申 波，劉盼盼，馬克儉，陳 映，謝宗言

(貴州大學(xué) 空間結(jié)構(gòu)研究中心，貴州 貴陽 550003)

混凝土作為一種主要的建筑工程材料，在各個領(lǐng)域都得到了廣泛使用，如建筑、橋梁、隧道、大壩等；作為一種由水泥、粗骨料、細骨料和摻合料組成的多相復(fù)合材料，從形成之初，它就帶有天然缺陷如微裂縫、微孔洞，其力學(xué)行為所受影響因素較多[1-2]。要想全面了解混凝土的力學(xué)特性，分析結(jié)構(gòu)的使用壽命和安全可靠性等，需研究其內(nèi)部微缺陷的演化規(guī)律，這也是損傷理論產(chǎn)生的原因。

由于混凝土損傷起始更多地依賴應(yīng)變，為研究混凝土的力學(xué)行為，學(xué)者們極其重視對混凝土的應(yīng)力—應(yīng)變曲線的研究。他們從理論研究、數(shù)值模擬和試驗研究的角度出發(fā)，對混凝土單軸和多軸受力性能進行分析，引入了損傷力學(xué)的概念來解釋混凝土的非線性行為。通過KACHANOV、RABOTNOV、LEMAITRE、HULT的努力，損傷力學(xué)理論框架初具模型，之后由LADEVEZA和MAZARS對損傷力學(xué)貢獻出了開創(chuàng)性的成果：LADEVEZA將應(yīng)力張量的正負分解，引入損傷本構(gòu)中；MAZARS在此基礎(chǔ)上進行改進，形成了具有重要意義的單邊損傷本構(gòu)模型。之后，不少研究者對其進行修繕，但效果不甚良好。究其原因，是因為彈性本構(gòu)未能反映混凝土非線性發(fā)展中存在塑性變形的特點。塑性力學(xué)的引入為損傷本構(gòu)的研究提供了新的思路，學(xué)者們開始探究考慮塑性變形的損傷本構(gòu)關(guān)系。從實驗和理論角度，對彈塑性損傷本構(gòu)進行研究，其中比較有代表性的是SIMO-JU模型，RESENDE模型和FARIA模型等。在參考國外學(xué)者研究成果的基礎(chǔ)上，國內(nèi)學(xué)者如余天慶、錢濟成等也對彈性本構(gòu)做了不少研究，如改進的分段曲線模型等，也有不少學(xué)者如張研、齊虎等對彈塑性本構(gòu)模型進行了諸多研究。由于混凝土材料的高度非線性，且表現(xiàn)出典型的隨機性，故而有學(xué)者進行了隨機損傷本構(gòu)的研究，并取得了一定成效。

目前，混凝土損傷本構(gòu)的研究主要是采用彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)以及上述理論的組合。本文結(jié)合前述學(xué)者前輩的損傷本構(gòu)研究成果，歸納了混凝土損傷本構(gòu)的發(fā)展歷程。由損傷力學(xué)分析結(jié)構(gòu)問題的步驟切入，對損傷變量的選擇；彈性、彈塑性本構(gòu)分類及損傷演化法則三方面內(nèi)容進行探討，總結(jié)現(xiàn)有損傷本構(gòu)的異同和優(yōu)缺點，簡單探討損傷本構(gòu)未來發(fā)展趨勢及方向。

1 損傷變量

損傷變量作為一種表征材料內(nèi)部的劣化的物理量，反映了材料內(nèi)部的缺陷狀態(tài)，可通過物理分析或者物理量來表示[2-3]。1958年，KACHANO提出了連續(xù)度ψ的概念，他認為材料劣化的主要機制是由于微缺陷引起的有效截面的減小，ψ可用式(1)表示。RABOTNOV[4]提出了使用損傷變量D進行金屬蠕變損傷本構(gòu)的分析，如式(2)所示。

(1)

(2)

KACHANOV提出的連續(xù)度和RABOTNOV提出的基于有效面積減小的損傷變量，是具有實際物理意義；而在純粹現(xiàn)象學(xué)方法中由自由能導(dǎo)出的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，損傷變量此時便可能不具明顯物理意義。

