陸 林，李海陽，劉將輝

(國防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院，長沙410073)

1 引言

月痕是指人類活動在月面形成的痕跡，如航天員的腳印、月球車的車輪印記等。由于月球沒有大氣，月面活動產(chǎn)生的痕跡能夠長期保留而不消逝。雖然月球表面區(qū)域很大，但一旦留痕就很難消除，從它的這種特性來說，留痕的空間即月痕也是一種有限資源，可以作為民眾個性表達(dá)、紀(jì)念、盟誓乃至投資及宣傳的載體，是一種有望在近期獲得開發(fā)回報的資源[1]。

月痕壽命的長短在一定程度上影響月痕資源的開發(fā)價值，而影響月痕壽命的因素主要分為自然因素和人為因素兩方面，本文分別從這兩方面因素出發(fā)，分析它們對月痕的影響，估算月痕的壽命，為月痕資源開發(fā)提供理論支撐。

2 自然因素對月痕的影響

對月痕產(chǎn)生影響的自然因素主要包括微小流星體的撞擊和靜電浮揚(yáng)月塵的沉積。下面分別分析它們對月痕壽命的影響。

2.1 微小流星體的撞擊

微小流星體通常是指小于1 g的流星體，平均密度為0.5 g/cm3；在沒有大氣保護(hù)的情況下，即便是很小的流星體，撞擊月球的速度也在2.4～7.2 km/s之間[2]。微小流星體的撞擊對月痕的影響主要有兩方面，一方面是撞擊月面以及二次濺射物導(dǎo)致的月塵沉積對月痕的影響，另一方面是在月面形成的撞擊坑對月痕的破壞。

2.1.1 微小流星體撞擊以及二次濺射物導(dǎo)致的月塵沉積

月面受到微小流星體撞擊的通量如式(1)所示[2]：

式中，Nt是在月面每平方米區(qū)域內(nèi)，平均每秒受到質(zhì)量大于或等于m的微小流星體的撞擊次數(shù)。m是微小流星體的質(zhì)量，單位為克。由式(1)求得在月面平均每平方米區(qū)域內(nèi)，每年累計受到微小流星體撞擊的次數(shù)與微小流星體質(zhì)量的關(guān)系如圖1所示。

圖1 微小流星體撞擊次數(shù)與質(zhì)量的關(guān)系Fig.1 Correlation of micrometeoroid flux and weight

微小流星體的撞擊導(dǎo)致月面產(chǎn)生二次濺射物，其平均密度是 2.5 g/cm3，平均速度是0.1 km/s。月面二次濺射物的通量如式(2)[2]：

式中，Nej是在月面每平方米區(qū)域內(nèi)，平均每秒受到質(zhì)量大于或等于m的二次濺射物的撞擊數(shù)量。由式(2)可得在月面平均每平方米區(qū)域內(nèi)，每年累計受到二次濺射物撞擊的數(shù)量與微小流星體的質(zhì)量關(guān)系如圖2所示。

圖2 二次濺射物數(shù)量與微小流星體質(zhì)量的關(guān)系Fig.2 Correlation of secondary ejecta flux and weight

由于微小流星體的通量Nt對應(yīng)的微小流星體質(zhì)量是大于或等于m的，所以在微小流星體撞擊的影響下，月面每平方米區(qū)域內(nèi)平均每秒沉積的月塵總質(zhì)量不超過Mt如式(3)所示：

同理，在二次濺射物的影響下，月面每平方米區(qū)域內(nèi)平均每秒沉積的月塵總質(zhì)量不超過Mej如式(4)所示：

2.1.2 微小流星體撞擊形成的月面撞擊坑

月球表面的撞擊坑直徑從幾微米到幾十千米不等，統(tǒng)計結(jié)果顯示，撞擊坑的直徑越大，分布的越稀疏。撞擊坑的形狀主要有以下特征：直徑小于10 km的撞擊坑大致成碗形，直徑大于10 km的撞擊坑底部為平表面，形狀為盆形[3]。由于直徑大于10 km的撞擊坑的數(shù)量非常少，所以假設(shè)撞擊坑形狀均為碗形，在月面上的截面均為規(guī)則的圓形。

