唐恩林，華小全

（1.淮南師范學(xué)院金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽淮南，232038；2.淮南師范學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽淮南，232038）

一、引言

隨著我國(guó)老齡化程度的加深，社會(huì)的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)越來(lái)越重，當(dāng)前的養(yǎng)老理念和養(yǎng)老方式已滿足不了社會(huì)的養(yǎng)老需求。最近十年，中國(guó)房地產(chǎn)市場(chǎng)發(fā)生巨大變化，房?jī)r(jià)呈現(xiàn)逐漸上升趨勢(shì)，房?jī)r(jià)支出占個(gè)人總支出的絕大部分，這也導(dǎo)致老年人用于生活消費(fèi)的流動(dòng)資金大大減少，而財(cái)富的絕大部分被死死套在了房產(chǎn)這樣的固定資產(chǎn)上。因此如何充分挖掘老年人的財(cái)富潛力，盤活不動(dòng)產(chǎn)，這極大地影響了我國(guó)的養(yǎng)老事業(yè)，也是養(yǎng)老模式創(chuàng)新的發(fā)展方向［1］。因此已經(jīng)在歐美得到成熟發(fā)展的住房反向抵押貸款可以作為我國(guó)養(yǎng)老模式的借鑒。住房反向抵押貸款就是在老年人保留房屋居住權(quán)的同時(shí)，將房屋的價(jià)值提前兌現(xiàn)，以達(dá)到盤活資產(chǎn)、實(shí)現(xiàn)以房養(yǎng)老的目的。住房反向抵押貸款涉及較多的不確定性，進(jìn)而導(dǎo)致其定價(jià)的不確定性，即申請(qǐng)人獲得貸款額度的不確定性，這也是住房反向抵押貸款在我國(guó)未能順利開(kāi)展的根本原因［2］。早在20世紀(jì)90年代，國(guó)內(nèi)學(xué)者就開(kāi)始關(guān)注歐美實(shí)行多年的住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)，并期望將其引入國(guó)內(nèi)。從業(yè)界來(lái)說(shuō)，此項(xiàng)業(yè)務(wù)理論上也確實(shí)能夠解決政府的養(yǎng)老難題，因此政府鼓勵(lì)金融機(jī)構(gòu)及其網(wǎng)點(diǎn)開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)。但是由于這種金融服務(wù)創(chuàng)新業(yè)務(wù)存在很多不確定性和風(fēng)險(xiǎn)，尤其是其產(chǎn)品無(wú)法準(zhǔn)確定價(jià)，金融機(jī)構(gòu)接受不了太高的貸款定價(jià)，申請(qǐng)人接受不了太低的貸款定價(jià)，導(dǎo)致此項(xiàng)業(yè)務(wù)一直進(jìn)展的不順利。因此建立適合我國(guó)國(guó)情的科學(xué)有效的定價(jià)模型對(duì)此項(xiàng)業(yè)務(wù)的順利開(kāi)展起到?jīng)Q定性作用，同時(shí)對(duì)于深入研究社會(huì)養(yǎng)老保障、房地產(chǎn)金融和資產(chǎn)定價(jià)等也具有較大的理論價(jià)值［3］。

