鄧潤然，鄒元杰，葛東明，杜敬利

（1. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094；2. 西安電子科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710071）

0 引言

隨著航天技術(shù)的快速發(fā)展，大型高精度遙感平臺(tái)的研發(fā)需求激增，在資源勘探、環(huán)境監(jiān)測、地產(chǎn)評估、海洋開發(fā)、氣象預(yù)報(bào)等領(lǐng)域都有著極為廣泛的應(yīng)用前景。很多遙感平臺(tái)采用了反射面微波天線，天線在電性能方面對精度、穩(wěn)定度指標(biāo)提出了苛刻的要求，有關(guān)機(jī)電耦合問題也呈現(xiàn)出多樣性和復(fù)雜化的特點(diǎn)。一方面，衛(wèi)星平臺(tái)在軌運(yùn)行過程中，將受到衛(wèi)星工作模式、太陽電池陣光照、空間碎片沖擊等多種載荷作用，天線的結(jié)構(gòu)形狀將發(fā)生靜態(tài)變形或動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)振動(dòng)，進(jìn)而影響天線的電性能指向[1]。另一方面，對于我國正在研制的帶大型反射面天線航天器、超大容量通信衛(wèi)星，為保障通信安全以及觀測可靠，對天線的指向精度和穩(wěn)定度都有極高的要求。然而，航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)、太陽電池陣驅(qū)動(dòng)以及進(jìn)出地球陰影的冷熱交變均可能導(dǎo)致天線結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)，嚴(yán)重影響天線的指向精度和姿態(tài)穩(wěn)定度。研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)對天線電性能影響的直接關(guān)系可以有效評估天線觀測能力，預(yù)估天線保形要求或根據(jù)電性能影響程度進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制與電性能補(bǔ)償。目前，國內(nèi)外對反射面天線電性能與結(jié)構(gòu)變形的集成建模與分析開展了很多研究工作，主要針對天線反射面的型面誤差或靜態(tài)變形對天線電性能的影響。對于結(jié)構(gòu)型面系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，靜力載荷作用的結(jié)構(gòu)變形等問題，目前從理論方法到工程軟件分析都已有很好的解決方案。Ruze最早對誤差影響進(jìn)行了研究，建立了天線增益下降與反射面表面光程差之間的關(guān)系[2]。目前很多研究人員應(yīng)用這種方法獲得型面的變形進(jìn)而得到天線型面變形后的誤差均方根，并采用Ruze公式計(jì)算反射面誤差造成的天線增益損失。王從思、段寶巖等[3]針對地球引力、熱、風(fēng)等載荷，研究最佳吻合拋物面設(shè)計(jì)方法，通過求解線性方程組得到最佳吻合拋物面，從而確定系統(tǒng)誤差分布；并基于口徑場法的反射面型面誤差、饋源誤差與電性能之間影響關(guān)系，推導(dǎo)出一套機(jī)電耦合模型。GRASP、FEKO等工程軟件都能夠很好地完成天線電性能與結(jié)構(gòu)的耦合建模，分析結(jié)構(gòu)變形對電性能的影響[4]。但是，以上處理方法都更加適用于解決靜態(tài)變形問題[5-7]。而星載反射面天線的在軌工作過程中的振動(dòng)變形，既不屬于無規(guī)律的隨機(jī)誤差，也非靜態(tài)變形，而是與衛(wèi)星的工作模式關(guān)系密切，以上處理方法將無法滿足需求。葛東明等[8]給出了帶大型天線的衛(wèi)星在軌集成柔性與姿軌控一體化模型，基于此模型分析振動(dòng)過程對天線指向的影響，但給出的僅是機(jī)械指向，不足以描述振動(dòng)對天線電性能的影響。杜平安等[9]提出了一種隨機(jī)振動(dòng)下的天線機(jī)電耦合分析方法，但是未對衛(wèi)星在軌工作模式下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)對天線電性能的影響進(jìn)行研究。

本文針對反射面天線振動(dòng)過程的電性能分析問題，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)振動(dòng)與電性能集成建模，給出了從反射面天線結(jié)構(gòu)振動(dòng)到電性能增益的直接近似關(guān)系式，可得到振動(dòng)過程中反射面天線的電性能變化情況，彌補(bǔ)了當(dāng)前電性能分析僅可針對于單次靜態(tài)結(jié)構(gòu)變形展開的不足。

