qiáng)震作用下土層介質(zhì)處于非線性工作狀態(tài)，其非線性地震反應(yīng)分析一般有3種方法，即頻域內(nèi)的等效線性化計(jì)算方法、時(shí)域內(nèi)的等效線性化計(jì)算方法和時(shí)域內(nèi)的真非線性計(jì)算方法（Idriss等，1968；欒茂田等，1992，2003）。而在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行土層地震反應(yīng)計(jì)算時(shí)，無(wú)論是線性問(wèn)題還是非線性問(wèn)題，一般應(yīng)用有限元法并采用基于振型阻尼比的瑞利比例阻尼矩陣的形式，按各自土介質(zhì)阻尼比形成阻尼子矩陣，然后組裝成土層系統(tǒng)的總阻尼矩陣無(wú)疑是合理的數(shù)值建模方法（Idriss等，1973）。在實(shí)際應(yīng)用中，更為簡(jiǎn)便、快速的途徑是在土層整體層面上，形成系統(tǒng)的瑞利比例阻尼矩陣，為此需首先獲得水平均勻土層系統(tǒng)的等效阻尼比。

樁-土動(dòng)力相互作用是工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)理論研究中的1個(gè)重要方面，基于單樁阻抗函數(shù)的群樁基礎(chǔ)模型已在工程結(jié)構(gòu)抗震計(jì)算和設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用，而單樁阻抗函數(shù)的解析解是建立在土層為水平均勻的假定之上。已有研究（樓夢(mèng)麟等，2012）表明：把水平分層土層等效為水平均勻土層有助于在工程中應(yīng)用水平均勻土層的研究成果，各國(guó)在建筑抗震規(guī)范中都有相應(yīng)的規(guī)定（中華人民共和國(guó)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)部等，2010）。土層系統(tǒng)等效阻尼比是將水平分層土層等效為水平均勻土層過(guò)程中應(yīng)該考慮的重要力學(xué)參數(shù)。

本文重點(diǎn)探討水平分層土層系統(tǒng)的等效阻尼比的計(jì)算方法。

1 水平變參數(shù)土層等效阻尼比的計(jì)算方法

眾所周知，土層介質(zhì)的動(dòng)力物理特性參數(shù)隨埋深變化，即便是單一介質(zhì)的水平土層，也不是水平均勻土層，其動(dòng)力參數(shù)也沿土層深度有所變化，稱為水平單層變參數(shù)土層。同樣，任何水平分層土層也都是變參數(shù)水平土層。本文把水平單層變參數(shù)土層、水平分層均勻土層和水平分層變參數(shù)土層簡(jiǎn)稱為水平變參數(shù)土層。下面先討論一般意義下水平變參數(shù)土層系統(tǒng)的等效阻尼比的近似計(jì)算方法。

設(shè)水平變參數(shù)土層總厚度為H，共有n層土，第i層土的中心位置距下臥基巖面的距離 為zi，該位置處的土介質(zhì)的阻尼比為λ(zi)，則該水平變參數(shù)土層的等效阻尼比λeff為：

式中，f(z)為加權(quán)函數(shù)。

加權(quán)函數(shù)f(z)的形式可有不同選擇，本文選擇5種加權(quán)函數(shù)：①假設(shè)各層土的阻尼比對(duì)等效阻尼比的貢獻(xiàn)相同，即權(quán)函數(shù)f(z)是等權(quán)函數(shù)；②假設(shè)各層土的阻尼比對(duì)等效阻尼比的貢獻(xiàn)隨其所處深度從基巖至地表呈正弦函數(shù)變化，即權(quán)函數(shù)f(z)取為水平均勻土層第一階振 型的位移分布函數(shù)，即為正弦函數(shù)；③假設(shè)各層土的阻尼比對(duì)等效阻尼比的貢獻(xiàn)隨其所處深 度從基巖至地表成余弦函數(shù)變化，即權(quán)函數(shù)f(z)取為水平均勻土層第一階振型的剪切應(yīng)變分 布函數(shù)，即第一階振型的位移分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，為余弦函數(shù)；④加權(quán)函數(shù)f(z)為倒三角形分布，可看作第2種加權(quán)函數(shù)的簡(jiǎn)單近似；⑤加權(quán)函數(shù)f(z)為三角形分布，可看作第3種加權(quán) 函數(shù)的簡(jiǎn)單近似。上述5種加權(quán)函數(shù)如圖1所示。

