劉文一，李玉杰，朱良明

（1.91550部隊，遼寧大連116023；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺264001）

大型固體發(fā)動機屬于短期工作、一次性使用的不可維修產(chǎn)品，如果完全依靠全比例發(fā)動機地面試車和飛行試驗來評定它的可靠性，會帶來耗費大、周期長、試驗系統(tǒng)復(fù)雜的問題[1]。同時，在子樣數(shù)較小的情況下，不可能全面評定發(fā)動機的可靠性[2]。而通過建立發(fā)動機的可靠性金字塔模型，用L-M法進行發(fā)動機可靠性綜合，則可得到發(fā)動機整機的可靠性數(shù)據(jù)[3]。

1 金字塔模型

金字塔模型的基本思想是先獲取數(shù)量可觀的固體發(fā)動機的基礎(chǔ)零、部件可靠性數(shù)據(jù)，然后對零、部件進行較少量試驗，并將零、部件的試驗信息按一定方法折合后對零、部件可靠性做出評定。按此方法逐級向上綜合，最后可得到發(fā)動機整機的可靠性數(shù)據(jù)[4]。金字塔式可靠性綜合評定其目的是充分利用各級試驗信息，達到減少整機試驗次數(shù)的目的，其模型如圖1所示：

圖1 金字塔模型Fig.1 Pyramid model

目前，國內(nèi)外均開展了這方面的研究，發(fā)展了許多方法，例如經(jīng)典法、貝葉斯法、信賴法以及蒙特卡洛法等。由于小子樣復(fù)雜系統(tǒng)可靠性綜合方法的數(shù)學(xué)處理比較困難，成熟應(yīng)用的研究未見公開報道[5]。此外，作為系統(tǒng)可靠性綜合基礎(chǔ)的單元可靠性評定所依據(jù)的統(tǒng)計方法標(biāo)準(zhǔn)均為經(jīng)典方法，因而系統(tǒng)可靠性綜合宜采用經(jīng)典方法[6]。

2 等效數(shù)據(jù)折算

金字塔式可靠性綜合評定的核心方法是進行數(shù)據(jù)折算，即把零、部件的試驗數(shù)據(jù)折算成系統(tǒng)的等效試驗數(shù)據(jù)[7]。發(fā)動機系統(tǒng)可能包含并聯(lián)成敗型、應(yīng)力-強度型和壽命型等，但是大部分零、部件和發(fā)動機本身都有成敗數(shù)據(jù)，故應(yīng)以成敗型數(shù)據(jù)綜合為中心，但壽命型可靠性分布屬于指數(shù)型可靠性分布，因而評定發(fā)動機可靠性是必須要將并聯(lián)成敗型和指數(shù)型數(shù)據(jù)折算為等效的成敗型數(shù)據(jù)[8]。

2.1 并聯(lián)成敗型單元等效數(shù)據(jù)折算

假如發(fā)動機系統(tǒng)由k(k≥2)個獨立單元組成為并聯(lián)系統(tǒng)，已知各單元的成敗型數(shù)據(jù)為(ni,Fi)或(ni,si)，si=ni-F,i=1,2,…,k。要求得到系統(tǒng)等效的成敗型數(shù)據(jù)(n,F)[9]。

采用與串聯(lián)系統(tǒng)相同的一、二階矩相等的方法，當(dāng)已知單元的成敗型數(shù)據(jù)時，系統(tǒng)可靠度的點估計為[10]：

點估計方差為：

由此導(dǎo)出的折合公式為：

2.2 指數(shù)型單元等效數(shù)據(jù)折算

固體發(fā)動機可靠性評定一般考慮多個指數(shù)型單元串聯(lián)的情況，將等效的成敗型數(shù)據(jù)記為(n,F)，仍按一、二階矩相等的辦法來導(dǎo)出折算公式[11]。

令二項分布的方差等于指數(shù)型單元串聯(lián)系統(tǒng)的方差[12]：

求解得到：

代入系統(tǒng)可靠度點估計R^的公式，則得到折算公式為：

式（5）、（6）中：k為串聯(lián)系統(tǒng)單元數(shù)，k≥2；ri為串聯(lián)單元i的累積故障數(shù)，i=1,2,…,k；Ei為串聯(lián)單元i的等效任務(wù)數(shù)[13]。

3 L-M法可靠性綜合

固體發(fā)動機是一次性使用成敗系統(tǒng)，它的可靠性構(gòu)成屬于串聯(lián)模型，L-M（Levenberg-Marquardt）法是工程上廣泛應(yīng)用的串聯(lián)系統(tǒng)可靠性分析方法[14]。

