孫 岳，李蓓蕾，梁彩虹，李 穎

(西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

空間耦合低密度奇偶校驗(Spatially Coupled Low Density Parity Check, SC-LDPC)碼不僅繼承了低密度奇偶校驗(Low Density Parity Check, LDPC)碼良好的差錯性能和高效譯碼的優(yōu)點，還具有比較簡單的編碼結(jié)構(gòu)，因此，被視為一種很有前景的編碼方案[1]。眾多學(xué)者對SC-LDPC碼在不同信道場景下的碼結(jié)構(gòu)設(shè)計、分析及改善等進(jìn)行了深入研究[2-6]。文獻(xiàn)[4]提出將兩條相同碼率的SC-LDPC碼鏈耦合成環(huán)狀SC-LDPC碼集，證明了環(huán)狀SC-LDPC碼集的閾值優(yōu)于普通的單鏈SC-LDPC碼，且具有更快的譯碼收斂速度。隨后，文獻(xiàn)[5]提出了一種并聯(lián)多鏈SC-LDPC(Parallelly Connecting Multiple SC-LDPC，PC-MSC-LDPC )碼集的構(gòu)造方法，即通過邊交換連接操作將多條不同碼率的SC-LDPC碼鏈進(jìn)行耦合，而額外添加的校驗節(jié)點位置處不進(jìn)行邊交換的操作。并證明了PC-MSC-LDPC碼集在二元刪除信道下具有逼近香農(nóng)限的性能。另外，文獻(xiàn)[6]提出通過按層串聯(lián)連接多條SC-LDPC碼鏈構(gòu)造多鏈SC-LDPC碼集的方法，并提出了一種連續(xù)鏈傳輸方案，證明了在二元刪除信道下，采用連續(xù)鏈傳輸方案的多鏈SC-LDPC碼集具有較好的有限長性能。

在實際的無線通信場景中，信號的傳輸不僅會受到噪聲的影響，還會經(jīng)歷各種隨機(jī)變化的衰落。因此，實際通信信道常被抽象成一種隨時間緩慢變化的信道模型——塊衰落信道。在塊衰落信道下，衰落系數(shù)每隔幾個符號持續(xù)時間變化一次，不同衰落系數(shù)之間相互獨立且服從同一分布。由于塊衰落信道具有非遍歷性，接近遍歷信道容量的經(jīng)典隨機(jī)碼字通常無法逼近塊衰落信道下的理想中斷限，這個問題引起了廣泛關(guān)注。針對非遍歷塊衰落信道，文獻(xiàn)[7]提出了一種滿分集root-LDPC碼集，并證明了該碼集在塊刪除信道下性能可達(dá)中斷限，在瑞利塊衰落信道下性能逼近中斷限。但root-LDPC碼集的編碼方式是非線性的，編碼復(fù)雜度較高。文獻(xiàn)[8]則基于root-LDPC碼集提出了三種root原模圖LDPC碼集，并證明了其性能優(yōu)于現(xiàn)有的原模圖LDPC碼集。但是在塊衰落信道下的差錯性能和編碼復(fù)雜度方面有待進(jìn)一步改善。

因為SC-LDPC碼具有卷積結(jié)構(gòu)，能較好地抵抗信道衰落[9]，所以，文中針對獨立塊衰落信道，基于SC-LDPC碼提出一種串聯(lián)多鏈SC-LDPC(Serial Connecting Multi-SC-LDPC，SC-MSC-LDPC)碼集的構(gòu)造方法。結(jié)合root-LDPC碼集的構(gòu)造思想，SC-MSC-LDPC碼集通過邊交換連接操作將多條子鏈進(jìn)行耦合，使每條子鏈上的各變量節(jié)點與每個衰落塊的校驗節(jié)點均有連接，以實現(xiàn)滿分集，來抵抗深衰落對碼字恢復(fù)的影響。在構(gòu)造方法上，與root-LDPC碼集不同的是，SC-MSC-LDPC碼集的每個變量節(jié)點均與每個衰落塊的校驗節(jié)點連接，無需對變量節(jié)點進(jìn)行分類，不進(jìn)行不等差錯保護(hù)。與PC-MSC-LDPC碼集不同的是，SC-MSC-LDPC碼集的每條耦合鏈完全相同，每個耦合位置上交換的邊數(shù)滿足一定的約束條件，且額外添加的校驗節(jié)點位置也可以進(jìn)行邊交換連接操作。實驗結(jié)果表明，與非規(guī)則root-LDPC碼集和PC-MSC-LDPC碼集相比，文中提出的SC-MSC-LDPC碼集在塊衰落信道下具有更好的差錯性能。

