張旭

摘 要：函數(shù)的零點問題是高考?？嫉膬?nèi)容之一，若判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點，只需判斷區(qū)間端點的函數(shù)值是否異號；若判斷函數(shù)零點的個數(shù)，需要將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，再由方程的解轉(zhuǎn)化為兩個新函數(shù)的圖象的交點；若利用導(dǎo)數(shù)則可以解決一些較復(fù)雜函數(shù)的零點問題。

關(guān)鍵詞：函數(shù)零點；圖象交點；方程解

函數(shù)的零點問題是近些年高考出題的熱點問題，考查題型以選擇題為主，偶爾出現(xiàn)在填空題和解答題之中。零點問題綜合性較強，滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法，成為高考的生長點和學生的失分點。為幫助考生攻克這一難點，下面筆者通過對新課標高考題的分析，歸納總結(jié)函數(shù)的零點問題的常見題型和解題策略，希望對大家有所幫助。

一、函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷

涉及求零點所在區(qū)間范圍的題型，可以利用零點的存在性定理進行求解。

利用存在性定理求解時，需要計算出區(qū)間端點處得函數(shù)值符號，如不能得到端點處的函數(shù)值可考慮用二分法繼續(xù)求證或作圖觀察函數(shù)圖象的交點所在的大致區(qū)間。

例1.若方程ln（x+1）+2x-1=0的根為x=m，則（ ）

A.0

解：設(shè)f（x）=ln（x+1）+2x-1，則f（0）=-1<0，f（1）=ln2+1>0，所以0

二、求函數(shù)零點的個數(shù)或方程的根的個數(shù)問題

求零點個數(shù)問題是高考中最常見的零點題型，如果所給函數(shù)有一個零點時，可以考慮利用存在性定理證明函數(shù)存在零點，然后再證明函數(shù)在此區(qū)間是單調(diào)函數(shù)即可。如果所給函數(shù)含有一個以上的零點，可以采用數(shù)形結(jié)合的方法求解。如將f（x）轉(zhuǎn)化為

f（x）=g（x）-h（x）的形式，則可以作出g（x）和h（x）的圖象，兩個圖象交點的個數(shù)就是f（x）零點的個數(shù)。

例2.若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=f（x），f（2-x）=

f（x），且當x∈[0，1]時，其圖象是四分之一圓，則函數(shù)H（x）=xex-f（x）在區(qū)間[-3，1]上的零點個數(shù)為（ ）

A.5 B.4 C.3 D.2

解：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x+2）=f（-x）=f（x），即函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)。記g（x）=xex，則有g(shù)′（x）=（x+1）ex，當x<-1時，g′（x）<0；當x>-1時，g′（x）>0，由此畫出g（x）=xex的圖象，進而得到y(tǒng)=xex的圖象，結(jié)合圖象知，函數(shù)y=xex與y=f（x）的圖象在[-3，1]上共有4個交點，故選B。

在將原函數(shù)轉(zhuǎn)化時要注意轉(zhuǎn)化的函數(shù)圖象要盡量簡單，方便作圖。另外，在作圖時可能會涉及圖象的平移、翻折變換、復(fù)雜的函數(shù)甚至需要求導(dǎo)，因此，在平時的學習中學生要熟悉基本初等函數(shù)及變形后的函數(shù)圖象。

三、復(fù)合型函數(shù)零點的個數(shù)問題

對于復(fù)合型函數(shù)的零點問題，往往給出的函數(shù)都是分段函數(shù)，直接代入較為復(fù)雜，為學生解題帶來極大困難。為了簡化運算，我們一般需要先將復(fù)合型函數(shù)f[g（x）]拆分為兩個函數(shù)y=

f（t），t=g（x）。然后根據(jù)函數(shù)f（t）的零點情況確定t的值或范圍，再分別作出函數(shù)y=t和y=g（x）的圖象，根據(jù)兩個函數(shù)圖象交點的情況就能最終確定復(fù)合型函數(shù)的零點個數(shù)了。

例3.已知函數(shù)f（x）=，x≤1log2（x-1），x>1則函數(shù)F（x）=f[f（x）]-2f（x）-的零點個數(shù)是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.

解：令t=f（x），則F（x）=f（t）-2t-，其零點由F（x）=0，得f（t）=2t+，作出函數(shù)y=f（t）與y=2t+■的圖象，根為t=0或t∈（1，2）。當t=0時，x=2；當t∈（1，2）時，有3個零點，所以函數(shù)F（x）的零點個數(shù)為4，故選A。

四、求函數(shù)所有零點和的問題

求函數(shù)零點之和的問題是最近幾年高考出現(xiàn)的新類型題，它一般會將函數(shù)的對稱性問題和零點問題結(jié)合在一起進行考查，題目較難，對學生的綜合解題能力要求高。對于此類問題的解答需要我們先利用作圖的方式找到零點的個數(shù)，再根據(jù)對稱性分別求出兩個函數(shù)的對稱軸或?qū)ΨQ中心（通常兩個函數(shù)的對稱性相同）。由函數(shù)的對稱性可知零點的對稱性，關(guān)于對稱軸或?qū)ΨQ中心對稱的零點和為對稱軸或?qū)ΨQ中心橫坐標的2倍。由此，可以確定所有零點的和。

例4.函數(shù)f（x）=+2sinπx-在x∈[-3，5]上的所有零點之和為（ ）

A.4 B.6 C.8 D.10

解：因為f（x）=-2cosπx，所以函數(shù)f（x）的零點即為函數(shù)y=與函數(shù)y=2cosπx的交點，作出函數(shù)y=與函數(shù)y=2cosπx的圖象，由圖知，有8個交點，而x=1是兩函數(shù)的對稱軸，所以函數(shù)f（x）所有零點之和為4×2=8，故選C。

參考文獻：

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[2]胡宗玲.根據(jù)參數(shù)確定函數(shù)零點[J].中學生數(shù)理化（學習研究），2018（9）.

[3]盧杰.函數(shù)零點問題常見的幾種求解方法[J].中學教學參考，2013（6）：35.

編輯 段麗君