使用L-M法對發(fā)動機進行可靠性綜合，先要得出整機的等效試驗數(shù)、等效失效數(shù)，再加上實際飛行的成功數(shù)和失效數(shù)，再利用二項分布求出整機的可靠性置信下限[15]。

假設(shè)系統(tǒng)由m個不同的成敗型單元串聯(lián)而成，第i個單元進行了ni次試驗，在ni次試驗中共成功si次，失敗fi次，即可靠性試驗數(shù)據(jù)(ni,fi)，i=1,2,…,m。根據(jù)L-M法，整機的等效試驗次數(shù)為[16]：

整機成功次數(shù)為：

整機等效失敗次數(shù)為：

則整機可靠度函數(shù)R的最大似然估計為：

在置信度為γ時，則整機的可靠性置信下限可由下式得到：

4 固體發(fā)動機可靠性綜合

某大型固體發(fā)動機是由多個單元串聯(lián)而成，其工作可靠性模型屬于串聯(lián)模型，如圖2所示。其中，燃燒室殼體、推進劑和絕熱層屬于成敗型單元，點火安全機構(gòu)屬于并聯(lián)成敗型單元，噴管屬于壽命性單元。

圖2 固體發(fā)動機可靠性模型Fig.2 Reliability model of SRM

4.1 成敗型部件可靠性

假設(shè)成敗型部件可靠度為R，不可靠度為1-R，而某一次試驗結(jié)果是隨機的，用xi表示，其取值為：

單元經(jīng)過n次試驗，得到樣本(x1,x2,…,xn)，失敗數(shù)為，均為隨機變量。出現(xiàn)(x1,x2,…,xn)的概率由二項分布給出：

根據(jù)極大似然估計法，須求出L(R)的極大點：

由于lnL(R)是L(R)的單調(diào)函數(shù)，兩者具有相同的極值點，為便于計算，改為求解：

由式（12）得：

令：

解得R的極大似然估計值為：

可以看到其計算簡單且直觀，但它并不是總是無偏的。特別是當(dāng)試驗結(jié)果無失效時，此方法不適用。此時，只能擴大樣本容量以避免發(fā)生無效的情況[17]。

點估計大約有一半可能大于真值，也有一半可能小于真值，因而不能回答估計的精確性和把握性。為此，可根據(jù)試驗結(jié)果尋求一個隨機區(qū)間[R1,R2]，使下式成立：

區(qū)間[R1,R2]為置信區(qū)間，反映了估計的精確性；而γ稱為置信度，反映了估計的把握性，這種方法就是區(qū)間估計。

4.2 壽命型部件可靠性

發(fā)動機噴管屬于壽命型部件，其可靠性分布服從威布爾分布。其概率密度為：

k為形狀參數(shù)且k＞0，λ＞0為比例參數(shù)且λ＞0，t為工作時間。無故障數(shù)據(jù)時，當(dāng)形狀參數(shù)m分別為已知和未知時，有2種評估方法。實際應(yīng)用時，采用哪一種方法更加符合實際，這是個重要問題[18]。

噴管的工作可靠性屬于威布爾分布，一般取k=1，其概率函數(shù)屬于指數(shù)分布，可將指數(shù)型單元等效數(shù)據(jù)進行折算來計算其可靠性。

假設(shè)發(fā)動機有k個獨立的指數(shù)型單元，且可靠性模型為串聯(lián)模型，要求發(fā)動機工作時間為t，設(shè)第j個單元可靠度為：

則整機可靠度為：

指數(shù)型單元可靠性試驗方法如下[19]：

1）當(dāng)指數(shù)型單元進行定數(shù)截尾試驗時，第j個單元各自有nj個樣品試驗，可靠性試驗進行到rj個樣品失效時終止，記tj,1≤tj,2≤…≤tj,rj為試驗時第rj個失效時間，則第j個單元的nj個樣品總試驗時間為：

2）當(dāng)指數(shù)型單元進行定總試驗時間截尾試驗時，第j個單元的總試驗時間為τi，在該時間內(nèi)的失效數(shù)為rj，j=1,2,…,k。

根據(jù)可靠性數(shù)據(jù)分析方法，將指數(shù)型模型的單元產(chǎn)品試驗數(shù)據(jù)通過下列方法折合成二項成敗數(shù)據(jù)(N,F)[20]。

