湯文兵 吳志玲

[摘 要]

在數(shù)學發(fā)展的初期，離不開實驗與操作，技能在此增長，概念萌發(fā)其中，真理在這里不斷驗證，這是數(shù)學素養(yǎng)蘊育和提升的絕佳時機。

[關鍵詞]

高中數(shù)學；實驗操作；核心素養(yǎng)

數(shù)學起源于生活實踐，是因計數(shù)、測量等實際需要而產(chǎn)生的。數(shù)學又抽象于實踐，這是人類認識自然、改造自然的必然進程。在數(shù)學發(fā)展的初期，離不開實驗與操作，技能在此增長，概念萌發(fā)其中，真理在這里不斷驗證，這是一個漫長而充滿痛苦與希冀的時光，失敗和成功不是等可能事件。這更是數(shù)學素養(yǎng)蘊育和提升的絕佳時機，因實驗與操作中實在有太多的不確定因素，直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學抽象等交織其中。這不正是高中數(shù)學核心素養(yǎng)所追求的嗎？故在高中數(shù)學教學中適度進行實驗與操作，必為學生喜聞樂見，是提高學生數(shù)學核心素養(yǎng)的有效途徑。

一、以實驗為載體，通過操作深化對概念的理解

既然數(shù)學是人們在征服自然的生活實踐中逐步積累發(fā)展起來的，那么很多數(shù)學概念在人們的生活環(huán)境中必有它們的現(xiàn)實原型。我們可在課堂上通過實驗再現(xiàn)生活場景，讓學生在操作和觀察中體會概念的內涵，在思考和探究中理清問題的來龍去脈。這類問題俯拾皆是，只要有心，信手拈來。

案例1：“或”“且”“非”和“真值表”的引入。

“邏輯聯(lián)結詞”這一內容的教學，可以引入物理中的串聯(lián)、并聯(lián)實驗電路來加深對“或”“且”“非”和“真值表”的理解。

圖1是兩個實驗裝置，分別為串聯(lián)電路和并聯(lián)電路。命題p表示燈L1亮；命題q表示燈L2亮。

則“p或q”就是表示燈L1亮或者燈L2亮或者燈L1和L2都亮。

讓學生用并聯(lián)電路實驗來解釋：p或q就是表示燈L1亮（開關K1合上）或者燈L2亮（開關K2合上）或者燈L1和L2都亮（開關K1、K2同時合上）。

“p且q”就是表示燈L1和L2都亮。

讓學生用串聯(lián)電路來解釋：p且q就是表示燈L1和L2都亮（開關K1、K2同時合上）。在這個過程中還很自然地得出了“真值表”。

說實話，“邏輯聯(lián)結詞”這一內容的教學，不做實驗學生也能理解，相應的習題也能較好地解決。但如此學生僅僅是“知其然”而已，隨著時光的流逝將會慢慢的遺忘這些知識。與之相反的是通過實驗得來的知識，學生不僅“知其然”，更知其“所以然”，以后一看到“或”“且”等字眼，馬上就會聯(lián)想到并聯(lián)、串聯(lián)實驗，相應結論便一一喚醒。故通過操作得來的概念學生學得輕松并能深刻理解、牢固掌握，而且學習興趣濃探索精神強，這正是提升數(shù)學素養(yǎng)的要義所在。

二、以電腦為工具，通過動態(tài)演示化抽象為直觀

隨著社會的發(fā)展，多媒體已經(jīng)廣泛地用于教學領域，現(xiàn)代教育媒體改變了“一張嘴一支粉筆一塊黑板”的單調，能有效地縮短教學時間，激發(fā)學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，增大信息量，提高教學效率。教師可以通過多媒體非常形象直觀地講清過去很難描述的課程內容，學生可以更形象地去理解和掌握相應課本知識。

案例2：如圖2，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點P在棱CC′上，畫出直線A′P與平面ABCD的交點Q。