二、研究綜述

起步于歐美國(guó)家的住房反向抵押貸款，其定價(jià)方法和理論在美國(guó)是最為成熟的，總體上來(lái)說(shuō)有三種方法。第一種叫支付因子定價(jià)法，這種方法主要是通過(guò)羅列影響反向抵押貸款的所有可能因素，通過(guò)構(gòu)筑模型建立各種因素與定價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系。Szymanoski通過(guò)構(gòu)建HECM模型，即住宅財(cái)產(chǎn)轉(zhuǎn)換貸款示范價(jià)格模型，對(duì)影響價(jià)格的幾種重要因素進(jìn)行了實(shí)證。這幾種因素包括財(cái)產(chǎn)價(jià)值、借款人壽命和利率，他的研究成果是建立在Peter等人設(shè)計(jì)的模型基礎(chǔ)上。而國(guó)內(nèi)的學(xué)者如劉春杰、譚競(jìng)等人重新認(rèn)識(shí)了支付因子定價(jià)法，并指出其屬于定期定價(jià)，進(jìn)一步給出了反抵押貸款合同超期的定價(jià)結(jié)果。第二種是期權(quán)定價(jià)法，這種方法主要針對(duì)具有可贖回權(quán)的住房反向抵押貸款產(chǎn)品的定價(jià)，借款人基于利率的變動(dòng)和未來(lái)房?jī)r(jià)的變動(dòng)可以提前贖回抵押的房產(chǎn)。Boehm等構(gòu)建了基于利率和時(shí)間的住房反向抵押貸款函數(shù)，進(jìn)而給出了反向抵押貸款價(jià)值的偏微分方程算式；對(duì)于借款人選擇提前贖回的住房反向抵押貸款，Tobias等對(duì)模型中的部分變量進(jìn)行蒙特卡羅模擬，在此基礎(chǔ)上給出了貸款的最終定價(jià)。而國(guó)內(nèi)學(xué)者奚俊芳采用的是二叉樹(shù)思想對(duì)住房反向抵押貸款進(jìn)行了期權(quán)定價(jià)的闡述，但沒(méi)有進(jìn)一步的給出實(shí)證。第三種是保險(xiǎn)精算法，保險(xiǎn)精算的思想主要是當(dāng)生命結(jié)束時(shí)房屋價(jià)值的貼現(xiàn)值與當(dāng)前借款人能夠借到的公允金額相等，Mitchell等基于利率、房?jī)r(jià)變動(dòng)率和死亡率等變量構(gòu)建了反向抵押貸款的定價(jià)模型，這便是最初的保險(xiǎn)精算定價(jià)模型，后期的國(guó)內(nèi)學(xué)者基本都是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步修正研究。章凌云對(duì)定價(jià)模型進(jìn)行了模擬分析；張晶對(duì)保險(xiǎn)精算模型的房屋價(jià)值進(jìn)行了修正，引入了房屋的折舊因素；奚俊芳對(duì)貸款的給付進(jìn)行了延伸研究，提出了遞增形式的年金給付；肖雋子在保險(xiǎn)精算定價(jià)模型中引入了平均余命的概念。

從這三種方法在中國(guó)的適應(yīng)性角度來(lái)看，支付因子定價(jià)法需要依據(jù)大量的歷史數(shù)據(jù)，顯然不適合直接在中國(guó)應(yīng)用。相對(duì)來(lái)說(shuō)，保險(xiǎn)精算模型不需要大量的歷史數(shù)據(jù)且準(zhǔn)確性較高，更適合引入我國(guó)使用，只需要在模型中使用符合我國(guó)實(shí)際情況的因素。然而目前的相關(guān)文獻(xiàn)基本都是采用固定利率和確定的房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率，并不適合我國(guó)的實(shí)際情況，因此本文的研究將對(duì)這兩個(gè)缺陷進(jìn)行修正。

三、住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的分解

（一）住房反向抵押貸款的內(nèi)涵

作為一種創(chuàng)新型的金融服務(wù)產(chǎn)品，住房反向抵押貸款能夠幫助老年人實(shí)現(xiàn)以房養(yǎng)老的目的，它的實(shí)現(xiàn)過(guò)程是申請(qǐng)人以自己的房屋產(chǎn)權(quán)作為抵押向銀行等金融機(jī)構(gòu)獲得一次性或者年金形式的貸款額度，同時(shí)在申請(qǐng)人生命結(jié)束之前保留房屋的居住權(quán)，在其生命結(jié)束之后以房產(chǎn)償還生前的貸款。從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是申請(qǐng)人將房產(chǎn)抵押給金融機(jī)構(gòu)，金融機(jī)構(gòu)給出房產(chǎn)的評(píng)估價(jià)值，然后將評(píng)估價(jià)值分?jǐn)偟接鄩鄣拿恳荒曛?，直至申?qǐng)人永久搬離房屋或者死亡，這時(shí)房屋的所有權(quán)才真正過(guò)戶給金融機(jī)構(gòu)。由于這種貸款的資金流向與普通的住房抵押貸款是相反的，所以又稱反向抵押貸款（Reverse Mortgage）。看似金融機(jī)構(gòu)以分期付款的形式從申請(qǐng)人手中買房，在申請(qǐng)人去世后交接房屋所有權(quán)，又可以稱作“逆抵押貸款”、“倒按揭貸款”。

