張烜工,穆希輝
(1.陸軍工程大學石家莊校區(qū) 彈藥工程系, 石家莊 050003; 2.陸軍研究院特種勤務(wù)研究所, 石家莊 050003)
為了準確評定末制導炮彈控制艙光電耦合器的貯存壽命,選用了10枚樣品,對其進行了四應(yīng)力步進加速退化試驗。以光耦的漏電流參數(shù)為刻畫對象,對其進行加速退化建模,進而評估其長儲可靠性?,F(xiàn)階段來看,主流的性能退化建模有三種方法:性能退化軌道方法、退化量分布方法以及隨機過程方法[1]。前兩種方法較為簡單,應(yīng)用最為廣泛且技術(shù)成熟。然而這兩者的缺陷在于忽略了樣品在退化過程中具有的隨機性。相比退化軌道方法或者退化量分布方法,基于隨機過程的方法考慮到退化過程具有的隨機性和動態(tài)性特征,能夠更好地反映環(huán)境等因素對產(chǎn)品性能的綜合影響,能更好地描述產(chǎn)品的真實退化過程。目前常用來構(gòu)建退化模型的隨機過程主要有三個:維納過程、伽馬過程以及復合泊松過程[2]。維納過程和伽馬過程的主要區(qū)別在于前者可以描述退化增量可能出現(xiàn)負數(shù)的情況,而伽馬過程要求退化增量非負。復合泊松過程一般用來離散退化過程建模。三者中,維納過程應(yīng)用最為廣泛??紤]到光耦的試驗數(shù)據(jù)退化增量有可能為負的情況,因此確定使用維納過程對光耦的漏電流退化數(shù)據(jù)進行建模。
假設(shè)光耦漏電流的退化過程可以用維納過程進行描述:
X(t)=x0+λt+σWW(t)
(1)
式(1)中,x0是漏電流的初值;λ是漂移參數(shù),表征退化速度;σW是擴散參數(shù);W(t)是標準維納過程。
漏電流隨時間變化的散點連線如圖1所示。維納過程在應(yīng)用過程中使用廣泛,但是面對漏電流的數(shù)據(jù)進行建模時,需要對以下兩個重點問題進行研究:(1)如何描述不同光耦漏電流退化的個體性差異;(2)漏電流非線性數(shù)據(jù)的處理。
圖1 漏電流隨時間變化的散點連線
同一批光耦,由于在制造工藝、設(shè)計誤差以及環(huán)境、材料等因素的影響,表現(xiàn)出漏電流的退化速率不一致的個體性差異。在正式試驗過程中,由圖1可以看出,這種現(xiàn)象尤為突出。厲海濤[3]在對衛(wèi)星動量輪進行可靠性評估時,將x0和λ均看作隨機變量,進而對動量輪進行可靠性評估。但是動量輪的數(shù)據(jù)是在非加速試驗條件下搜集的,亦即為實時監(jiān)測數(shù)據(jù),并不涉及加速問題。Wang[4]和郭波[5]將λ及σW都看成隨機變量,但是所假定的分布類型并未得到檢驗,而且其給出的EM算法計算復雜,并不適合推廣。蔡忠義[6]和唐圣金[7]將λ看成服從正態(tài)分布的隨機變量,給出了考慮個體差異的壽命模型,既便于計算又達到較好的模型擬合效果。目前關(guān)于非線性數(shù)據(jù)的處理主要是采用時間尺度變換模型,時間尺度變換模型最早由Whitmore[8]提出,諸多文獻采用其模型,實例證明其具有不錯的實用性[9]。
基于以上的分析,將漏電流退化數(shù)據(jù)進行時間尺度變換,使漏電流的非線性數(shù)據(jù)變?yōu)榫€性數(shù)據(jù),然后將λ進行隨機化處理,構(gòu)建考慮個體差異的加速退化模型,再采用兩步極大似然估計方法對未知參數(shù)進行估計。由于x0與失效閾值相比幾乎可以忽略不計,并且x0較為集中,僅有一個點游離于集中區(qū)域之外,因此將x0取均值,而不是把x0看成隨機變量,如果將其看成隨機變量,不僅沒有必要而且還會大大增加參數(shù)估計的復雜程度[10]。
光耦漏電流的加速方程滿足阿倫尼烏斯加速模型,對于基于Wiener過程的退化模型而言,假定漂移系數(shù)λ與應(yīng)力相關(guān),則相應(yīng)的加速模型為:
λi=aexp(-b/Ti)
(2)
式(2)中,a、b為未知常數(shù);Ti為絕對溫度。
根據(jù)式(2)可以知道,在同一應(yīng)力水平下,各個樣本的退化速度是一樣的。前文已述,個體性差異決定了不同光耦漏電流退化速率的不一致,誤差會隨著確定性參數(shù)的使用而產(chǎn)生。因此,提出一種基于隨機變量的阿倫尼烏斯模型,用以描述光耦之間的退化差異。則在第i個應(yīng)力下第j個光耦的加速方程為:
(3)
通過式(3)可知,第i個應(yīng)力下考慮光耦個體退化差異的漂移系數(shù)λi可以表示為:
(4)