這種題目看起來很簡單，但對于很多立體幾何的初學者來說并不能馬上可以弄清圖中點、線、面的位置關系，很多老師對此都深有體會。部分學生初畫此圖時，由于缺乏在平面上表示立體圖形的感知與技巧，從平幾視角想當然地認為直線 A′P與DC或BC的延長線的交點即為所求點Q，從而得到錯誤答案。有的老師一開始就拿出立幾模型演示，學生一看就知道該如何處理，答案來得太容易，沒有讓學生歷經(jīng)思維上的磨煉、操作上的曲折，以后遇到類似問題照錯不誤。

實際上，我們利用幾何畫板就很容易讓學生明白，其實這兩條直線根本就不相交。由于在幾何畫板上看到的立體圖形是體現(xiàn)在平面上，故演示中學生能不斷看到不同立體圖形的平面化，學生的讀圖能力得到了一次次的錘煉，識圖能力得到了一次次的強化，畫圖能力得到了一次次的提高。本題可作如下處理：

（1）先畫一個圓，以圓心為旋轉中心，在圓上取一點通過旋轉90°得另三點，使他們構成一個正方形；

（2）利用作橢圓的方法，分別作出四個點的對應點

（3）把連線得到的四邊形向豎直方向平移適當?shù)木嚯x，就得到一個正方體。

（4）拖動帶有“轉動”字樣的點到適當?shù)奈恢?，就可看出A′P與DC的關系。

事實上只要連接AC，并延長，它與A′P的延長線相交于一點。這一點就是直線A′P與平面ABCD的交點Q（如圖7），如果此時再輔以正方體模型直觀演示，效果更佳。

這里，我們借助幾何畫板能給學生提供一種更為簡潔、明了的方式，幫助學生建立空間概念，有助于激發(fā)學生學習立體幾何的興趣。但特別要指出的是：多媒體演示只能作為教學的輔助工具，是某一個時段為突破學生的困境而為之，平時的板書和作圖還是一筆一畫板演給學生為好。這樣更易暴露問題過程，為學生理解。先進的教學設備固然好，但傳統(tǒng)的教學形式也不能丟，尤其對于理科教學，一筆一畫的推演，才能彰顯邏輯的縝密，方能提升理性的思維，更能滋潤素養(yǎng)的成長。

三、以學生為主體，在探索中獲真知

數(shù)學實驗要求學生在老師的指導下進行探索性、驗證性的操作，探索建立模型解決實際問題的方法，在失敗和成功中獲得真知。例如教科書上的定理、法則和公式是和學生天天見面的朋友，是數(shù)學家歷盡艱辛的成果體現(xiàn)，在數(shù)學教育家的精心編排下以“完美無缺”的邏輯體系展現(xiàn)在學生面前，但學生對它曲折復雜的發(fā)現(xiàn)過程卻一無所知。對此，教師可設置教學情境，讓學生運用實驗手段和方法，親歷定理的發(fā)生發(fā)展過程，使學生更深刻地理解定理的本質含義，下面以“三垂線定理”（有的教材已將之淡化為例題）的實驗探索教學為例。

案例3：“三垂線定理”的教學。

（1）提問猜想

①由線面垂直定義我們知道，平面的垂線垂直于平面內的任意條直線，那么平面的一條斜線是否也垂直于平面內的任意一條直線呢？

教師用兩根鐵絲演示：一根放在桌面上，另一根與桌面相交且不斷改變位置，學生易知平面內的任意一條直線，不一定和平面的一條斜線垂直。

②是否平面內的所有直線都不和平面的一條斜線垂直呢？

教師繼續(xù)用兩根鐵絲演示：如圖8，鐵絲m和桌面α斜交，鐵絲n平面α內，移動鐵絲n的位置，使鐵絲m、n相交，再轉動鐵絲n，并用三角板的直角去驗證（也可用量角器），此時學生發(fā)現(xiàn)確有某個位置m⊥n，即平面α內有直線與平面的斜線垂直。

③如果我們把鐵絲n在平面內平行移動，使其到不同的位置，那么，這些直線與鐵絲m垂直嗎？

學生能根據(jù)“兩條異面直線所成的角”的原理判定這些直線與m垂直。

④那么平面內一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直呢？即怎樣判定平面內的直線與平面的一條斜線垂直呢？