住房反向抵押貸款分為很多種（見(jiàn)圖1），根據(jù)其到期申請(qǐng)人是否能夠贖回，可以分為可贖回的反向抵押貸款和不可贖回的反向抵押貸款。根據(jù)貸款資金的支付形式分為一次性支付，定期支付和貸款額度。對(duì)于不可贖回的反向抵押貸款，當(dāng)貸款到期、申請(qǐng)人離世后，金融機(jī)構(gòu)便可收回房屋產(chǎn)權(quán)。對(duì)于這類貸款，當(dāng)其數(shù)量達(dá)到一定程度之后，便符合大數(shù)定律，這時(shí)可以構(gòu)建保險(xiǎn)精算模型以終生年金的形式對(duì)其進(jìn)行定價(jià)。而對(duì)可贖回的反向抵押貸款，由于申請(qǐng)人可以按照合約持有到期讓金融機(jī)構(gòu)拍賣房產(chǎn)，也可以根據(jù)標(biāo)的變量的變化，如利率、房屋價(jià)值等擇期贖回抵押貸款，因此可以看成是一種期權(quán)，這時(shí)可以采用期權(quán)定價(jià)的方法對(duì)其進(jìn)行定價(jià)。

圖1 住房反向抵押貸款的分類

（二）住房反向抵押貸款的意義

在歐美已經(jīng)盛行幾十年的住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)如果能夠順利引入中國(guó)，便能夠有效解決中國(guó)人口基數(shù)大、老齡化嚴(yán)重造成的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)重的問(wèn)題。我國(guó)自20世紀(jì)80年代實(shí)行計(jì)劃生育以來(lái)，目前出現(xiàn)的“四二一”家庭結(jié)構(gòu)十分普遍，“80后”一代要承擔(dān)四位老人的養(yǎng)老，因此作為金融服務(wù)創(chuàng)新的住房反向抵押貸款，同時(shí)也是養(yǎng)老方式的創(chuàng)新，具有較大的意義。具體表現(xiàn)為：

其一，對(duì)于申請(qǐng)人家庭經(jīng)濟(jì)生活來(lái)說(shuō)，老人通過(guò)住房反向抵押貸款盤活房產(chǎn)價(jià)值，增加了平時(shí)的生活消費(fèi)自由度，同時(shí)也沒(méi)有影響老人的居住問(wèn)題，使得老人在晚年能夠依靠房產(chǎn)價(jià)值有尊嚴(yán)的安度晚年生活。此外對(duì)于“80后”青年一代來(lái)說(shuō)，減輕了他們的養(yǎng)老經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)。

其二，對(duì)于社會(huì)養(yǎng)老保障體系來(lái)說(shuō)，給國(guó)家的養(yǎng)老事業(yè)提供了新的思路和方法，在我國(guó)步入老齡化時(shí)代的背景下，減輕了社會(huì)的養(yǎng)老負(fù)擔(dān)。同時(shí)隨著我國(guó)老齡人口的增加，通過(guò)住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的推進(jìn)，也有效地通過(guò)提高老年人的消費(fèi)能力而拉動(dòng)國(guó)家的內(nèi)需，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)。