1）當(dāng)rj（定數(shù)截尾試驗為設(shè)定失效數(shù)，總試驗時間截尾試驗為試驗時間內(nèi)的失效數(shù)）不全為0時：

2）當(dāng)rj=0時：

式（19）中，ηj為第j個單元的等效任務(wù)數(shù)，ηj=τi/t0。

5 某固體發(fā)動機可靠性評定

5.1 求可靠度置信下限

某型固體發(fā)動機試驗信息見表1。表1中，共9個噴管進行了定數(shù)截尾試驗，試驗至第2個噴管失效為止，定數(shù)截尾試驗為設(shè)定失效數(shù)Tc1=31 s，Tc2=40 s。

求當(dāng)置信度γ=0.70時，該固體發(fā)動機的可靠度置信下限。

噴管的可靠性分布屬于壽命型，因而利用本文2.1節(jié)中的折算方法和式（18）將噴管的試驗數(shù)據(jù)分別轉(zhuǎn)換為成敗型數(shù)據(jù)（39.3，2）。

當(dāng)γ=0.70時，應(yīng)用式（7）和（8）得到該發(fā)動機的等效試驗次數(shù)為20，等效成功次數(shù)為：

經(jīng)過L-M法計算后的該發(fā)動機試驗次數(shù)N=20+5=25，成功數(shù)S=12.65+5=17.65，失敗數(shù)f=N-s=25-12.65=12.35，當(dāng)γ=0.70，由式（11）計算得到（28，25.01）置信下限RL=0.993 1。

表1 某固體發(fā)動機試驗信息Tab.1 Test information of SRM

5.2 可靠性評定

該發(fā)動機進行了單元可靠性試驗和整機可靠性試驗，整機可靠性評定中最重要的是發(fā)射可靠性和飛行可靠性評定。因此，評定發(fā)動機的發(fā)射可靠性和飛行可靠性即視為評定發(fā)動機可靠性。

1）發(fā)射可靠性是指從接到發(fā)射命令起，在規(guī)定的發(fā)射條件和發(fā)射準(zhǔn)備時間內(nèi)，按規(guī)定的程序及要求發(fā)動機具備點火條件的概率。

從圖2看出，飛行器發(fā)射時在規(guī)定的發(fā)射準(zhǔn)備時間內(nèi)，要求除安全機構(gòu)外，發(fā)動機其他單元均不工作。

2臺點火安全機構(gòu)屬于并聯(lián)成敗型單元，其單元試驗可靠性、整機地面試驗可靠性和飛行試驗可靠性均滿足技術(shù)指標(biāo)要求。因此，該發(fā)動機的發(fā)射可靠性滿足技術(shù)指標(biāo)要求。

2）飛行可靠性是發(fā)動機在規(guī)定的飛行條件下按預(yù)定的程序使飛行器正常飛行，使飛行器按規(guī)定要求完成其飛行任務(wù)的概率。

從圖2看出，在發(fā)動機工作時，要求燃燒室殼體、推進劑和絕熱層、點火安全機構(gòu)均成功完成任務(wù)，對于噴管則要求其正常工作至規(guī)定時間。

發(fā)動機整機屬于一次性工作的成敗性系統(tǒng)，因而按成敗型可靠性評定方法評定其飛行可靠性。將可靠性分布服從威布爾分布的噴管折算成成敗型數(shù)據(jù)后，在給定的置信度條件下，利用L-M法計算出該發(fā)動機可靠性試驗的成功數(shù)、失敗數(shù)和置信度下限值，得出其可靠性滿足技術(shù)指標(biāo)要求的結(jié)果。

6 結(jié)論

為了解決小子樣母本情況下大型固體發(fā)動機可靠性評估困難的問題，本文研究利用組成發(fā)動機單元可靠性試驗信息，構(gòu)建固體發(fā)動機金字塔模型，通過等效數(shù)據(jù)折算，將可靠性分布不同的單元可靠性試驗數(shù)據(jù)折算成與發(fā)動機整機一致的成敗型數(shù)據(jù)。最后，采用L-M法，將單元可靠性試驗數(shù)據(jù)、整機地面試車數(shù)據(jù)和飛行試驗數(shù)據(jù)進行綜合，有效評估了固體發(fā)動機整機可靠性，得出以下結(jié)論：

1）可利用固體發(fā)動機組件的試驗信息建立金字塔模型構(gòu)建其整機的可靠性模型；

2）對于不同可靠性數(shù)據(jù)分布的發(fā)動機組件，可利用本文給出的方法，將其折算成與發(fā)動機本身一致的成敗型數(shù)據(jù)，使得計算發(fā)動機整機的可靠性非常方便；

3）利用L-M法，可將串聯(lián)模型的固體發(fā)動機進行可靠性綜合，得到其可靠性數(shù)據(jù)，為評定小子樣串聯(lián)型復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性提供了便捷的方法。