1 系統(tǒng)模型

設(shè)選用碼字的碼長為N，該碼字所經(jīng)歷的塊衰落信道具有F個獨立衰落塊，則每個衰落塊中包含的碼比特長度為Nf=N/F。接收符號可表示為

yi=αjxi+ni，

(1)

由Singleton bound可知，碼率為R的碼集在獨立衰落塊數(shù)為F的塊衰落信道下可實現(xiàn)的分集增益階數(shù)d滿足以下不等式：

(2)

若一個碼集所實現(xiàn)的分集增益d=F，則該碼集被稱為“滿分集碼”。將d=F代入式(2)可得，滿分集碼的最大可達(dá)速率為R=1/F。

2 SC-MSC-LDPC碼集的構(gòu)造

圖1 F=2時第k個耦合位置處的邊交換連接操作示意圖

從圖1中可以看出，文中所提出的邊交換連接操作既沒有改變原始碼集的度分布，也沒有添加額外的校驗節(jié)點。兩條子鏈剛好受不同的衰落系數(shù)影響，每條子鏈上的變量節(jié)點與每個衰落塊的校驗節(jié)點均有連接，因此，可有效地防止深衰落下信息比特?zé)o法恢復(fù)的情況。

按照上述邊交換連接的操作，將C1(3,6,L)和C2(3,6,L)從位置1到位置L耦合起來即可形成一個多鏈SC-LDPC碼集。例如，L=6時，基于兩條SC-LDPC碼鏈所構(gòu)造的碼集的基矩陣如圖2所示。矩陣B的前12列對應(yīng)子鏈C1的變量節(jié)點，后12列對應(yīng)子鏈C2的變量節(jié)點。同理，前8行對應(yīng)子鏈C1的校驗節(jié)點，后8行對應(yīng)子鏈C2的校驗節(jié)點。從矩陣形式上可以看出，C1和C2是以串聯(lián)形式排列的，因此，將該碼集稱為串聯(lián)多鏈SC-LDPC碼集。對于圖2所示的SC-MSC-LDPC碼集的基矩陣，若將左下區(qū)域向上平移與左上區(qū)域重合，再將右上區(qū)域向下平移與右下區(qū)域重合，即可得到兩條非耦合SC-LDPC子鏈的基矩陣。與非耦合SC-LDPC碼集相比，SC-MSC-LDPC碼集的基矩陣更稀疏，且擁有更多的低度校驗節(jié)點，因此，能夠有效地改善差錯性能。

圖2 C1(3,6,6)和C2(3,6,6)耦合而成的SC-MSC-LDPC碼集基矩陣

圖3 F=3時第k個耦合位置處的邊交換連接操作示意圖

對以上SC-MSC-LDPC碼集的構(gòu)造方法進(jìn)行擴(kuò)展，可得出塊衰落信道的獨立衰落塊數(shù)為F時，滿分集SC-MSC-LDPC碼集的構(gòu)造算法如算法1所示。由算法1可以看出，在SC-MSC-LDPC碼集的構(gòu)造過程中，總共需要進(jìn)行F×L×dc/2次邊交換連接操作，則其時間復(fù)雜度為O(FLdc)。

算法1 SC-MSC-LDPC碼集構(gòu)造算法輸入:F條碼率為1/F的SC-LDPC子鏈Cj(dv,dc,L),j∈{1,2,…,F}輸出:SC-MSC-LDPC碼集1: for 子鏈Cj(dv,dc,L),j∈{1,2,…,F} do2: for 耦合位置k∈{1,2,…,L} do3: for 每個變量節(jié)點i∈{1,2,…,nv} in 耦合位置Cj,k do4: 隨機(jī)選擇mi條邊斷開與原來校驗節(jié)點的連接,5: 其中,mi=dv/2或mi=dv/2,且滿足∑nvi=1mi=dc/2;6: 將斷開的mi條邊均勻隨機(jī)地連接至Cj′,k處的相應(yīng)校驗節(jié)點上,7: 其中,j′∈{1,2,…,F},且滿足j′≠j。8: end for9: end for10: end for

3 仿真結(jié)果

針對F=2的獨立塊衰落信道，通過仿真給出了所構(gòu)造的SC-MSC-LDPC碼集的無限長性能和有限長性能，并與單鏈SC-LDPC碼集、PC-MSC-LDPCM碼集[5]和非規(guī)則root-LDPC碼集[8]進(jìn)行對比。其中，SC-MSC-LDPC碼集選擇(3,6)SC-LDPC碼集作為基鏈，耦合寬度w=2，耦合長度L=50，碼率R=0.48，擴(kuò)展參數(shù)M=100，碼長N=20 000。

