馬 田 田

(首都師范大學(xué),北京 100048)

1 前言及主要結(jié)論

考慮平面系統(tǒng)

其中f,g∶R→R連續(xù),pi∶R3→R(i=1,2)連續(xù)且關(guān)于第一個變量t是2π周期的.

系統(tǒng)(1.1)可以寫成如下形式

周期解的存在性.假定下面的非對稱條件成立,

和

這里a±,a±,b±和b±都是正常數(shù).若存在正整數(shù)n使得

和

文獻(xiàn)[10]證明了系統(tǒng)(1.3)至少存在一個周期解.關(guān)于其它相關(guān)的結(jié)果可見[3,7,8,12-15].

本文在新的條件下研究系統(tǒng)(1.1)周期解的存在性.假定g滿足條件

f在無窮遠(yuǎn)處滿足非對稱條件,

和

另外,假定存在常數(shù)M0＞0使得

(h4)對任意t,x,y∈R,有|pi(t,x,y)|≤M0,(i=1,2).

本文將借助于時間映射來研究系統(tǒng)(1.1)周期解的存在性.令

τ(c)通常稱為時間映射.文獻(xiàn)[5,6]深入研究了映射τ的性質(zhì).記

應(yīng)用連續(xù)性定理[2],本文證明了以下結(jié)論：

定理1.1假定條件(hi)(i=1,…,4)成立.若存在一個正整數(shù)n使得不等式

定理1.2假定條件(hi)(i=1,…,4)成立.若不等式

成立,則系統(tǒng)(1.1)至少存在一個2π周期解.

若存在正常數(shù)a,b使得

可以得到如下結(jié)論：

推論1.3假定條件(hi)(i=1,4,5)成立.若存在正整數(shù)n使得不等式

至少存在一個2π周期解,這里y+=max{y,0},y-=max{-y,0}.

注記1.4推論1.3推廣了[6]中的結(jié)果.文獻(xiàn)[6]證明了若存在一個正整數(shù)n使得不等式

成立,則Duffing方程

至少存在一個2π周期解.因為方程(1.6)等價于系統(tǒng)x′=y,y′=-g(x)+p(t),故有f(y)=y.這樣a=b=1,從而因此,條件(τ2)正好是[6]中的條件.

2 一個連續(xù)性定理

本文將應(yīng)用[2]中的連續(xù)性定理證明系統(tǒng)(1.1)周期解的存在性.為方便起見,下面先介紹這一定理.

考慮系統(tǒng)

這里f∶R3→R2連續(xù)并且對任意(t,z)∈R3,f(t+T,z)=f(t,z).將系統(tǒng)(2.1)嵌入到含有單參數(shù)λ∈[0,1]的方程族

其中F∶R3×[0,1]→R2連續(xù),并且對任意(t,z,λ)∈R3×[0,1],有

另外,F滿足

定理2.1(連續(xù)性定理)[2]假定下列條件成立,

(1)存在正常數(shù)r0使得對于z′=f0(z)任意T周期解z(·),都有|z|∞≤r0,這里

(2)對任意r≥r0,dB(f0,B(0,r),0)≠0,其中

(3)對任意r1≥0,存在r2≥r1使得對于系統(tǒng)(2.2)的任意T周期解z(·)(λ∈[0,1]),

(4)對任意正整數(shù)n,存在rn＞0使得對于系統(tǒng)(2.2)的任意T周期解(λ∈[0,1]),n(z)=這里n(z)表示周期解z(·)的旋轉(zhuǎn)數(shù).則系統(tǒng)(2.1)至少存在一個T周期解.

3 基本引理

考慮含有單參數(shù)λ∈[0,1]的平面系統(tǒng)

令(x(t),y(t))=(x(t,x0,y0,λ),y(t,x0,y0,λ))表示系統(tǒng)(3.1)滿足初始條件(x(0),y(0))=(x0,y0)的解.在本節(jié)中我們總是假定條件(hi)(i=1,…,4)成立,記

下面給出系統(tǒng)(3.1)柯西問題解的大范圍存在性.由參考文獻(xiàn)[16]可得如下引理.

引理 3.1[16]系統(tǒng)(3.1)的任意解(x(t),y(t))在整個t軸上有定義.

由文獻(xiàn)[17]中定理6.5的證明可知下面的彈性性質(zhì)成立.

引理 3.2對任意R1＞0,存在R2＞R1使得下面的結(jié)論成立,

引理 3.3[16]存在R0＞0使得當(dāng)時,θ′(t)＜0,t∈[0,2π].

引理 3.4假設(shè)條件(τ0)成立.設(shè){(xj(t),yj(t))}是系統(tǒng)(3.1)的一個2π周期解序列,其旋轉(zhuǎn)數(shù)n(xj,yj)=k(k是一個固定的正整數(shù)),j=1,2,…,并且

引理 3.5假定引理3.4的條件成立.則有