云南 蔣金團

根據(jù)法拉第電磁感應定律，只要穿過回路的磁通量發(fā)生了變化，在回路中就會有感應電動勢產(chǎn)生，感應電動勢可以分為動生電動勢和感生電動勢兩類。動生電動勢的產(chǎn)生機理是由于外力使導體或回路切割磁感線，而使導體內自由電子受到洛倫茲力定向運動產(chǎn)生電動勢；感生電動勢的產(chǎn)生機理是固定回路中的磁場發(fā)生變化，變化的磁場產(chǎn)生渦旋電場，渦旋電場對回路中的電荷施加的作用力是一種非靜電力，它引起了感生電動勢。雖然產(chǎn)生感應電動勢的原因只有兩種情況，但命題者可根據(jù)改變導體的運動方式、改變導體的形狀、改變磁場的空間分布、改變磁場的變化方式等手段豐富磁通量變化的內涵，本文對這類問題做些探討。

一、恒定勻強磁場中產(chǎn)生的感應電動勢

1.直線導體平動切割磁感線

直線導體在勻強磁場中平動切割磁感線產(chǎn)生的電動勢為動生電動勢，計算公式為E=BLv，使用這個公式的條件是B、L、v三個物理量兩兩垂直；碰到不垂直情形時，必須通過正交分解構造兩兩垂直。

【例1】半徑為a右端開小口的導體圓環(huán)和長為2a的導體直桿，單位長度電阻均為R0。圓環(huán)水平固定放置，整個內部區(qū)域分布著豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B。桿在圓環(huán)上以速度v平行于直徑CD向右做勻速直線運動，桿始終有兩點與圓環(huán)良好接觸，從圓環(huán)中心O開始，桿的位置由θ確定，如圖1所示。則

( )

A．θ=0時，桿產(chǎn)生的電動勢為2Bav

C.導體直桿上M點的電勢低于N點的電勢

【答案】AD

【點評】(1)用E=BLv計算時，L為有效長度；(2)切割磁感線那部分導體相當于電源，用右手定則判斷出感應電流方向以后，根據(jù)“電源內部電流從負極流向正極”可判斷出其正負極，則正極端的電勢高于負極端的電勢；(3)當電路閉合時，電源兩端的電壓是路端電壓，不能錯誤當成電動勢。

【例2】如圖2，在水平面(紙面)內有三根相同的均勻金屬棒ab、ac和MN，其中ab、ac在a點接觸，構成“V”字型導軌?？臻g存在垂直于紙面的均勻磁場，用力使MN向右勻速運動，從a位置開始計時，運動中MN始終與∠bac的平分線垂直且和導軌保持良好接觸。下列關于回路中電流i與時間t的關系圖線，可能正確的是

( )

【解析】設∠bac=2θ，單位長度電阻為R0

則MN切割產(chǎn)生電動勢

E=BLv=Bv·2vt×tanθ=2Bv2ttanθ=k1t

回路總電阻為

由閉合電路歐姆定律得

i與時間無關，是一個定值，故A正確，BCD錯誤。

【答案】A

【點評】本題巧妙之處在于電動勢和總電阻都隨時間均勻增加，從而導致電流恒定不變，該題可當成經(jīng)典模型進行記憶。

2.折線(曲線)導體平動切割磁感線

當折線棒或曲線棒平動切割磁感線時，將棒的兩個端點連成直線，若該連線與速度和磁場的方向都垂直，則兩端點之間的距離為有效長度。

( )

【答案】B

【點評】將折線棒的兩個端點連成直線，設想回路是閉合的，則閉合回路的磁通量沒有發(fā)生變化，不會產(chǎn)生感應電流，此時可理解成折線棒產(chǎn)生的電動勢與兩端點連線產(chǎn)生的電動勢抵消，這樣一來，計算折線棒產(chǎn)生的電動勢可轉化成計算兩端點連線產(chǎn)生的電動勢，這正是有效長度的原理所在。