1 結(jié)構(gòu)振動(dòng)與電性能集成建模

1.1 電磁場模態(tài)空間離散

天線在軌結(jié)構(gòu)振動(dòng)在力學(xué)分析中是可以按照模態(tài)空間展開的，結(jié)構(gòu)振動(dòng)變形是多種不同頻率振動(dòng)的疊加，以結(jié)構(gòu)各階模態(tài)作為基函數(shù)，即可將時(shí)域振動(dòng)離散為頻域空間的振動(dòng)。在工程處理中，可通過相應(yīng)截取準(zhǔn)則對有效模態(tài)進(jìn)行截取，從而降低計(jì)算量，同時(shí)保證較好的計(jì)算精度。按照這種分析思路，如果可以將天線振動(dòng)過程的電性能在頻域空間展開，得到模態(tài)坐標(biāo)對應(yīng)的基函數(shù)，而這種基函數(shù)實(shí)際可認(rèn)為是某種靜態(tài)變形下的天線電性能參數(shù)，那么天線振動(dòng)過程中的電性能則只需要獲取結(jié)構(gòu)振動(dòng)的模態(tài)坐標(biāo)即可求解。

首先，獲取天線主軸方向系數(shù)對表面節(jié)點(diǎn)位移的導(dǎo)數(shù)列向量與二階Hessian陣，將天線主軸方向系數(shù)描述為表面節(jié)點(diǎn)位移的二次近似關(guān)系式

式中：G為天線主軸方向系數(shù)；G0為理想狀態(tài)下的天線主軸方向系數(shù)；Δr為表面節(jié)點(diǎn)位移；L為天線主軸方向系數(shù)對節(jié)點(diǎn)位移的一階導(dǎo)數(shù)列向量；H為天線主軸方向系數(shù)對節(jié)點(diǎn)位移的二階Hessian陣。L、H可以描述為：

其中：xu、yu、zu分別為反射面節(jié)點(diǎn)u的3個(gè)方向的坐標(biāo)；U為節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

又有天線結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析方程

其中：M、C、K分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；、Δr分別為各節(jié)點(diǎn)組成的加速度、速度和位移列向量；P為作用在天線結(jié)構(gòu)上的外部載荷列向量；t為時(shí)間。

在天線結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析過程中，由于結(jié)構(gòu)自由度較多，通常采用模態(tài)疊加法將結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)中進(jìn)行分析。節(jié)點(diǎn)位移可以描述為各階振動(dòng)模態(tài)的疊加，即采用模態(tài)坐標(biāo)描述天線結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移

其中：Ф為由各階模態(tài)列向量構(gòu)成的模態(tài)矩陣；η為相應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)。

將式(5)代入式(1)可以得到天線主軸方向系數(shù)與模態(tài)坐標(biāo)的近似關(guān)系式

其中：Lt=ΦTL，為天線主軸方向系數(shù)對模態(tài)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)列向量；Ht=ΦTHΦ，為天線主軸方向系數(shù)對模態(tài)坐標(biāo)的二階Hessian陣。

至此，建立了網(wǎng)狀反射面天線電性能與結(jié)構(gòu)模態(tài)坐標(biāo)的關(guān)系式。

1.2 工程建模分析方法

在工程實(shí)現(xiàn)過程中，可以借助天線電性能分析軟件求解一階導(dǎo)數(shù)向量Lt與二階導(dǎo)數(shù)陣Ht，具體方法如下：

1）確定式(6)中的常量矩陣G0：通過工程軟件，按照未發(fā)生變形的反射面天線計(jì)算得到天線輻射場強(qiáng)。

2）確定式(6)中的常量Lt、Ht：針對天線第i階頻率變形，選擇合適的模態(tài)坐標(biāo)振幅變形，按照前述靜態(tài)分析的方法，計(jì)算得到多個(gè)不同模態(tài)坐標(biāo)變形情況下的靜態(tài)天線輻射場方程組，模態(tài)坐標(biāo)趨近于0時(shí)，可確定因子Lt、Ht的極限常值。