損傷機制不同，損傷變量的選取也會不同，損傷變量分為標(biāo)量、張量兩類。標(biāo)量損傷變量，物理意義明確，概念簡單，限于當(dāng)前研究水平和工程實用性，仍然在被采用。對于各向同性損傷，損傷變量可取為標(biāo)量；單標(biāo)量損傷變量由于無法模擬混凝土單邊效應(yīng)[5]，故而有學(xué)者采用雙標(biāo)量損傷模型[6-10]，通過定義兩個損傷變量來以描述拉應(yīng)力、壓應(yīng)力狀態(tài)下的不同損傷狀態(tài)。對于各向異性損傷[11]，損傷變量取為矢量或者二階張量，有的甚至使用四階張量或八階張量表征損傷變量，但由于八階張量在實際使用者中太過復(fù)雜，一般不被采用。

2 損傷本構(gòu)模型的建立

利用損傷力學(xué)分析工程問題時，大致分為三個過程：選擇合適的損傷變量并找出材料缺陷如何影響材料宏觀性質(zhì)；建立損傷變量的演化規(guī)律，給出應(yīng)力、應(yīng)變在進一步損傷中的關(guān)系；由此建立起損傷、應(yīng)力、應(yīng)變?nèi)咧g的關(guān)系。最后由損傷本構(gòu)模型對結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的宏觀缺陷進行預(yù)測。本節(jié)主要針對損傷本構(gòu)模型的建立，對后續(xù)結(jié)構(gòu)缺陷的預(yù)測不做闡述。由于混凝土損傷類型多樣，既包括延性、塑性損傷，在長期荷載作用下又會發(fā)生蠕變損傷。在循環(huán)荷載和動態(tài)荷載下也會發(fā)生疲勞損傷和動態(tài)損傷[12]。損傷本構(gòu)關(guān)系分類較多，有彈性、彈塑性分類；有各向同性、各向異性損傷本構(gòu)分類；還有靜力損傷、動力損傷本構(gòu)分類；局部、非局部損傷本構(gòu)分類等。各分類之間相互交叉重合，并不絕對，本節(jié)采用彈性、彈塑性損傷本構(gòu)分類進行分析。

2.1 彈性損傷本構(gòu)

彈性損傷模型只考慮損傷對剛度的影響，并未考慮不可恢復(fù)的變形。LOLAND[5]借助HULT提出的連續(xù)損傷模型，給出了單軸受拉損傷模型，該本構(gòu)前半段使用指數(shù)函數(shù)，后半段采用線性關(guān)系近似模擬應(yīng)變軟化后單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線，使用較為方便，但是誤差比較大。在此基礎(chǔ)上，錢濟成、熊華等[13-14]提出了分段雙線性模型和分段曲線模型，分段曲線模型基于試驗數(shù)據(jù)進行系數(shù)取值，偏于經(jīng)驗且模型較為復(fù)雜。

MAZARS[8]利用等效應(yīng)變概念定義損傷閥值；該損傷本構(gòu)將損傷變量分解為拉、壓兩部分如式(3)所示。MAZARS[15]的研究表明循環(huán)荷載下混凝土表現(xiàn)出單邊效應(yīng)。但由于其是各向同性損傷本構(gòu)，在理論模擬方面會出現(xiàn)偏差，如該本構(gòu)關(guān)系對壓-壓區(qū)域的擬合結(jié)果就不甚理想。高蘊昕[16]基于古典各向同性損傷的局限性，在未做任何等效性假定的前提下，給出了DE、DG雙標(biāo)量損傷標(biāo)量表征本構(gòu)關(guān)系，同時給出了損傷后的泊松比，如式(4)所示。為驗證模型的準(zhǔn)確性，其建立了一個多孔平面應(yīng)變各向同性彈性體，結(jié)果表明DE、DG顯著不同。

D=αtDt+αcDc

(3)

式中：αt、αc分別與拉應(yīng)力、壓應(yīng)力有關(guān)；Dt、Dc分別代表混凝土受拉損傷變量，受壓損傷變量。

(4)

式中：E、G為初始無損狀態(tài)的彈性模量和剪切模型；v為無損狀態(tài)的泊松比。

上述損傷模型中損傷變量均取為標(biāo)量，且假定混凝土為各向同性。JU[11]提出了應(yīng)用四階張量進行各向異性損傷本構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)如果利用一維標(biāo)量損傷變量分析三軸受力，泊松比在損傷過程中會成為定值。為克服經(jīng)典連續(xù)損傷理論存在的缺陷，唐雪松[17]采用單標(biāo)量損傷變量在細觀尺度下對各向同性損傷進行描述，提出了建立損傷本構(gòu)方程的本構(gòu)泛函展開法，該方法也可推廣至各向異性與非彈性材料的損傷問題。

2.2 彈塑性損傷本構(gòu)