【例4】如圖4所示，一導線彎成半徑為a的半圓形閉合回路，虛線MN右側有磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v向右勻速進入磁場，直徑CD始終與MN垂直，從D點到達邊界開始，到C點進入磁場為止，下列結論正確的是

( )

A．感應電流方向不變

B．CD段直線始終不受安培力

C．感應電動勢最大值Em=Bav

【答案】ACD

3.直線導體棒旋轉切割磁感線

【例5】如圖5所示，長為L的金屬OA桿繞過O點垂直于紙面的固定軸勻速轉動,角速度為ω，勻強磁場垂直于紙面向里,磁感應強度為B,磁場范圍足夠大,金屬桿OA產(chǎn)生的感應電動勢的大小可以用以下2種方法推導。

方法1法拉第電磁感應定律法

設在時間Δt內金屬桿掃過的面積為ΔS，則

感應電動勢為

方法2等效法

( )

【解析】從靜止開始繞過圓心O以角速度ω勻速轉動時，線框中產(chǎn)生的感應電動勢大小為

磁場變化時產(chǎn)生的電動勢為

根據(jù)題意兩次產(chǎn)生的感應電流相等，因為電阻保持不變，兩次產(chǎn)生的感應電動勢也相等，即E1=E2

【答案】C

【點評】本題既考查了動生電動勢的計算方法，也考查了感生電動勢的計算方法，兩次產(chǎn)生的感應電流相等是聯(lián)系兩次電磁感應信息的橋梁。

【例7】半徑分別為r和2r的同心圓形導軌固定在同一水平面上，一長為r，質量為m且質量分布均勻的直導體棒AB置于圓導軌上面，BA的延長線通過圓導軌的中心O，裝置的俯視圖如圖7所示；整個裝置位于一勻強磁場中，磁感應強度的大小為B，方向豎直向下；在內圓導軌的C點和外圓導軌的D點之間接有一阻值為R的電阻(圖中未畫出)。直導體棒在水平外力作用下以角速度ω繞O逆時針勻速轉動，在轉動過程中始終與導軌保持良好接觸。設導體棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，導體棒和導軌的電阻均可忽略，重力加速度大小為g，求：

(1)通過電阻R的感應電流的方向和大小；

(2)外力的功率。

【解析】(1)在Δt時間內，導體棒掃過的面積為

根據(jù)法拉第電磁感應定律，導體棒產(chǎn)生的感應電動勢大小為

根據(jù)右手定則，感應電流的方向是從B端流向A端，因此流過導體R的電流方向是從C端流向D端；由歐姆定律流過導體R的電流滿足

(2)對導體棒受力分析，豎直方向受重力，兩圓導軌的支持力，水平方向受外力F、安培力、兩圓導軌的滑動摩擦力。

在豎直方向根據(jù)平衡條件有mg=2FN⑤

在水平方向上根據(jù)平衡條件有F=BIr+2μFN⑥

【點評】(1)當導體棒只有部分旋轉切割磁感線時，可取切割部分兩端點的速度之和的一半作為平均速度；(2)本題中的外力不一定沿著速度方向，但是把外力分解成沿著速度和沿著半徑的兩個分力時，沿著半徑的分力不做功，因此求外力的功率時，可設外力方向與速度方向相同。

4.圓盤轉動切割磁感線

【例9】法拉第圓盤發(fā)電機的示意圖如圖9所示。銅圓盤安裝在豎直的銅軸上，兩銅片P、Q分別與圓盤的邊緣和銅軸接觸。圓盤處于方向豎直向上的勻強磁場B中。圓盤旋轉時，關于流過電阻R的電流，下列說法正確的是

( )

A．若圓盤轉動的角速度恒定，則電流大小恒定

B．若從上向下看，圓盤順時針轉動，則電流沿a到b的方向流動

C．若圓盤轉動方向不變，角速度大小發(fā)生變化，則電流方向可能發(fā)生變化

D．若圓盤轉動的角速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則電流在R上的熱功率也變?yōu)樵瓉淼?倍