由文獻(xiàn)[4]可知，微小流星體的質(zhì)量可以表示為式(5)：

式中，Me是速度為U的微小流星體撞擊月球時產(chǎn)生噴射物的質(zhì)量，ρp為微小流星體的密度，ρt為月壤的密度。深度為P，直徑為D的撞擊坑的體積為式(6)[5]：

已知微小流星體的平均密度為0.5 g/cm3，平均撞擊速度為20 km/s，月壤的平均密度為3 g/cm3，撞擊坑的深度與直徑的比值為1∶5，結(jié)合式(5)、(6)可得到微小流星體質(zhì)量與撞擊坑直徑的關(guān)系如式(7)：

假設(shè)每個撞擊坑只由一個微小流星體撞擊形成，結(jié)合式(1)，可得月面撞擊坑數(shù)目與撞擊坑直徑的關(guān)系如式(8)：

由此能夠得到在月面每平方米區(qū)域內(nèi)，平均每年累計形成的撞擊坑數(shù)目與撞擊坑直徑的關(guān)系如圖3。

圖3 月面撞擊坑數(shù)目與直徑D的關(guān)系Fig.3 Correlation of the number and diameter of craters on lunar surface

假設(shè)每個撞擊坑對月痕的破壞面積為撞擊坑在月面形成的圓形截面面積，則在月面每平方米的區(qū)域內(nèi)，直徑大于或等于D的撞擊坑平均每秒能夠?qū)υ潞墼斐善茐牡拿娣e至少是SD，如式(9)所示：

因為撞擊坑數(shù)目Nt對應(yīng)的撞擊坑直徑是大于或等于D的，所以在月面每平方米的區(qū)域內(nèi)，平均每秒因撞擊坑而遭受破壞的總面積最大為S，如式(10)所示：

2.2 靜電浮揚(yáng)月塵的沉積

月塵的靜電浮揚(yáng)現(xiàn)象主要是由太陽風(fēng)和太陽輻射引起的[6]。如圖4所示，月表月塵的帶電機(jī)制主要有太陽輻射引起的光電效應(yīng)、太陽風(fēng)中的電子流和離子流作用，細(xì)小的帶電月塵在月表電場的作用下發(fā)生靜電浮揚(yáng)[6]。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，月塵靜電浮揚(yáng)現(xiàn)象與月塵粒徑和太陽高度角有關(guān)[7]。月塵粒徑越小，越容易發(fā)生靜電浮揚(yáng)現(xiàn)象，亞微米級的月塵能達(dá)到月球表面100 km以上的高度，粒徑大于1 μm的月塵平均運(yùn)動高度在10 m以下，大于100 μm的月塵很難發(fā)生靜電浮揚(yáng)；太陽高度角越小，越容易發(fā)生靜電浮揚(yáng)現(xiàn)象，月球表面晨昏線處靜電浮揚(yáng)現(xiàn)象最劇烈，形成一條從月球北極延伸至南極的狹長薄膜狀的月塵風(fēng)暴，并隨著月表晨昏線的移動而移動[8-9]。

圖4 月塵靜電浮揚(yáng)機(jī)制Fig.4 Mechanisms of electrostatic floating of lunar dust

根據(jù)靜電浮揚(yáng)月塵運(yùn)動狀態(tài)的不同，可以將其分為靜態(tài)懸浮月塵和動態(tài)浮揚(yáng)月塵[10]，如圖5所示。在這兩類靜電浮揚(yáng)月塵中，靜態(tài)懸浮月塵主要是懸浮在距月面10 cm范圍內(nèi)的局部電場中的微米級月塵顆粒，動態(tài)浮揚(yáng)月塵主要是浮揚(yáng)高度可達(dá)幾千米以上的亞微米級的月塵顆粒。因為月球表面晨昏線處月塵靜電浮揚(yáng)現(xiàn)象最劇烈，大量月塵從黑暗半球浮揚(yáng)、到明亮半球沉積[10]，所以假設(shè)月表晨昏線處的靜電浮揚(yáng)月塵均為動態(tài)浮揚(yáng)月塵，其沉積對月痕的壽命產(chǎn)生主要影響，而其它區(qū)域的靜電浮揚(yáng)月塵均為靜態(tài)懸浮月塵，對月痕的影響可忽略不計。