其三，對(duì)于金融機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，通過(guò)金融產(chǎn)品創(chuàng)新、金融業(yè)務(wù)擴(kuò)展來(lái)提升自己的競(jìng)爭(zhēng)力。在目前的經(jīng)濟(jì)形勢(shì)下，土地和房產(chǎn)的價(jià)值只增不減，金融機(jī)構(gòu)通過(guò)開(kāi)展住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)來(lái)提高資產(chǎn)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品多元化，開(kāi)辟一片新的金融業(yè)務(wù)領(lǐng)域。

（三）我國(guó)住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)分解

住房反向抵押貸款的牽頭機(jī)構(gòu)是圖2中的“特設(shè)機(jī)構(gòu)”。特設(shè)機(jī)構(gòu)負(fù)責(zé)整個(gè)業(yè)務(wù)流程相關(guān)部門的組織和相關(guān)資源的整合，通過(guò)建立與銀行、保險(xiǎn)公司、政府以及二手房市場(chǎng)的聯(lián)系，最終實(shí)現(xiàn)抵押資產(chǎn)的證券化，盤活固定資產(chǎn)，增加資產(chǎn)的流動(dòng)性。該機(jī)構(gòu)通過(guò)對(duì)市場(chǎng)上大量的同類資產(chǎn)進(jìn)行整理、分類、匯總、打包和精算分析，使業(yè)務(wù)流程更加規(guī)范，產(chǎn)品風(fēng)險(xiǎn)降到最低，資金提供方更容易接受。也就是說(shuō)，特設(shè)機(jī)構(gòu)在整個(gè)業(yè)務(wù)流程中起到了提高各機(jī)構(gòu)運(yùn)營(yíng)效率及協(xié)調(diào)配合程度的作用，通過(guò)業(yè)務(wù)的規(guī)模化開(kāi)展，來(lái)降低機(jī)構(gòu)的業(yè)務(wù)操作成本。

圖2 住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)分解

從圖2中資金流向來(lái)看，特設(shè)機(jī)構(gòu)把從申請(qǐng)人處獲得的房屋產(chǎn)權(quán)抵押給商業(yè)銀行，以此獲得抵押貸款來(lái)支付申請(qǐng)人的定期或一次性的養(yǎng)老費(fèi)用，同時(shí)特設(shè)機(jī)構(gòu)也委托商業(yè)銀行向保險(xiǎn)公司支付投保費(fèi)用，當(dāng)申請(qǐng)人離世后，特設(shè)機(jī)構(gòu)將房屋在二手房市場(chǎng)上拍賣，獲得最終的房款來(lái)償還從銀行的貸款，也就是說(shuō)資金的最終來(lái)源是在二手房市場(chǎng)上擁有閑置資金的購(gòu)房者。從交易關(guān)系來(lái)看，貸款申請(qǐng)人將房屋的所有權(quán)轉(zhuǎn)移給特設(shè)機(jī)構(gòu)，自己保留在離世之前的居住權(quán)，為這一業(yè)務(wù)提供擔(dān)保的是保險(xiǎn)公司，特設(shè)機(jī)構(gòu)以房屋所有權(quán)作為抵押獲得貸款，當(dāng)申請(qǐng)人離世后，特設(shè)機(jī)構(gòu)將房屋出售，房屋產(chǎn)權(quán)從特設(shè)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)移給二手房市場(chǎng)上的購(gòu)買者。