圖1 加權(quán)函數(shù)分布圖 Fig.1 Plots of weighting function

當(dāng)5種加權(quán)函數(shù)的最大值為1時(shí)，由式（1）可得到相應(yīng)的變參數(shù)土層等效阻尼比的表達(dá)式。

（1）當(dāng)加權(quán)函數(shù)f(z) = 1時(shí)，

式中，z為土層上任意一點(diǎn)到基巖面的距離，H為土層總厚度（下同）。

2 計(jì)算水平分層均勻土層等效阻尼比的加權(quán)比例因子

圖2所示的水平分層土層可視為水平變參數(shù)土層的1個(gè)特例，其土層介質(zhì)力學(xué)特性參數(shù)的分布沿豎向埋深呈階躍函數(shù)，即每層土的阻尼比恒定，不隨埋深變化。為表述方便，定義iλ為第i層土介質(zhì)的阻尼比，Zi和Zi-1分別為第i層土層上、下界面的Z坐標(biāo)值，hi為第i層土厚度，iH為第i層土層中心至土表的距離，也即第i層土層中心面的埋深，它們之間的關(guān)系為：

圖2 分層土層及相關(guān)參數(shù)示意 Fig.2 Illustration of layered soils and corresponding parameters

當(dāng)各土層的阻尼比為常數(shù)時(shí)，由式（2）—（6）可分別得到：

上述基于水平變參數(shù)土層加權(quán)函數(shù)并通過(guò)積分計(jì)算獲得等效阻尼比的方法（式（2）—（6）），稱為方法a。如將式（7）—（11）寫(xiě)成如下形式：

則稱Dia為第i層土的阻尼比加權(quán)比例因子，其值介于0和1之間。對(duì)應(yīng)式（7）—（11）的加 權(quán)比例因子分別標(biāo)記為：

同時(shí)，考慮到每層土的阻尼比是恒定不變的，每層土層可取相同的加權(quán)系數(shù)fi來(lái)計(jì)算等效阻尼比，將各層直接指定加權(quán)系數(shù)的方法記為方法b，此時(shí)水平分層均勻土層的等效阻尼比為：

式中，第i層的加權(quán)比例因子Dib為：

本文選用6種加權(quán)系數(shù)，分別為：①fi=hi，即取第i層的層厚為該層的加權(quán)系數(shù)；即取第i層中心面處的均勻土層第1階振型位移函數(shù)值為該層的加權(quán)系數(shù)；即取第i層中心面處的均勻土層第1階振型的應(yīng)變函數(shù)值為該層的加權(quán)系數(shù)；即取第i層中心面處的埋深為該層的加權(quán)系數(shù)；即取第i層中心面處的高程坐標(biāo)為該層的加權(quán)系數(shù)；此時(shí)考慮了層厚和埋深的雙重影響。樓夢(mèng)麟 等（2012）對(duì)第1、4和6種加權(quán)系數(shù)的取值方法進(jìn)行了應(yīng)用和比較，在上述6種加權(quán)函數(shù)假定下，各層土層的加權(quán)比例因子分別為：

比較式（13）和式（20）可知，對(duì)于水平分層均勻的土層而言，以層厚為加權(quán)系數(shù)的實(shí)質(zhì)是采用了等權(quán)加權(quán)函數(shù)；此外，考察式（25）中的分母，由于zn=H，z0=0，其分母可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：將此結(jié)果代入式（25），可得與式（16）中的Dia相同， 證明了采用三角形分布作為加權(quán)函數(shù)考慮了層厚和深度的雙重影響。

由基于分布加權(quán)函數(shù)的方法a和直接指定各層加權(quán)系數(shù)的方法b共形成了11種加權(quán)比例因子，實(shí)際共提出了9種不同加權(quán)比例因子的取值方法，分別表為a1、a2、a3、a4、a5和b2、b3、b4、b5。下文通過(guò)算例來(lái)討論不同加權(quán)比例因子對(duì)土層地震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果的影響。

3 算例分析

基于土介質(zhì)耗能機(jī)理的試驗(yàn)研究成果，在土動(dòng)力學(xué)原理中常采用滯回阻尼模型，其數(shù)學(xué)描述是復(fù)剛度形式。為此，本文在頻域內(nèi)計(jì)算土層的線性地震反應(yīng)，也可避免時(shí)域內(nèi)的比例阻尼矩陣建模存在問(wèn)題（樓夢(mèng)麟，2016）。在假定土介質(zhì)為線性的條件下，計(jì)算了2個(gè)水平分層土層的地震反應(yīng)，通過(guò)分析土層地表的地震加速度與位移反應(yīng)峰值的計(jì)算精度來(lái)討論文中所建議的不同加權(quán)方法的合理性。采用線性假定可獲取土層地震反應(yīng)的準(zhǔn)確解，用于評(píng)價(jià)近似解的計(jì)算精度，所得結(jié)論可以推廣到水平分層土層的非線性地震反應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題。