如圖5(b)所示，根據(jù)月塵的動態(tài)噴泉模型[11]，月塵顆粒一旦獲得足夠的電荷，直至克服重力Fg和粘性力Fc，即Fq＞Fg+Fc時，將離開月球表面，在高度為λD的鞘層區(qū)域內(nèi)加速上升，其中λD為月表離子的德拜長度。因為月塵顆粒小、質(zhì)量輕，在到達(dá)λD的高度前，重力相對于初始的靜電加速作用可忽略不計。月塵顆粒以一個向上的速度Vexit離開鞘層區(qū)域，在月面重力作用下以近似彈道的軌跡落回月球表面。

圖5 靜電浮揚(yáng)月塵的靜態(tài)懸浮和動態(tài)“噴泉”模型Fig.5 Static levitation and dynamic fountain model of lunar dust

月塵顆粒在鞘層區(qū)域內(nèi)的加速度為式(11)：

式中，aq是靜電加速度，gL＝1.62 m/s2為月球表面重力加速度。假設(shè)aq只在月球表面鞘層區(qū)域內(nèi)作用，大小為式(12)：

式中，φs是月球表面電勢，ε0是真空介電常數(shù)8.85×10-12F/m，ρ是月塵顆粒的密度，單位為kg/m3，rd為月塵顆粒的半徑。月球表面帶電離子的德拜波長[7]為式(13)：

式中，npe0是月球表面的光電子密度，kB是玻爾茲曼常數(shù)1.38×10-23，Tpe是太陽輻射的溫度，qe是基本電荷量。月塵顆粒離開鞘層區(qū)域時的速度Vexit為式(14)：

式中，Zmax是月塵顆粒能夠到達(dá)的距月面最高的高度[11]，大小為式(15)：

其中，式(15)成立的條件是aq＞gL。 月塵顆粒到達(dá)Zmax的高度時所需時間為式(16)：

式中，tsh是月塵顆粒通過鞘層區(qū)域的時間，tbal是月塵顆粒離開鞘層后以彈道軌跡上升到最高處的時間。因為動態(tài)浮揚(yáng)月塵的浮揚(yáng)條件是aq＞gL，則能夠發(fā)生動態(tài)浮揚(yáng)的月塵顆粒的最大半徑為式(17)：

顆粒半徑小于或等于rmax的月塵在電場的作用下將會發(fā)生動態(tài)浮揚(yáng)，大于rmax的月塵將會保持靜態(tài)懸浮或者停留在月球表面。

已知月表晨昏線處電子流的溫度為1.1×105K，電子流密度為7 e/cm3[10]，由式(13)可得月表晨昏線處帶電離子的德拜波長為8.66 m。月表晨昏線處電勢為-36 V，則發(fā)生動態(tài)浮揚(yáng)的月塵顆粒的最大半徑為0.9 μm。動態(tài)浮揚(yáng)月塵顆粒上升的最大高度Zmax、所需時間tmax與月塵顆粒半徑rd的關(guān)系分別如圖6、圖7所示。

圖6 浮揚(yáng)最大高度與月塵顆粒半徑關(guān)系Fig.6 Correlation of the maximum height reached and dust grain radius

圖7 到達(dá)最大高度所需時間與月塵顆粒半徑的關(guān)系Fig.7 Correlation of the time taken to reach Zmaxand dust grain radius

在粒徑小于20 μm的月塵顆粒中，有90%的顆粒粒徑小于2 μm，中值粒徑在 0.1～0.4 μm 之間[12]，而發(fā)生動態(tài)浮揚(yáng)的月塵粒徑均小于0.9 μm，故假設(shè)動態(tài)浮揚(yáng)月塵粒徑均為0.25 μm。進(jìn)而得到動態(tài)浮揚(yáng)月塵的最大浮揚(yáng)高度Zmax為113.28 m，所需時間tmax為12.3056 s。