在第i個應(yīng)力下,第j個光耦在第q次測量時相比第q-1次測量時性能退化增量為:
(6)
時間間隔為:
(7)
則根據(jù)維納過程的性質(zhì)可得:
(8)
對于非線性的數(shù)據(jù),采用由Whitmore[8]提出的時間尺度變換模型,將其變?yōu)榫€性數(shù)據(jù)。其常見函數(shù)為:
τ=Λ(t)=tc
(9)
式(9)中,c為常數(shù)且大于0。當c<1時,數(shù)據(jù)為凸型退化,當c>1時,數(shù)據(jù)為凹型退化。這兩種數(shù)據(jù)均為非線性數(shù)據(jù),而當c=1時,數(shù)據(jù)為線型退化,即線性數(shù)據(jù)。當數(shù)據(jù)中出現(xiàn)越來越多的非線性數(shù)據(jù),c值開始慢慢偏離1,非線性數(shù)據(jù)越多,c值的偏離程度就越大。式(9)的優(yōu)點在于可以處理線性與非線性數(shù)據(jù)并存的情況。
因此,本文采用上述變換模型,將漏電流數(shù)據(jù)[t,X(t)]改寫為[τ,Y(τ)],故可以將式(1)改寫為:
Y(τ)=x0+λτ+σWW(τ)
(10)
設(shè)失效閾值為Df,則基于維納過程的光耦漏電流首達失效時的壽命可靠度函數(shù)為:
(11)
式(11)中,Φ(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)。經(jīng)過簡單推導,可以得到變換后的可靠度函數(shù)為:
(12)
令τ=Λ(t),Y(τ)=X(t),則式(12)可化為:
(13)
(14)
式(14)是最為關(guān)心的可靠度函數(shù),由于λ與應(yīng)力有關(guān),因此嚴格來說這是一個二元函數(shù),當應(yīng)力給定時,如常應(yīng)力,故又變成了一元函數(shù)[11]。因此下一步的重點就是估計式(14)中的相關(guān)參數(shù)。
前文將漏電流數(shù)據(jù)[t,X(t)]變換為[τ,Y(τ)],故式(8)可變換為:
(15)
式(15)中,
(16)
(17)
(18)
(19)
可以求出:
(20)
(21)
理論上來說,式(20)和式(21)在擁有退化數(shù)據(jù)情況下解出來的,但是仔細觀察上述兩式,都包含b和c,因此使用兩步估計法求解相關(guān)參數(shù)。
(22)
通過前面的推導和建立的模型,給定n=6,l=4,k1=23,k2=11,k3=10,k4=9,T1=70+273.15,T2=90+273.15,T3=110+273.15,T0=25+273.15,結(jié)合測量的數(shù)據(jù),可以計算出維納過程漂移系數(shù)、擴散系數(shù)等各項參數(shù)值如表1所示。
表1 各項參數(shù)估計值
現(xiàn)在所關(guān)心的是失效閾值Df。根據(jù)摸底情況來看,當Df=70 μA時,光耦進入不穩(wěn)定狀態(tài),但是那時光耦已經(jīng)產(chǎn)生了實質(zhì)性失效,即不能完成預定功能。通過與光耦生產(chǎn)廠家進行溝通,廠家也給不出明確的說法,因為沒有對該產(chǎn)品貯存可靠性進行深入研究,因此也無法提供具體的失效閾值。因此,經(jīng)過討論,決定設(shè)立游動閾值,即從60 μA開始,2 μA為步長,一直到70 μA。其可靠度曲線如圖2所示。
圖2 基于游動閾值的光耦維納過程可靠度曲線
如圖2所示,最下方的可靠度曲線為失效閾值為60 μA時的可靠度曲線,依次排列,最上方的可靠度曲線為70 μA時的可靠度曲線。隨著閾值的提高,可以看出t0.9不斷增加,t0.9介于220 000小時(約為25.46年)至237 600小時(約為27.5年)。
本文構(gòu)建的維納過程可靠性模型,一是考慮到個體化差異,將維納過程中的漂移系數(shù)隨機化處理,并且建立了隨機變量阿倫尼烏斯模型,使較傳統(tǒng)未考慮個體差異而固定漂移系數(shù)的方法更符合實際;二是使用兩步極大似然估計方法,可以求解未知參數(shù)的估計值,克服傳統(tǒng)估計方法的局限性;三是對非線性數(shù)據(jù)的處理,c的估計值為1.495 1,顯然大于1,按照分類來說為凹退化,如果直接將漏電流的退化數(shù)據(jù)看成線性數(shù)據(jù),則其評定的準確度必然大大下降,因此對數(shù)據(jù)進行線性化處理,使其更加符合維納過程的特性。