諸多混凝土在反復(fù)加載時的試驗的研究表明：反復(fù)加載時的混凝土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系存在明顯的剛度退化，當(dāng)應(yīng)力卸載后仍然存在相當(dāng)一部分不可恢復(fù)的變形，而且還會逐漸地增加，彈塑性損傷本構(gòu)模型同時考慮了兩種因素。

SIMO[18]采用應(yīng)變等效和應(yīng)力等效概念。在基于應(yīng)變的各向同性損傷模型中，引入包含塑性應(yīng)變和塑性勢函數(shù)的自由能表達式，給出了不同于MAZARAS和LEMAIRTE的等效應(yīng)變，由此建立損傷準(zhǔn)則如式(5)所示。利用余能作為能量勢，將應(yīng)變張量分解為彈性和塑性部分。余能勢函數(shù)的使用，奠定了損傷理論的熱力學(xué)基礎(chǔ)。但是由于其物理意義不明確，分析變形結(jié)果偏大[19]。

(5)

RESENDE[6]提出了拉剪損傷模型，他將損傷分為剪切損傷機制和拉伸損傷機制，在混凝土受壓時運用剪切損傷機制，在混凝土受拉時運用拉伸損傷機制，如式(6)所示。在考慮了損傷演化限制條件和靜水塑性加載條件下，給出了7種損傷基準(zhǔn)理論，包括4種受壓和3種受拉本構(gòu)。但是其中的參數(shù)難以確定，并且算法不太穩(wěn)定，所用理論不能模擬以強損害方向性為主導(dǎo)的問題。另外，RESENDE首次將損傷本構(gòu)關(guān)系建立在球量空間和偏量空間，對于拉伸狀態(tài)，偏量空間忽略受剪損傷；對于壓縮狀態(tài)，偏量空間為受剪損傷。李杰、吳建營[20-21]采用這種偏量和球量空間的分解思路，建立了基于能量的彈塑性損傷本構(gòu)模型，并在混凝土力學(xué)性能的數(shù)值模擬上獲得了良好的效果。

(6)

式中：λ為損傷標(biāo)量。

FARIA[7]提出了雙標(biāo)量粘性塑性損傷本構(gòu)，他利用有效應(yīng)力概念定義Helmholtz自由能，雖然在形式上與MAZARS[9]模型相似，但是FARIA采用的是有效應(yīng)力，可由彈性應(yīng)變張量直接求得，便于數(shù)值計算，而柯西應(yīng)力張量需進行多次迭代收斂后才能進行分解。之后，F(xiàn)ARIA[22]將此損傷模型進行簡化，減少了模型中所用參數(shù)，得到了更適用于工程應(yīng)用的損傷本構(gòu)模型。升級版的塑性本構(gòu)模型中，對受拉、受壓給出了相同形式的損傷標(biāo)準(zhǔn)，表達式趨于簡化，但該損傷準(zhǔn)則不適于三軸受壓狀態(tài)。另外，該模型采用的損傷演化法則是半經(jīng)驗半理論式，塑性變形則完全采用經(jīng)驗式，適應(yīng)范圍相對比較窄。

近年來，張研[23]提出了考慮混凝土應(yīng)變率效應(yīng)的彈塑性損傷本構(gòu)模型，該模型損傷準(zhǔn)則中引入了應(yīng)變率敏感性參數(shù)，對預(yù)測大范圍應(yīng)變加載情況下的混凝土破壞強度具有積極作用；齊虎[24]研究了彈塑性損傷本構(gòu)模型參數(shù)對損傷模型發(fā)展的影響，通過擬合參數(shù)取值與混凝土單軸抗壓、抗拉強度及彈性模量之間的關(guān)系，給出了參數(shù)取值的確定方法。楊杰[25]將拉伸、壓縮損傷因子引入混凝土力學(xué)行為描述中，曹勝濤[26]主要考慮約束混凝土的三維彈塑性損傷本構(gòu)模型的建立，并進行相應(yīng)驗證。呂從聰[27]基于損傷介質(zhì)力學(xué)和不可逆熱力學(xué)框架，定義拉、壓雙標(biāo)量損傷變量，引入反向加載影響因子修正拉壓交替循環(huán)加載時材料的單邊效應(yīng)，得到了改進的彈塑性損傷本模型。