由McCoy的“0”模型[13]可知，月表晨昏線處單位面積區(qū)域上垂直方向的月塵柱密度為10-9g/cm3。因為動態(tài)浮揚(yáng)月塵上升到最大高度的時間tmax為12.3056 s，所以在每平方厘米的區(qū)域內(nèi)，平均每秒發(fā)生動態(tài)浮揚(yáng)的月塵的質(zhì)量為8.1264×10-11g。 由于月球晝夜交替周期為四周，月表晨昏線移動速度為4.3 m/s，假設(shè)月表晨昏線在移動時，所掠過區(qū)域內(nèi)揚(yáng)起的月塵，在晨昏線經(jīng)過后，全部沉積到月面上，那么在月面每平方米的區(qū)域內(nèi)，平均每年沉積的動態(tài)浮揚(yáng)月塵質(zhì)量約為1.1377×10-5g。

3 人為因素對月痕的破壞

影響月痕的人為因素主要有以下四種：①航天員的行走。航天員穿著較大的保護(hù)靴在月面行走時，由于月球低重力、高真空的環(huán)境，月塵很容易被踢起，因此航天員行走時不僅留下的腳印可能會破壞原有的月痕，而且被踢起的月塵在沉積后也會對月痕產(chǎn)生影響。據(jù)有關(guān)資料[14]顯示，因航天員行走導(dǎo)致月塵顆粒揚(yáng)起的最大高度和速度分別是4 m、3.6 m/s。②采樣、鉆孔、施工等活動。航天員在月面上進(jìn)行此類活動時，不可避免的會破壞月面原有痕跡。③月球車的漫游。月球車在月面上以3.56 m/s勻速行進(jìn)時卷起的月塵可達(dá)20 m遠(yuǎn)[15]，在月面上留下的車輪印記和卷起的月塵均會對月痕產(chǎn)生不同程度的影響。④飛行器的著陸與起飛。飛行器在著陸或起飛時，發(fā)動機(jī)噴射出的燃?xì)庥鹆鲗⑴c月塵發(fā)生相互作用，激起大量月塵，月塵顆粒以較低的初射角度向外噴射，形成向四周擴(kuò)散的月塵云，這些月塵在離著陸點不同的距離沉積后也會對月痕產(chǎn)生不同程度的影響。

在這四種因素中，飛行器的著陸與起飛激起的月塵最多[16]，月塵擴(kuò)散的區(qū)域最大，對月痕的破壞也最嚴(yán)重，因此主要從飛行器的著陸與起飛這一因素出發(fā)，分析其對月痕壽命的影響。

Katzan等[16]根據(jù)Surveyor III和Apollo 12的著陸情況，采用正態(tài)分布函數(shù)統(tǒng)計方法逼近實際的數(shù)據(jù)，確定其中的參數(shù)，再基于待解決的問題的實際觀測結(jié)果，對相應(yīng)變量進(jìn)行修正，大致估算出月塵顆粒的分布，分析了推力為13400 N的月球探測器在月球表面著陸時發(fā)動機(jī)羽流對附近月塵的作用，計算了距離著陸點不同位置的月塵顆粒數(shù)分布。

根據(jù)該方法，設(shè)噴射角度為θ，由于月塵顆粒運(yùn)動軌跡幾乎是水平的，因此θ取0～1°。 當(dāng)給定θ時，揚(yáng)起月塵顆粒總數(shù)與離著陸點距離的關(guān)系如式(18)：

4 沙痕試驗

上文對影響月痕的自然因素和人為因素進(jìn)行了具體分析，得到了不同因素對月痕的影響結(jié)果，但對月痕壽命進(jìn)行估算還需要確定月痕被完全覆蓋時所需月塵的厚度。因此，設(shè)計并開展如下沙痕試驗。

4.1 試驗過程

通過進(jìn)行沙痕試驗，測量一定深度的沙面痕跡被完全覆蓋時所需細(xì)沙的厚度，進(jìn)而估計一定深度的月痕被完全覆蓋時所需月塵的厚度，為月痕壽命的估算提供事實依據(jù)。