3.1 算例1

水平分層土層的總厚度為100m，土層分為10層，每層10m，分層情況如圖3所示。各土層物理參數(shù)均為：密度2000kg/m3，彈性模量391MPa，泊松比0.35，換算剪切波速為269m/s。

圖3 分層土層場(chǎng)地 Fig.3 Layered soil sites

對(duì)于水平地震作用下水平分層土層的地震反應(yīng)，可采用單列平面應(yīng)變有限元方法來(lái)計(jì)算（鄔都等，2008）。為確保頻率低于20Hz的地震波分量均能傳到地表而不被濾波，有限元網(wǎng)格的豎向尺寸應(yīng)滿足最小尺寸要求，即最大豎向單元尺度lmax應(yīng)不大于λ/8，其中λ為對(duì)應(yīng)于最高激振頻率的正弦波在此土層中傳播的波長(zhǎng)，一般情況下基巖地震波的最高激振頻率取為20Hz。由土層模型的物理參數(shù)知，激振頻率為20Hz的正弦波在此土層中傳播的波長(zhǎng)為：

在本算例中，網(wǎng)格豎向尺寸取l=1m，可滿足上述有限單元豎向尺寸的要求。

該平面應(yīng)變有限元模型底部結(jié)點(diǎn)自由度全約束，兩側(cè)邊界上的結(jié)點(diǎn)僅約束豎向自由度，成為側(cè)移邊界。

將圖3中各層土介質(zhì)的阻尼比設(shè)為不同值后，形成S1、S2和S3共3種水平分層土層模型，3種模型各層土阻尼比的設(shè)置值列見(jiàn)表1。在各層土厚度hi相等的情況下，可以證明 式（16）、（17）中的Dia分別與式（23）、（24）中的Dib相同，由于篇幅限制，在此不再贅述。

表1同時(shí)給出了7種計(jì)算方法下的等效阻尼比。

表1 不同土層模型的阻尼比分布及基于不同計(jì)算方法的等效阻尼比 Table1 Distribution of damping ratios of the soil modals and calculated damping ratios

表1中的數(shù)據(jù)表明，方法b2、b3所得的等效阻尼比與方法a2、a3所得值相等，方法a2和a4所得的等效阻尼比相近，方法a3和a5所得的等效阻尼比相近。因此，下文只驗(yàn)算方法a1—a5所得的等效阻尼比對(duì)土層地震反應(yīng)的影響。

對(duì)于每一個(gè)土層模型，首先在頻域中計(jì)算分層土層在原始阻尼比時(shí)的土層地表的地震反應(yīng)，將其作為比較的基準(zhǔn)值，然后在頻域內(nèi)分別應(yīng)用方法a1—a5所得的等效阻尼比計(jì)算同一 土層的地震反應(yīng)，并與基準(zhǔn)值比較，以相對(duì)誤差水平ei判斷不同等效阻尼比時(shí)的計(jì)算精度， 相對(duì)誤差水平的計(jì)算公式為：

其中，A0表示土層地震反應(yīng)峰值的基準(zhǔn)值，Ai表示應(yīng)用等效阻尼比計(jì)算所得的同一土層 地震反應(yīng)峰值。

土層下臥基巖面上輸入的地震加速度時(shí)程分別為實(shí)測(cè)得到的4條地震加速度時(shí)程，分別簡(jiǎn)稱為El-Centro波、Taft波，Kobe波，汶川基巖波，此外還選用了上海地區(qū)某工程場(chǎng)地地震安評(píng)所得的50年10%概率下的人工基巖波。在計(jì)算中，將5條地震加速度時(shí)程的幅值均調(diào)整為1.00m/s2，相應(yīng)的時(shí)程曲線及其反應(yīng)譜如圖4所示。

圖4 地震波時(shí)程曲線及反應(yīng)譜 Fig.4 Time history and response spectrum diagram of seismic wave

表2給出了各種土層模型下的土層地表絕對(duì)加速度與相對(duì)位移反應(yīng)峰值，表3給出了對(duì)應(yīng)的計(jì)算相對(duì)誤差。