2.3 損傷模型討論

建立本構(gòu)模型時，一般做法是假設(shè)在損傷本構(gòu)與虛擬無損本構(gòu)之間存在某一等價關(guān)系，如應(yīng)變等效、應(yīng)力等效、能量等效、位移等效[27]。應(yīng)力等效是指損傷本構(gòu)和無損本構(gòu)之間的彈性應(yīng)力相等，SIMO[18]提出的各向異性損傷本構(gòu)中便采用了此等效。

應(yīng)變等效是指損傷本構(gòu)和無損本構(gòu)之間的彈性應(yīng)變相等，應(yīng)變等效沒有考慮泊松比的損傷效應(yīng)，適用于各向同性本構(gòu)。在SIMO[18]、JU[11]、MAZARS[8,15]提出的各向同性損傷本構(gòu)中，均采用了應(yīng)變等效概念，但SIMO定義的能量范數(shù)與常用的應(yīng)變張量J2范數(shù)不同。

圖1給出了結(jié)合損傷力學(xué)的材料性質(zhì)，解釋了彈性損傷模型與彈塑性損傷模型的區(qū)別所在。彈性損傷本構(gòu)基于彈性卸載考慮的，直接反應(yīng)了材料的軟化行為，公式表達較為簡單、參數(shù)容易確定，在計算大型混凝土框架結(jié)構(gòu)方面廣泛被使用。MAZARS[8,15]由損傷應(yīng)變能釋放率構(gòu)建了耗散不等式，但在損傷演化時又借助于實驗擬合結(jié)果，偏于經(jīng)驗性，LOLAND等[5,13-14]由實驗結(jié)果進行應(yīng)力-應(yīng)變曲線分析，半實驗性的損傷模型雖誤差較大，但使用較為方便；JU[11]借助熱力學(xué)概念建立了各向同性、各向異性在損傷理論下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

而彈塑性損傷本構(gòu)關(guān)系由于除彈性變形外，塑性應(yīng)變被考慮，加之損傷影響，分析結(jié)果較之彈性本構(gòu)較為復(fù)雜。RESENDE[6]將總應(yīng)變分為損傷引起的應(yīng)變、彈性應(yīng)變、塑性應(yīng)變?nèi)糠郑鲬?yīng)變完全解耦，SALARI[28]采取全耦合形式，即在彈性、塑性應(yīng)變皆考慮損傷，損傷不僅影響剛度退化，而且也影響不可恢復(fù)的變形。通過兩個耦合方程將彈塑性和損傷耦合在一起，由此確定了塑性與損傷耗散的相對大小。而SIMO[18]將總應(yīng)變張量分解為彈性和塑性應(yīng)變，并將損傷耦合在彈性應(yīng)變中，是一種半耦合的形式。FARIA[7]采用損傷加載函數(shù)控制耗散，并提供了塑性應(yīng)變的演化規(guī)律。

除了彈性、彈塑性損傷本構(gòu)，學(xué)者們對蠕變損傷本構(gòu)、隨機損傷本構(gòu)以及涉及動力的損傷本構(gòu)也多有關(guān)注。LI[29]通過試驗，將靜力損傷推廣到了動力損傷模型中去。如LEE[10]采用標(biāo)量退化因子給出的地震力下動力損傷模型，并分析了裂紋閉合和再張開效應(yīng)。李慶斌[30-31]、鄧宗才[32]通過試驗給出了單軸和多軸狀態(tài)下的靜、動力損傷模型李杰，吳建營等[20-21]通過對彈塑性損傷本構(gòu)的總結(jié)，結(jié)合混凝土材料受力行為，從概率統(tǒng)計學(xué)角度出發(fā)給出了隨機損傷動靜力本構(gòu)模型。

圖1 工程材料力學(xué)性質(zhì)Fig.1 Mechanical properties of engineering materials

3 損傷變量演化規(guī)律

將損傷變量引入到應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線中，用以表征材料的劣化，這是損傷力學(xué)研究混凝土等準(zhǔn)脆性、脆性材料的重要內(nèi)容。為了進一步探究材料劣化的發(fā)展，必須解決損傷發(fā)生依據(jù)和損傷演化規(guī)律，即損傷如何發(fā)生和怎么發(fā)展的基本問題。當(dāng)前研究損傷演化規(guī)律的方法很多，大體上有以下4種研究方法[33]：(1)是根據(jù)對損傷的認識，直接給出可能的損傷演化方程表達式；(2)是通過試驗擬合，建立損傷演化方程的表達式；(3)是從斷裂力學(xué)出發(fā)，推導(dǎo)出材料的損傷演化方程；(4)是以不可逆熱力學(xué)為基礎(chǔ)，通過熱力學(xué)勢來建立損傷演化方程。常用的由試驗法和以熱力學(xué)為基礎(chǔ)的方法。