四、定價(jià)思路和模型構(gòu)建

（一）定價(jià)思路

最初的住房反向抵押貸款的定價(jià)是依據(jù)資產(chǎn)定價(jià)模型的原理來(lái)展開(kāi)的，也就是對(duì)一項(xiàng)資產(chǎn)未來(lái)現(xiàn)金流進(jìn)行貼現(xiàn)得到的最終價(jià)值。然而這種定價(jià)方法首先要對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流進(jìn)行確定，還要對(duì)貼現(xiàn)率根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)狀況進(jìn)行調(diào)整，這種調(diào)整是主觀的，也會(huì)造成最終的定價(jià)結(jié)果具有主觀性。因此在這里采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，認(rèn)為貸款申請(qǐng)人是風(fēng)險(xiǎn)中性的，即只要求獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率的回報(bào)，在此前提下，只需要對(duì)未來(lái)現(xiàn)金流的期望值進(jìn)行無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的折算即可得到最后的定價(jià)結(jié)果。前面已經(jīng)提到住房反向抵押貸款根據(jù)貸款人在合同到期前能否提前贖回房屋產(chǎn)權(quán)，可以分為有贖回權(quán)和無(wú)贖回權(quán)的住房反向抵押貸款。這里選擇無(wú)贖回權(quán)的住房反向抵押貸款進(jìn)行研究，那么貸款的期限就完全取決于貸款人的壽命長(zhǎng)短［4］。雖然每位貸款申請(qǐng)人的壽命長(zhǎng)短是不確定的因素，但是當(dāng)貸款人的數(shù)量足夠大時(shí)，就可以根據(jù)大數(shù)法則確定壽命的期望值，也可以通過(guò)查閱壽險(xiǎn)公司的生命表得到平均壽命。因此為了使研究的結(jié)果更加精準(zhǔn)，這里采用保險(xiǎn)精算模型來(lái)進(jìn)行定價(jià)，基于貸款人的生命期限對(duì)房屋價(jià)值進(jìn)行折現(xiàn)，得到的均值就是貸款的最終定價(jià)［5］。由于我國(guó)現(xiàn)在的住房抵押貸款是采用浮動(dòng)利率計(jì)息，因此這里給住房反向抵押貸款定價(jià)時(shí)，也采用浮動(dòng)利率。且做出表1中的假設(shè)：

表1 反向抵押貸款定價(jià)的假設(shè)條件

從前面的分析中，可知決定貸款定價(jià)的主要因素包括利率的變動(dòng)、房屋的未來(lái)價(jià)值、申請(qǐng)人的壽命等，這里選擇純跳模型描述浮動(dòng)利率的變動(dòng)，用布朗運(yùn)動(dòng)描述房屋未來(lái)價(jià)值的變動(dòng)，申請(qǐng)人的壽命可以從壽險(xiǎn)公司最新的生命表中獲得，按照前述的定價(jià)思路就可以對(duì)單生命和雙生命狀態(tài)的貸款進(jìn)行定價(jià)。

（二）定價(jià)模型的構(gòu)建

在定價(jià)模型的構(gòu)建上，考慮到準(zhǔn)確性和實(shí)用性?；陲L(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，選擇使用保險(xiǎn)精算模型，同時(shí)對(duì)前面學(xué)者研究的兩個(gè)缺陷，即固定利率和固定房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率進(jìn)行修正，用蒙特卡羅模擬方法來(lái)模擬浮動(dòng)利率變動(dòng)路徑和房?jī)r(jià)波動(dòng)的布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程，同時(shí)結(jié)合我國(guó)實(shí)際的經(jīng)濟(jì)金融狀況來(lái)選擇和測(cè)度模型參數(shù)。單生命和雙生命狀態(tài)下的定價(jià)模型如下：

1.單生命狀態(tài)下的定價(jià)模型

該定價(jià)模型依據(jù)的思路是申請(qǐng)人最終獲得的貸款總額等于抵押房產(chǎn)期限結(jié)束時(shí)價(jià)值的折現(xiàn)值與各項(xiàng)業(yè)務(wù)費(fèi)用之和［6］。分別算出不同壽命下的貸款產(chǎn)品價(jià)值p(L)，對(duì)其加權(quán)得到最終的產(chǎn)品定價(jià)用Σ表示，用*p(L)表示期限為L(zhǎng)的概率。那么，上述等式左邊和右邊分別表示為：∏∏