首先，在氣流平穩(wěn)的天氣下，選擇一個平坦的沙面區(qū)域，如圖8(a)所示。然后在平坦的沙面上刻劃出深度為2 cm的“月”字痕跡，如圖8(b)所示。

接著用篩子將細(xì)沙均勻地篩落在沙面區(qū)域上，以此來模擬沉積的月塵對月痕的覆蓋過程，隨著細(xì)沙的不斷沉積，沙痕的清晰度也在不斷地下降，如圖9所示。

經(jīng)過一段時間后，沙痕已經(jīng)變得十分模糊。為了更加準(zhǔn)確地確定沙痕是否到達(dá)無法辨認(rèn)的程度，在試驗過程中請了十個人對沙痕的清晰程度作出判斷，最終選擇了以下三種狀態(tài)的沙痕作為沙痕無法辨認(rèn)的樣本，如圖10所示。

圖8 試驗的初始情況Fig.8 Beginning of experiment

圖9 不斷模糊的沙痕Fig.9 Constantly vague sand trace

圖10 沙痕無法辨認(rèn)時的樣本Fig.10 Unidentifiable sand trace samples

將沙痕的辨認(rèn)難度分為完全可辨認(rèn)、易辨認(rèn)、難辨認(rèn)、很難辨認(rèn)、無法辨認(rèn)5個等級，分別計為1、2、3、4、5 分，10 個人分別對以上 3 個樣本的辨認(rèn)難度作出了各自的判斷并進(jìn)行打分，打分結(jié)果如表1所示。

由表1可知，十名試驗人員對3個樣本的平均打分分別為3.9分、4.5分、5分。樣本3的平均打分為5分，因此可以認(rèn)為樣本3的沙痕為最終無法辨認(rèn)的狀態(tài)，即沙痕被完全覆蓋。

4.2 結(jié)果分析

在確定沙痕無法辨認(rèn)的狀態(tài)后，測得此時覆蓋沙痕的細(xì)沙厚度為3.8 cm，即深度2 cm的沙痕被完全覆蓋時至少需要3.8 cm厚的細(xì)沙。因為月壤的平均孔隙比大于地球上細(xì)沙的孔隙比[17]，由此可推算深度為2 cm的月痕被完全覆蓋時需要的月塵厚度一定大于3.8 cm。

表1 沙痕樣本的辨認(rèn)難度打分結(jié)果Table 1 Results of grades on recognizable degree of sand trace samples

5 月痕壽命估算

本節(jié)基于不同因素對月痕壽命的影響的分析，結(jié)合沙痕試驗的結(jié)果，分別估算月痕在不同因素影響下的壽命。假設(shè)在月球表面平坦區(qū)域存在一個30 cm×20 cm×2 cm的月痕，由沙痕試驗的結(jié)論可知，完全覆蓋此月痕至少需要30 cm×20 cm×3.8 cm的月塵。月塵顆粒的密度范圍為2.3～3.1 g/cm3[18]，假設(shè)月塵顆粒密度均為2.7 g/cm3，則該月痕被完全覆蓋至少需要6156 g的月塵。

首先，估算月痕在微小流星體撞擊及二次濺射物的影響下的壽命。由式(3)、(4)計算可得，在月面每平方米區(qū)域內(nèi)，平均每年沉積的月塵總質(zhì)量分別不超過1.5316×10-6g、0.1285 g。在這種情況下，平均每年覆蓋到該月痕上的月塵總質(zhì)量最多為0.007 1009 g，沉積的月塵厚度隨時間的變化如圖11所示。當(dāng)月塵厚度超過3.8 cm時，月痕被完全覆蓋，則完全覆蓋此月痕至少需要866 932年的時間，即在微小流星體撞擊及二次濺射物的影響下，該月痕的壽命大于866 932年。

其次，估算月痕在撞擊坑破壞下的壽命。由式(10)計算可知，在月面每平方米的區(qū)域內(nèi)，平均每年因撞擊坑破壞的總面積不超過1.185×10-6m2，那么月痕被破壞的概率與時間的關(guān)系如圖12所示。