表2 不同土層模型地表的地震反應(yīng)峰值 Table2 Peak seismic response of different soil layer models

表3 不同土層模型地表的地震反應(yīng)峰值的相對(duì)誤差（單位：%） Table3 Relative errors of peak seismic response of different soil layer models (unit:%)

從表3的數(shù)據(jù)可以看出，不同的等效方法會(huì)產(chǎn)生不同的誤差水平，從總體來(lái)看，在等厚度分層土層的條件下，近似估算方法a3和a5所產(chǎn)生的誤差基本相同，同樣，近似估算方法a2和a4所產(chǎn)生的誤差基本相同，即用直線代替正弦或余弦曲線來(lái)表示加權(quán)函數(shù)所得的等效阻尼比和產(chǎn)生的計(jì)算誤差水平基本相同。對(duì)于土層模型S1和S2，近似估算方法a3和a5所產(chǎn)生的誤差要小一些，且普遍小于5%。而對(duì)于土層模型S3，近似估算方法a2和a4所產(chǎn)生的誤差要小一些，多數(shù)情況下小于5%，只有汶川地震波的誤差大一些，主要是由于該地震波的廣譜性造成的。進(jìn)一步比較表明，土層模型S1和S2的阻尼比由地表到基巖呈減小趨勢(shì)，宜采用正三角形分布的加權(quán)函數(shù)，而土層模型S3的阻尼比由地表到基巖呈增加趨勢(shì)，宜采用倒三角形分布的加權(quán)函數(shù)。

3.2 算例2

以蘇通大橋5號(hào)橋塔基礎(chǔ)處的工程場(chǎng)地為實(shí)際算例，進(jìn)一步討論不同等效阻尼比近似估算方法的合理性。該工程場(chǎng)地可近似視為水平分層土層，共劃分為11層，相關(guān)計(jì)算參數(shù)如表4所示。

表4 工程場(chǎng)地土層模型基本參數(shù) Table4 Parameter of soil sites

根據(jù)土的分層情況及相關(guān)參數(shù)，可得到不同近似估算方法所得的土層等效阻尼比，如表5所示。從表中數(shù)據(jù)可以看出，采用方法a3、a5和b2所得的等效阻尼比相等，采用方法a2和a4所得的等效阻尼比相近，采用方法b3和b5所得的等效阻尼比相近。該場(chǎng)地地震反應(yīng)有限元模型的建立與求解方法與算例1相同，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6和表7。

表5 土層模型各方法計(jì)算出的等效阻尼比 Table5 Equivalent damping ratios of soil site by different method

表6 土層地震反應(yīng)峰值 Table6 Peak value of seismic responses of soil layer

表7 地震反應(yīng)計(jì)算結(jié)果誤差（單位：%） Table7 Errors of seismic response calculation (unit:%)

從表7的數(shù)據(jù)可以看出，近似估算方法a2和a4產(chǎn)生的誤差要小一些，多數(shù)情況下小于5%。由于最下層土層厚達(dá)176.9m，超過(guò)土層厚度304.4m的一半，盡管地表2層土層的阻尼比較大，但該場(chǎng)地土層的各層土層阻尼比變化總的趨勢(shì)是由地表向基巖增加，與前一算例中S3土層相似，也有相似的結(jié)論。在這種情況下，宜采用近似估算方法a2和a4，且a2和a4的誤差水平相當(dāng)。

此外，從表7還可以看出，與近似估算方法a2和a4相對(duì)應(yīng)的近似估算方法b2和b4，其計(jì)算誤差要大的多，表明層厚差別較大時(shí)，宜采用基于分布加權(quán)函數(shù)的方法a，而不采用直接指定各層加權(quán)系數(shù)的方法b。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）在進(jìn)行水平分層土層地震反應(yīng)分析時(shí)，若所選擇的等效阻尼比計(jì)算方法不恰當(dāng)，將導(dǎo)致計(jì)算所得的地震反應(yīng)出現(xiàn)較大的誤差，在本文的算例中，最大可達(dá)30%。

（2）在水平分層土層中，若各層土阻尼比由地表到基巖呈增強(qiáng)趨勢(shì)，則采用a5方法（即正三角形分布）計(jì)算等效阻尼比較合理；若各層土阻尼比由地表到基巖呈減小趨勢(shì)，則采用a4方法（即倒三角形分布）來(lái)計(jì)算等效阻尼比較合理。

（3）總體上，采用基于分布加權(quán)函數(shù)的方法更為合理，適用性更為廣泛。