基于PEXIT算法，即可得到碼集在獨立塊衰落信道下的密度進(jìn)化中斷(Density Evolution Outage， DEO)概率PDEO，PDEO可作為碼集誤字率(Word Error Rate, WER)性能的近似下界[8]。圖4給出了SC-MSC-LDPC碼集與其他碼集的無限長性能對比。從圖中可以看出，SC-MSC-LDPC碼集的無限長性能曲線非常接近中斷限，與中斷限相差約0.5 dB。而單鏈(3,6)SC-LDPC碼集(w=2和4，L=100)與中斷限相差約9 dB，PC-MSC-LDPC碼集與中斷限相差約5 dB。當(dāng)SNR=18 dB時，中斷限為0.72×10-3，SC-MSC-LDPC碼集的誤碼率約為1.01×10-3，(3,6)SC-LDPC碼集在w=2和w=4時，誤碼率約為3.37×10-2和3.44×10-2，PC-MSC-LDPC碼集(子鏈為(3,6,45)SC-LDPC碼集和(3,6,55)SC-LDPC碼集)的誤碼率約為3.01×10-2。仿真結(jié)果表明，SC-MSC-LDPC碼集在塊衰落信道下可獲得分集增益，而單鏈SC-LDPC碼集和PC-MSC-LDPC碼集不能獲得分集增益。當(dāng)誤碼率為10-3時，與root-LDPC碼集相比，SC-MSC-LDPC碼集的無限長性能提升了約0.9dB。因此，SC-MSC-LDPC碼集在塊衰落信道下的性能優(yōu)于非規(guī)則root-LDPC碼集。

圖4 F=2時SC-MSC-LDPC碼集與各碼集無限長性能對比

圖5 F=2時SC-MSC-LDPC碼集與各碼集有限長性能對比

圖6 F=3時SC-MSC-LDPC碼集的無限長性能

圖5比較了上述各碼集的有限長性能。對于SC-MSC-LDPC碼集，置信傳播(Belief Propagation, BP)譯碼算法的最大迭代次數(shù)為100。從圖中可以看出，SC-MSC-LDPC碼集的有限長性能曲線非?？拷谠D外信息轉(zhuǎn)移(Protograph-based EXtrinsic Information Transfer, PEXIT)算法仿真得到的無限長PDEO曲線，二者相差約0.5 dB，驗證了PEXIT分析算法的準(zhǔn)確性。當(dāng)SNR=18dB時，中斷限為0.72×10-3，SC-MSC-LDPC碼集的誤碼率約為1.34×10-3，(3,6)SC-LDPC碼集在w=2和w=4時，誤碼率約為4.02×10-2和3.77×10-2，PC-MSC-LDPC碼集的誤碼率約為3.11×10-2。當(dāng)誤碼率為10-3時，與root-LDPC碼集相比，SC-MSC-LDPC碼集的有限長性能提升了約0.5 dB。可以看出，SC-MSC-LDPC碼集在塊衰落信道下的性能最好，這與無限長性能對比所得到的結(jié)論相同。

圖6則給出了F=3時SC-MSC-LDPC碼集的無限長性能曲線。仿真結(jié)果顯示，SC-MSC-LDPC碼集的無限長性能曲線非常接近中斷限，與中斷限相差約0.4 dB。這說明文中提出的SC-MSC-LDPC碼集的構(gòu)造方法可以擴(kuò)展至不同F(xiàn)值下的塊衰落信道。

4 結(jié)束語

文中針對獨立塊衰落信道，基于SC-LDPC碼的結(jié)構(gòu)特性，提出了一種新的SC-MSC-LDPC碼集的構(gòu)造方法，并針對不同F(xiàn)值的塊衰落信道進(jìn)行擴(kuò)展。與非耦合單鏈SC-LDPC碼集相比，SC-MSC-LDPC碼集的基矩陣更稀疏，且擁有更多的低度校驗節(jié)點。與root-LDPC碼集相比，SC-MSC-LDPC碼集的編碼結(jié)構(gòu)更簡單。仿真結(jié)果表明，SC-MSC-LDPC碼集在塊衰落信道下可以實現(xiàn)滿分集，而單鏈SC-LDPC碼集和PC-MSC-LDPC碼集均不能獲得分集增益。與root-LDPC碼集相比，SC-MSC-LDPC碼集的性能逼近中斷限，具有更好的差錯性能。