左邊：

右邊：

對(duì)等式進(jìn)行整理得到：

表2 單生命定價(jià)模型中參數(shù)符號(hào)及意義

式（3）中的參數(shù)及其意義如表2。

2.雙生命狀態(tài)下的定價(jià)模型

由于本文考慮的是貸款額度的一次性支付，所以對(duì)于夫妻兩人的雙生命狀態(tài)，定價(jià)思路和模型是相同的。不同的是合同期限要截止到最后一個(gè)人離世，因此要算出夫妻二人的聯(lián)合死亡概率［7］?；诖俗罱K整理得到的公式如下：

表3 雙生命定價(jià)模型參數(shù)符號(hào)及意義

從上面的模型中可以看出，決定住房反向抵押貸款定價(jià)的因素主要有利率m、房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率g、貸款申請(qǐng)人的死亡概率

五、住房反向抵押貸款產(chǎn)品定價(jià)實(shí)證分析

為了讓實(shí)證分析更符合實(shí)際情況，這里選擇上海市為例，其原因主要有以下幾點(diǎn)：首先，上海市是國(guó)際性的大都市，這里的居民更能夠接受新的金融產(chǎn)品和服務(wù)；其次，上海市的人均住房占有量較高，在全國(guó)都靠前；再次，上海市的老年人口較多，社會(huì)養(yǎng)老負(fù)擔(dān)較重。

（一）參數(shù)設(shè)定和測(cè)算

1.貸款利率m

在貸款利率變動(dòng)路徑模型的選擇上，結(jié)合我國(guó)實(shí)際情況，貸款利率還沒(méi)有完全市場(chǎng)化，主要參照人民銀行存貸款基準(zhǔn)利率進(jìn)行浮動(dòng)，所以這里采用單純跳躍模型來(lái)描述利率變動(dòng)，即：

式（5）的dpt(c)是泊松過(guò)程，c是跳躍強(qiáng)度；代表隨機(jī)跳躍的幅度，滿足正態(tài)分布，均值為μ，方差為σp2。選擇1990年4月至2018年12月之間的五年以上貸款利率數(shù)據(jù)，以月為基本單位，共有345個(gè)貸款利率數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行差分處理得到344個(gè)數(shù)據(jù)，其中共產(chǎn)生48次跳躍，即跳躍強(qiáng)度c為。在此基礎(chǔ)上對(duì)為μ和σp2進(jìn)行軟件分析與估計(jì)得到：

因此住房反向抵押貸款的利率變動(dòng)過(guò)程可以用式（8）描述：

住房反向抵押貸款從2018年10月開(kāi)始，初始利率m0加上貸款保險(xiǎn)費(fèi)率得到最終的貸款利率為4.9%+0.06%=5.5%。

2.房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率g

早期的學(xué)者對(duì)房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)基本都是建立回歸預(yù)測(cè)模型，即找出影響房?jī)r(jià)的各種因素，建立各種影響因素與房?jī)r(jià)之間的函數(shù)關(guān)系。這種方法要求找出所有變量因素的數(shù)據(jù)，難度較大，可操作性不強(qiáng)，其結(jié)果偏差也較大。因此采用簡(jiǎn)單有效的時(shí)間序列模型來(lái)預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)，房?jī)r(jià)的一階差分這里假設(shè)滿足布朗運(yùn)動(dòng)

式（9）中μH和σH表示房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率和波動(dòng)率，dZH是維納過(guò)程，且t增值率服從N(μHt，σH2t)，H0表示初始t=0時(shí)刻的房屋價(jià)值，此后t>0的房屋價(jià)值Ht為：

式（10）中的Bt～N(0，σH2t)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

由于住房反向抵押貸款需要對(duì)房屋產(chǎn)權(quán)進(jìn)行抵押，因此貸款定價(jià)主要基于二手房市場(chǎng)。選擇上海市2007年12月～2018年12月二手房月度數(shù)據(jù)進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)結(jié)果如表4：