3.1 試驗法

試驗法建立演化方程是在一定理論指導(dǎo)下，根據(jù)試驗結(jié)果假定演化方程的形式，然后由試驗結(jié)果擬合其中的參數(shù)。MAZARS[15]未將受拉、受壓損傷變量進行組合，而是給出了損傷變量演化一般規(guī)律的率形式。MAZARS[8]考慮到混凝土受拉、受壓時微裂縫產(chǎn)生和延伸表現(xiàn)的不同，將單軸受壓和單軸受拉損傷變量通過系數(shù)比分配，組合得到多軸受力下的損傷變量。由實驗結(jié)果給出等效應(yīng)變與損傷變量之間的關(guān)系，由此得到多軸受力損傷演變規(guī)律。RESENDE[6]選擇指數(shù)函數(shù)和有理函數(shù)作為損傷演化的假設(shè)公式，得到剪切損傷機制與剪切應(yīng)變不變量之間的關(guān)系，以及靜水壓力損傷機制與體積應(yīng)變之間的關(guān)系。由假設(shè)公式求得曲線的最值，并與前人實驗數(shù)據(jù)進行了對比，表明擬合效果良好。LOLAND[5]提出以及多位學(xué)者修正改善的分段式損傷演化關(guān)系，其中常數(shù)取值皆依靠試驗獲得。

3.2 不可逆熱力學(xué)法

不同于試驗的經(jīng)驗性，基于損傷能釋放率的演化規(guī)律偏于理論，較為嚴謹。通過與損傷變量功共軛的損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則，然后基于正交法則(最大損傷耗能原理)得到損傷變量的演化方程。如LI等[34]彈塑性損傷模型不同于MAZARS[8]彈性損傷模型，定義的是隱式的損傷演化規(guī)律。COMI[35]、SALARI[28]通過加載一致性條件將損傷變量和塑性應(yīng)變耦合到屈服或損傷加載函數(shù)中。SALARI基于有效塑性偏應(yīng)變給出了Drucker-Prager屈服函數(shù)，采用非關(guān)聯(lián)流動法則控制非彈性擴容；正體積變形將彈性損傷耗散基準(zhǔn)與塑性流動耦合，引起彈性剛度退化及強度軟化。FARIA[7]由Kuhn-Tucker條件給出加卸載準(zhǔn)則，結(jié)合損傷準(zhǔn)則率方程給出損傷變量演化規(guī)律。

4 結(jié)語

目前，彈性損傷本構(gòu)的研究已趨于減少，塑性本構(gòu)研究逐漸增多，但由于隨機參數(shù)選取的任意性及考慮因素的側(cè)重性，并無同一損傷本構(gòu)的形成。但是，對大型結(jié)構(gòu)計算來說，彈性損傷本構(gòu)具有一定優(yōu)勢，但因其只考慮損傷對剛度退化的影響，不計不可恢復(fù)變形狀，而彈塑性損傷本構(gòu)兩者皆考慮。損傷本構(gòu)由最初的彈性本構(gòu)發(fā)展至彈塑性本構(gòu)、粘性本構(gòu)、動力本構(gòu)等[36-38]，與工程實際的應(yīng)用是分不開的。數(shù)值模擬和驗證是損傷本構(gòu)正確與否的評價標(biāo)準(zhǔn)，也是損傷本構(gòu)實用價值的體現(xiàn)。隨著多學(xué)科交叉發(fā)展應(yīng)用，混凝土損傷本構(gòu)勢必會更加多樣，本著從簡化參數(shù)和嚴謹理論支撐的角度出發(fā)，我們勢必要探究更為合理簡潔的本構(gòu)關(guān)系。

從20世紀初開始，大家更多開始探索彈塑性本構(gòu)關(guān)系，依據(jù)試驗結(jié)果和數(shù)值模擬，將交叉學(xué)科理論運用于損傷本構(gòu)研究，如統(tǒng)計學(xué)、概率論等。在學(xué)者前輩基礎(chǔ)上對其本構(gòu)模型進行修正，使其更加符合實用性和簡便性，且能滿足實際工程需要。但是對于混凝土損傷本構(gòu)，還鮮有不依托于前人經(jīng)驗的新本構(gòu)模型的出現(xiàn)。優(yōu)化的計算方法與損傷理論的結(jié)合，勢必會對混凝土損傷本構(gòu)的發(fā)展注入嶄新的活力和力量。