圖11 沉積的月塵厚度與時間的關(guān)系Fig.11 Correlation of thickness of dust deposition and time

假設(shè)月痕被破壞的概率超過0.5，便視作此月痕被完全破壞，則月痕被完全破壞需要超過421 941年的時間，即在撞擊坑的破壞下，該月痕的壽命大于421 941年。

再次，估算月痕在靜電浮揚(yáng)月塵沉積的影響下的壽命。假設(shè)月表晨昏線在經(jīng)過此月痕時，一秒鐘所掠過的4.3 m×4.3 m區(qū)域內(nèi)揚(yáng)起的月塵，在晨昏線經(jīng)過后，全部沉積到該月痕上。那么每年有質(zhì)量約為2.1036×10-4g的月塵沉積到該月痕上，沉積的月塵厚度隨時間的變化如圖13所示。由圖13可知，沉積的月塵厚度超過3.8 cm需要大于2.926×107年的時間，即在靜電浮揚(yáng)月塵沉積的影響下，該月痕的壽命大于2.926×107年。

最后，估算月痕在飛行器著陸與起飛的影響下的壽命。在離著陸點距離為x的地方，將在0～1°之間的100個噴射角度下到達(dá)該處的月塵顆粒數(shù)累加，得到擴(kuò)散至該處的月塵顆粒總數(shù)，經(jīng)過轉(zhuǎn)換后得到距著陸點x處的單位面積區(qū)域內(nèi)月塵沉積的質(zhì)量。根據(jù) Surveyor III實際觀測的數(shù)據(jù)[16]——距著陸點155 m處月塵沉積質(zhì)量為1 mg/cm2，對模型的系數(shù)進(jìn)行修正。最終經(jīng)過轉(zhuǎn)換得到沉積的月塵厚度與到著陸點距離的關(guān)系，如圖14所示。

圖13 沉積的月塵厚度與時間的關(guān)系Fig.13 Correlation of thickness of dust deposition and time

圖14 沉積的月塵厚度與到著陸點距離的關(guān)系Fig.14 Correlation of thickness of dust deposition and distance from landing site

由圖14可以看出，沉積的月塵厚度在距著陸點約100 m處達(dá)到最大，超過3.5×10-4cm。在距著陸點3500 m及更遠(yuǎn)的地方，沉積的月塵幾乎為零。根據(jù)不同位置沉積的月塵厚度，可以得到完全覆蓋月痕時，飛行器著陸或起飛的次數(shù)與月痕到著陸點距離之間的關(guān)系，如圖15所示。

圖15 飛行器著陸或起飛次數(shù)與距離的關(guān)系Fig.15 Correlation of number of spacecraft landing or launch and distance

假設(shè)著陸點距上述月痕100 m，則一次著陸或起飛對該痕跡不足以產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，月痕依舊能夠保持很久。若該月痕被完全覆蓋，將需要進(jìn)行10 160次著陸或起飛。未來如果在月球開發(fā)基地建設(shè)的過程中以及建成之后，每年都將需要飛行器運(yùn)輸一些保障基地正常運(yùn)轉(zhuǎn)和航天員日常生活的物資，假設(shè)采用此種推力的飛行器每年在同一著陸點分別進(jìn)行一次著陸和起飛，那么該月痕的壽命為5130年，若采用更大推力的飛行器進(jìn)行運(yùn)輸時，揚(yáng)起月塵的沉積量將會更多，月痕壽命也會隨之縮短。

6 結(jié)論

1)由月痕壽命估算的結(jié)果可知，月痕一旦在月面形成，在沒有人為破壞的情況下，其壽命至少長達(dá)數(shù)十萬年，完全可以作為一種資源用于開發(fā)。

2)關(guān)于人為因素對月痕的破壞，飛行器的著陸與起飛對月痕壽命的影響程度較大。未來在進(jìn)行月痕資源開發(fā)時，為避免其對月痕的影響，可以在月球上建立專門的著陸場，確保著陸場離月痕資源開發(fā)區(qū)域的距離超過3500 m。