（2）實驗發(fā)現(xiàn)

①老師讓學生用三角板和鉛筆在桌面上擺成如圖9狀態(tài)，并使三角板的一直角邊與桌面垂直。

問：鉛筆怎樣擺才能與三角板的斜邊垂直？

②經(jīng)過學生不斷擺弄，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面α內的直角邊垂直時便與斜邊垂直。

③啟發(fā)學生將這個結果歸結為數(shù)學問題，并用簡練的文字語言表達。經(jīng)不斷點撥歸納，得到：平面內的一條直線如果和平面的斜線的射影垂直就和平面的斜線垂直。

④引導學生對實驗得出的結果是進行證明。

上述實驗過程為學生順利建構認知結構奠定了良好的直觀思維背景，同時也培養(yǎng)了學生的實踐能力和合情推理能力。教師根據(jù)教與學的實際，提出問題，創(chuàng)設情境，引導學生通過觀察、猜想、動手實驗，進而發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，再讓學生證明猜想結果，總結定理。這比直接給出定理記得牢，理解得深刻，用得活。這樣由具體到抽象地研究問題，從“實驗”到“猜想”是量的積累而覺醒，從“猜想”到“證明”是邏輯推理的深化，定理的靈活應用則是質的升華，是學習數(shù)學必備的重要素質。

四、以問題為中介，在思維“操作”中讓知識與智慧同步

國家督學成尚榮教授指出：“課堂教學改革就是要超越知識教育，從知識走向智慧，從培養(yǎng)“知識人”轉為培養(yǎng)“智慧者”。數(shù)學實驗能給學生帶來全新的感受，濃厚的興趣，高漲的學習熱情，積極主動的態(tài)度。而且在實驗研究過程中，他們需靈活運用所學知識，及時調整研究方法，歸納、整理資料，從中學會了學習，學會了研究，增長了才干，獲得的是全面發(fā)展。他們在動手實踐、自主探索、合作交流中發(fā)揮了自己的主動性，在操作中感悟數(shù)學概念，運用數(shù)學知識；同伴之間開展合作、交流，知識與智慧同步生成，這正是新課程所倡導的學習方式。

案例4：《普通高中課程標準試驗教科書》（蘇教版必修二）上的一道操作題。

用硬紙剪一個三邊均不相等的銳角三角形AOB，然后以AB邊上的高OO′為折痕，折得兩個直角三角形，使之直立于桌面α上（如圖10），那么∠AO′B就是∠AOB在桌面上的射影，轉動其中一個直角三角形，觀察∠AOB與∠AO′B的大小關系，是否存在某個位置，使得∠AOB=∠AO′B？

實驗要求學生分小組動手操作、研究、交流。

圖10 圖11

對此題有的老師視而不見，有的則一帶而過，甚至有的老師不作研究給出錯誤答案。如此處理既是對教材的不尊重，更是錯失一次開發(fā)、拓展學生思維的良機。我是讓學生作為課外作業(yè)完成，然后小組交流，得到了兩種不同結論：

（1）一部分同學認為“這個位置肯定不存在”。理由是：將∠AOB繞AB旋轉到桌面α上，如圖11，此時顯然有∠AO′B大于∠AOB。

（2）另一部分同學則認為存在這樣的位置，使得∠AOB=∠AO′B。并且這些同學進行了實驗演示（取其中一個），所做硬紙板銳角三角形AOB三邊長為AO=16.4cm，BO=17.7cm，AB=16.2cm。把兩個量角器靠在兩個角的邊上，在轉動Rt△OO′B的過程中出現(xiàn)∠AOB與∠AO′B相等（都等于9°）。

面對對立的結果，大家議論紛紛，有人認為兩組同學都是從具體的三角形入手，用特殊代替一般，結論缺少說服力。有學生提出需要用代數(shù)的方法來分析這個結論是否成立，并加以證明。教師綜合大家的意見，將這個問題轉化為判斷是否存在某個位置，使得這兩個角的余弦值相等。

