■河南省洛陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué) 宋甜甜

含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，也是高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)之一，怎樣處理這類問(wèn)題呢?通過(guò)轉(zhuǎn)化可使恒成立問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，下面就含參數(shù)不等式恒成立問(wèn)題的解題策略舉例說(shuō)明，僅供參考。

一、分離參數(shù)法

將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含有參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得出參數(shù)的范圍。

例1已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+1，若對(duì)任意的x∈[0，+∞)，都有f(x)≥0恒成立，求b的取值范圍。

解析：因?yàn)閤3-x2+bx+1≥0，所以b≥x-x2-x1。 令g(x)=x-x2-， 則。當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'(x)＞0;當(dāng)x＞1時(shí)，g'(x)＜0。

故g(x)max=g(1)=-1，b≥-1。

點(diǎn)評(píng)：1.變量與參數(shù)的確定：本題中x的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，將另一個(gè)字母b視為參數(shù)。

2.分離參數(shù)法遵循兩點(diǎn)原則：(1)已知不等式中兩個(gè)字母容易分離；(2)分參離數(shù)后，已知變量的函數(shù)解析式容易求出最值(或臨界值)。

3.一般地，若f(x)＞a恒成立，只需f(x)min＞a即可；若f(x)＜a恒成立，只需f(x)max＜a即可。

練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-2ax+a2，若對(duì)任意的x∈(2，+∞)，都有f(x)＞a2恒成立，求a的取值范圍。

解析：因?yàn)閤3+ax2-2ax+a2＞a2，且x＞2，所以。令g(x)=當(dāng)2＜x＜4時(shí)，g'(x)＞0;當(dāng)x＞4時(shí)，g'(x)＜0。

故g(x)max=g(4)=-8，b≥-8。

練習(xí)2:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+9x+a2，若對(duì)任意的x∈(0，+∞)，都有6xlnx+f'(x)≥0恒成立，求a的取值范圍。

解析：因?yàn)?xlnx+3x2+2ax+9≥0，且x＞0，所以2a≥-6lnx-3x-。

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'(x)＞0;

當(dāng)x＞1時(shí)，g'(x)＜0。

故g(x)max=g(1)=-12，a≥-6。

二、函數(shù)最值法

將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值，然后構(gòu)建不等式求解。

例2已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2，當(dāng)a=0，b=-3時(shí)，證明:任意的x∈R，都有f(x)+2≥恒成立。

證明：當(dāng)a=0，b=-3時(shí)，令g(x)=x3

min

故當(dāng)x＞1時(shí)，g'(x)＞0;當(dāng)x＜1時(shí)，g'(x)＜0。

g(x)min=g(1)=0，x3-3x+2-≥0恒成立。

點(diǎn)評(píng)：辨析“f(x)≥g(x)”型與“f(x1)≥g(x2)”型的差異：

1.對(duì)?x∈I，不等式f(x)≥g(x)恒成立，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[f(x)-g(x)]min≥0。

2.對(duì)?x1，x2∈I，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)min≥g(x)max。

練習(xí)3：已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+a2，若任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1＜x2，都有f(x1)-f(x2)＜a(x1-x2)成立，求a的取值范圍。

解析：因?yàn)閒(x1)-f(x2)＜a(x1-x2)，所以f(x1)-ax1＜f(x2)-ax2。

令g(x)=f(x)-ax=x3+ax2-ax+a2，則g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，g'(x)=3x2+2ax-a≥0對(duì)x∈(0，+∞)恒成立。

令h(x)=3x2+2ax-a。

三、分類討論，放縮取點(diǎn)法

例3已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+1，若?x∈(-∞，0)，f(x)≤ex恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

解析：ex-x3+x2-bx-1≥0，對(duì)?x∈(-∞，0)恒成立。

令g(x)=ex-x3+x2-bx-1，則g'(x)=ex-3x2+2x-b，g'(0)=1-b。

因?yàn)間″(x)=ex-6x+2＞0，所以g'(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增。當(dāng)1-b≤0，即b≥1時(shí)，g'(0)≤0，g'(x)＜0，g(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，g(x)＞g(0)=0。

當(dāng)1-b＞0，即b＜1時(shí)，g'(0)＞0，則?x0＜0，使得g(x)在(x0，0)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(x0，0)時(shí)，g(x)＜g(0)=0，不滿足題意。

綜上，b≥1。

練習(xí)4:(2010年新課標(biāo)理數(shù))設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：由題意知f(x)=ex-1-x-ax2且f(0)=0，則?x∈[0，+∞)，f(x)≥f(0)恒成立。

由f'(x)=ex-1-2ax，得f″(x)=ex-2a。易知f″(x)=ex-2a在[0，+∞)上單調(diào)遞增，f″(x)≥f″(0)，即f″(x)≥1-2a。

故當(dāng)x∈(0，ln2a)時(shí)，f″(x)＜0，f'(x)在(0，ln2a)上單調(diào)遞減，f'(x)＜f'(0)，即f'(x)＜0，f(x)在(0，ln2a)上遞減，f(0)不是f(x)的最小值，不符合題意。

小結(jié)：求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的條件或目標(biāo)，構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題在新函數(shù)下轉(zhuǎn)化，并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)法解題是一種創(chuàng)造性思維過(guò)程，具有較大的靈活性和技巧性，在運(yùn)用過(guò)程中，應(yīng)有目的、有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)造，始終“盯住”要解決的目標(biāo)。