3）獲取天線、太陽電池陣等的柔性振動(dòng)對整星柔性耦合系數(shù)矩陣[10-11]，建立天線在軌振動(dòng)與電性能集成模型：

至此，建立了天線在軌振動(dòng)與電性能集成模型，可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行反射面天線在軌工作工程中結(jié)構(gòu)振動(dòng)對電性能影響的分析。

2 仿真分析

2.1 反射面天線模態(tài)分析

以簡單圓拋物反射面模型為例，基于本文方法計(jì)算時(shí)域振動(dòng)過程中天線的電性能表現(xiàn)。反射面天線有限元模型如圖1所示。模型劃分采用三角形網(wǎng)格，固定約束反射面底部，對其展開固定邊界下的模態(tài)分析，模態(tài)頻率見表1，主要模態(tài)振型如圖2所示。

圖1 反射面天線有限元模型Fig. 1 The FEM model of a reflector antenna

表1 反射面各階振動(dòng)頻率Table 1 The vibration frequency of the reflector

圖2 天線反射面主要模態(tài)振型Fig. 2 The vibration modes of the reflector

對天線增益進(jìn)行一階展開，分析本文提出方法的對比情況。首先，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)對系統(tǒng)的振動(dòng)變形作模態(tài)空間離散

式中：r(t)表示天線所有節(jié)點(diǎn)在t時(shí)刻的變形量；Φ表示振型矩陣；q(t)表示t時(shí)刻的模態(tài)坐標(biāo)。式(13)的展開形式為

其中Xi表示第i階模態(tài)的主振型向量。

由系統(tǒng)的慣性完備性準(zhǔn)則可見，反射面天線振動(dòng)前4階的慣性完備性已經(jīng)達(dá)到95%，因此僅考慮前4階模態(tài)。

2.2 近似因子確定

在物理坐標(biāo)下的任一時(shí)刻的位移 {r(t)}可以表示為4個(gè)主振型的線性組合，而線性組合系數(shù)就是模態(tài)坐標(biāo) {qi(t)}。那么按照第1章所述的方法，一階近似表達(dá)式為

其中：gi為模態(tài)坐標(biāo)qi對應(yīng)的變形反射面產(chǎn)生的增益；g-i為模態(tài)坐標(biāo)-qi對應(yīng)的變形反射面產(chǎn)生的增益。lti因子的計(jì)算方法有3種：

當(dāng)qi→0達(dá)到一定程度時(shí)，式(16)～(18)將同時(shí)趨近于一常值，此時(shí)即認(rèn)為得到了對應(yīng)模態(tài)坐標(biāo)qi量級的較精確的因子lti。

首先，求解未發(fā)生變形的反射面增益情況（見圖3）[12]。

然后，按照表達(dá)式(15)依次減小模態(tài)坐標(biāo)，對比一階因子lti的變化情況（圖4）可見，當(dāng)模態(tài)坐標(biāo)取0.01時(shí)，近似式的一階因子lti趨近常值，認(rèn)為此時(shí)的lti精度足夠。

當(dāng)模態(tài)坐標(biāo)振動(dòng)變形時(shí)，對比此物理變形下直接求得的增益情況與近似分析方法得到的增益情況。隨機(jī)選取2組模態(tài)坐標(biāo)(0.042, 0.016, 0.063,0.037)與 (-0.012, 0.006, -0.073, 0.006)，給出未變形的反射面、近似方法計(jì)算與直接使用軟件計(jì)算得到的天線方向圖對比情況（圖5）。由圖可見，采用近似方法可以得到增益主方向的偏差情況。那么，通過計(jì)算得到時(shí)變的模態(tài)坐標(biāo)，則可以由近似方法得到時(shí)域內(nèi)變化的天線主方向增益情況。此外，也可由一階因子lti的量級分析影響天線增益的主要模態(tài)。

圖4 不同模態(tài)坐標(biāo)下的一階因子變化Fig. 4 The first modal factor in different modal coordinates