為此，如圖10.設∠AO′B=α，∠AOB=β，O′A=a，O′B=b，且a≠b，OA=a1，OB=b1，AB=c。這樣cosα=[a2+b2-c22ab]，cosβ=[a12+b12-c22a1b1]，α、β∈（0，π），問題化歸為，是否存在c使得α=β，即：是否存在c使得[a2+b2-c22ab=a12+b12-c22a1b1]成立，就是關于c的方程[a2+b2-c22ab=a12+b12-c22a1b1]有解。

把上面的式子變形為[c2=a1b1（a2+b2）-ab（a12+b12）a1b1-ab]于是只要能證明等式右邊為正，即可證明這個方程一定有解。

由條件得a1>a，b1>b，分母a1b1-ab>0恒成立。

分子可分解為（aa1-bb1）（ab1-a1b）.

在圖10中，不妨設a>b，則有a1>b1，即得aa1-bb1>0.由于△AO′O與△BO′O都是直角三角形，顯然有∠O′AO、∠O′BO，從而cos∠O′AO>cos∠O′BO，即有[aa1>bb1]，故ab1-a1b>0.所以，c2>0成立.這就說明確實存在某個位置使得這兩個角相等。

熱烈的探討讓大家仍覺意猶未盡，不一會兒，又有學生從極端情形給了如下解釋：對任意的三邊均不相等的銳角三角形AOB，在轉動Rt△O′BO的過程中，觀察兩個極端位置，當∠AO′B=180°時，∠AO′B>∠AOB；當∠AO′B=0°時，∠AO′B<∠AOB。從轉動的連續(xù)性結合函數(shù)零點原理可知，必有∠AO′B=∠AOB出現(xiàn)的時刻。學生所說很有道理，他們的探索還在繼續(xù)。

本題取材于教材，抽象于生活，入口寬，上手易，結果很有迷惑性。同時這題又有相當難度，大部分學生選（1），他們認為這是一個小題，直觀上覺得是顯然的。還有一些學生是猜測有可能相等（包括給出數(shù)據(jù)），能想用代數(shù)方法去處理的很少，而且極難成功。解本題不一定要動手操作，它是一道立幾題，也可看成是三角問題，處理中要用到一些線段或角的量，然后看可以有哪些數(shù)據(jù)，需要哪些數(shù)據(jù)，可以用什么定理求解等等。這其中數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析都有相當體現(xiàn)，確實是一道非常精彩的能滲透數(shù)學核心素養(yǎng)的題目。而其中不同學生所用的不同數(shù)據(jù)，所得不同的表達方式及結果的對錯，反映了學生數(shù)學素養(yǎng)的層次。顯而易見，在這樣的“數(shù)學實驗”中，教師、學生都懷有強烈的沖動，在積極的探索中高潮迭起，在理性的分析中收益良多，潛能在此激發(fā)，素養(yǎng)在此形成！

由上可知，數(shù)學教學中的實驗操作給課堂了一股久違的清風：一是促進了學生“學”的方式的改變，在高中好多操作實踐問題其實更需的是一種心靈的“動作”、思維的“操作”。二是增加了教師“教”的模式，實驗操作讓學生親手做，親口說，主動思考，讓學生自我發(fā)現(xiàn)、展示、評價，這樣才能把學生有創(chuàng)意的想法激發(fā)出來。同時我們深知，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，不是刻意的一日之功、一年之力，是一個潤物細無聲的長期過程，是在學習中通過感知、感受、體驗、思考而自然形成的。

[參 考 文 獻]

[1]劉晟，劉恩山.學習進階：關注學生認知發(fā)展和生活經(jīng)驗[J].教育學報，2012（2）.

[2]皇甫倩，常珊珊，王后雄.美國學習進階的研究進展及啟示[J].外國中小學教育，2015（8）.

[3]湯文兵.“精心設計有效提問，引導學生深度學習”[J].中學數(shù)學研究，2015（2）.

（責任編輯：張華偉）