【答案】AB

【點評】本題考查了圓盤旋轉切割磁感線的處理方法，我們做這類題時不但要學會感應電動勢和感應電流的計算，還要學會判斷圓盤兩極電勢的高低。

二、恒定非勻強磁場中產(chǎn)生的感應電動勢

【例10】如圖10所示，一圓形閉合銅環(huán)由高處從靜止開始下落，穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵，銅環(huán)的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合。若取磁鐵中心O為坐標原點，建立豎直向下為正方向的x軸，則以下最能正確反映環(huán)中感應電流i隨環(huán)心位置坐標x變化的關系圖象是

( )

【解析】圓形閉合銅環(huán)由高處從靜止開始下落，穿過一根豎直懸掛的條形磁鐵，銅環(huán)的中心軸線與條形磁鐵的中軸線始終保持重合，圓環(huán)中磁通量變化不均勻，產(chǎn)生的感應電流不是線性變化，A錯誤；銅環(huán)下落到磁鐵頂端的速度小于下落到磁鐵底端的速度，銅環(huán)下落到磁鐵頂端產(chǎn)生的感應電流小于下落到磁鐵底端產(chǎn)生的感應電流，選項B正確，CD錯誤。

【答案】B

【點評】本題也可以從切割磁感線的角度加深理解，磁鐵正中央發(fā)出的磁場方向是豎直向下，圓形線圈來到這個位置時，瞬時電動勢為0，所以前半段過程的電流先增大后減小。

三、磁場均勻變化時產(chǎn)生的感應電動勢

1.回路中只有感生電動勢

【例11】如圖11所示，一正方形線圈的匝數(shù)為n，邊長為a，線圈平面與勻強磁場垂直，且一半處在磁場中，在Δt時間內，磁感應強度的方向不變，大小由B均勻地增大到2B，在此過程中，線圈中產(chǎn)生的感應電動勢為

( )

【答案】B

【點評】計算磁通量的變化量時，必須取有效面積，對稱軸右方的面積無磁場穿過，為無效面積。

2.動生電動勢和感生電動勢共存

【例12】如圖12所示，兩條相距l(xiāng)的光滑平行金屬導軌位于同一水平面(紙面)內，其左端接一阻值為R的電阻；一與導軌垂直的金屬棒置于兩導軌上；在電阻、導軌和金屬棒中間有一面積為S的區(qū)域，區(qū)域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場，磁感應強度大小B1隨時間t變化的關系為B1=kt，式中k為常量；在金屬棒右側還有一勻強磁場區(qū)域，區(qū)域左邊界MN(虛線)與導軌垂直，磁場的磁感應強度大小為B0，方向也垂直于紙面向里。某時刻，金屬棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運動，在t0時刻恰好以速度v0越過MN，此后向右做勻速運動。金屬棒與導軌始終相互垂直并接觸良好，它們的電阻均忽略不計。求：

(1)在t=0到t=t0時間間隔內，流過電阻的電荷量的絕對值；

(2)在時刻t(t>t0)穿過回路的總磁通量和金屬棒所受外加水平恒力的大小。

【解析】(1)金屬棒越過MN之前，從t=0到t=t0的時間間隔內回路的磁通量的變化量ΔΦ=ΔB·S=kSt0

(2)當t>t0時，金屬棒已越過MN，設時刻t回路中的電流為It，則有

時刻t回路中的磁通量Φt=kSt+B0lv0(t-t0)

因為金屬棒在MN右側做勻速直線運動

【點評】動生電動勢和感生電動勢共存時，先用楞次定律和右手定則判斷出兩者的方向是否相同，當方向相同時，總電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之和；當方向相反時，總電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之差。

3.按正弦規(guī)律變換的磁場問題

【例13】(2018年全國Ⅲ卷第20題)如圖13中(a)，在同一平面內固定有一長直導線PQ和一導線框R，R在PQ的右側，導線PQ中通有正弦交流電i，i的變化如圖(b)所示，規(guī)定從Q到P為電流正方向。導線框R中的感應電動勢

( )

D.在t=T時最大，且沿順時針方向

【答案】AC