圖5 天線方向圖對比Fig. 5 A comparision of modal coordinates

2.3 在軌振動(dòng)過程仿真分析

采用本文方法對某衛(wèi)星開展振動(dòng)載荷對電性能影響分析，并與傳統(tǒng)分析方法進(jìn)行對比。建立衛(wèi)星有限元模型如圖6所示。對整星開展自由狀態(tài)模態(tài)分析，獲得模態(tài)頻率及振型如表2所示。

圖6 整星有限元模型示意圖Fig. 6 The FEM model of the satellite

表2 天線各階模態(tài)頻率和振型Table 2 The vibration frequencies of the reflector

獲取天線在軌激勵(lì)下振動(dòng)100 s的數(shù)據(jù)，因?yàn)橹饕P(guān)注天線薄膜面的振動(dòng)情況，所以選取反射面中心點(diǎn)為觀察點(diǎn)。獲得100 s內(nèi)觀察點(diǎn)的振動(dòng)情況如圖7所示，其傅里葉變換曲線如圖8所示。由圖8可見，x方向振動(dòng)主要響應(yīng)位于0.06 Hz和0.17 Hz處，分別與天線的二階和四階固有頻率吻合；y方向振動(dòng)主要響應(yīng)位于0.02 Hz處，與天線的一階固有頻率吻合；z方向振動(dòng)主要響應(yīng)位于0.02 Hz和0.06 Hz處，分別與天線的一階和二階固有頻率吻合。因此，影響天線振動(dòng)變形的主要是一階、二階、四階模態(tài)振動(dòng)。

圖7 天線反射面中心點(diǎn)變形Fig. 7 The vibration of the center of the reflector

圖8 天線反射面中心點(diǎn)變形的頻率分析Fig. 8 The FFT for vibration of the center of the reflector

由本文所提分析方法可知，模態(tài)坐標(biāo)是連接天線結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)與電性能的橋梁。各時(shí)刻模態(tài)坐標(biāo)變化如圖9所示。因其他階模態(tài)坐標(biāo)基本為0，所以此處只繪制了主要的一階、二階、七階模態(tài)坐標(biāo)變化圖。

最后用本方法求出天線的主軸方向系數(shù)隨時(shí)間變化曲線，并且與GRASP軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比（見圖10），發(fā)現(xiàn)兩者差異較小。對此方向系數(shù)進(jìn)行傅里葉變換（見圖11），可見此時(shí)的結(jié)論與前面振動(dòng)變形分析一致，一階、二階、四階模態(tài)對于天線主軸方向系數(shù)的影響是主要的。

圖9 主要模態(tài)坐標(biāo)變化Fig. 9 The main modal coordinates

圖10 本方法與GRASP軟件計(jì)算所得天線主軸方向系數(shù)（時(shí)域）對比Fig. 10 The directivity obtained by our method as compared with that obtained with GRASP

圖11 天線的主軸方向系數(shù)（頻域）Fig. 11 The FFT for the directivity

3 總結(jié)與展望

本文給出了一種反射面天線結(jié)構(gòu)振動(dòng)與電性能集成建模方法，針對帶反射面天線衛(wèi)星在軌情況建立動(dòng)力學(xué)?控制?天線電性能集成模型，并結(jié)合反射面天線模型進(jìn)行了計(jì)算應(yīng)用。分析結(jié)果表明：本文方法能夠給出從結(jié)構(gòu)振動(dòng)到天線電性能指向的直接近似關(guān)系式，進(jìn)而得到振動(dòng)過程中反射面天線的電性能變化情況，可用于分析天線在軌振動(dòng)過程的電性能情況以及影響電性能的主要振動(dòng)模態(tài)，彌補(bǔ)了當(dāng)前電性能分析僅可針對單次靜態(tài)結(jié)構(gòu)變形展開的不足。研究同時(shí)發(fā)現(xiàn)，靜態(tài)分析精度將決定近似因子的精度，并直接影響振動(dòng)過程中天線電性能分析的精度。

此外，后續(xù)需進(jìn)一步開展的研究工作包括：

1）應(yīng)用靜態(tài)分析方法對比驗(yàn)證模態(tài)空間近似展開法的誤差情況；

2）確定模態(tài)空間展開式階數(shù)，研究高階數(shù)近似式的工程實(shí)現(xiàn)方法。