表4 上海市二手房指數(shù)ADF檢驗(yàn)結(jié)果

從表4中可知p=0.6074且比所有參照值都高，不是平穩(wěn)的時(shí)間序列也說(shuō)明房?jī)r(jià)的變動(dòng)是隨機(jī)的，進(jìn)一步對(duì)房?jī)r(jià)波動(dòng)率數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到：

也就是說(shuō)，數(shù)據(jù)滿足下述特征的隨機(jī)游走，其函數(shù)表達(dá)式為式（11）

式（11）中的Bt～N(0.0003798t)

3.死亡概率q

住房反向抵押貸款的貸款額度大小隨著申請(qǐng)人剩余壽命的變化而變化，越靠近死亡時(shí)間，獲得的貸款額度越大。因此需要通過(guò)獲得申請(qǐng)人的死亡概率來(lái)推算合同到期時(shí)間。由于我國(guó)的住房反向抵押貸款沒(méi)有大量的歷史數(shù)據(jù)可供參考，因此在計(jì)算死亡概率時(shí)，這里借助保監(jiān)會(huì)發(fā)布的啟用于2017年1月的第三套生命表，運(yùn)用保險(xiǎn)精算理論，算出死亡概率和預(yù)期余壽（在表6和表7中體現(xiàn)計(jì)算結(jié)果），其中運(yùn)用的死亡率計(jì)算模型如下：

假設(shè)存活率用px表示、死亡率用qx表示為申請(qǐng)人x歲且在t年后繼續(xù)存活的概率、0tqx為申請(qǐng)人x歲且在t年內(nèi)死亡的概率，為申請(qǐng)人x歲且正好在第t年內(nèi)死亡的概率。

將式（15）帶入式（14），就能得到單生命狀態(tài)下的死亡率的計(jì)算公式

同樣的方法，雙生命狀態(tài)下的聯(lián)合死亡率計(jì)算公式為：

即

4.無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率rf

無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率即最低的資金使用成本，在我國(guó)金融市場(chǎng)的發(fā)展還不夠完善，所以國(guó)債利率不能用來(lái)準(zhǔn)確地反映無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。所以這里選擇銀行定期存款利率來(lái)表達(dá)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，由于住房反向抵押貸款具有長(zhǎng)期性的特征，所以這里用最新的五年期銀行定期存款利率來(lái)表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，取值2.75%。

5.費(fèi)率α

由于國(guó)外已經(jīng)實(shí)行住房反向抵押貸款多年，所以這里的各項(xiàng)費(fèi)率采用國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表5。

表5 反向抵押貸款費(fèi)率表

6.房屋折舊率β

雖然我國(guó)規(guī)定的住宅用地使用年限70年，但是房屋建筑材料的使用時(shí)限，質(zhì)檢總局規(guī)定為50年，所以按照對(duì)最低時(shí)限50年的折舊率計(jì)算，采用直線折舊方法，每年的折舊率為2%，另外考慮到土地的稀有性，土地的價(jià)格會(huì)越來(lái)越高，綜上各種因素，這里的房屋折舊率β定為1.8%。

（二）實(shí)證模擬定價(jià)結(jié)果

選擇男性申請(qǐng)人，房屋初始價(jià)值H0為100萬(wàn)，運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法，在假定其他條件不變時(shí)，通過(guò)對(duì)變量利率和房?jī)r(jià)進(jìn)行上萬(wàn)次仿真模擬，對(duì)每一條模擬路徑運(yùn)用前述的單生命和雙生命狀態(tài)下住房反向抵押貸款定價(jià)模型進(jìn)行實(shí)證模擬，最后算出N條路徑的加權(quán)值就是最終的貸款定價(jià)。實(shí)證模擬定價(jià)結(jié)果如表6、表7所示。

表6 單生命狀態(tài)下不同年齡段男性借款人的貸款額度

表7 雙生命狀態(tài)下不同年齡段男性借款人的貸款額度

從表6和表7實(shí)證結(jié)果可知，在當(dāng)前房屋價(jià)值固定為100萬(wàn)元的時(shí)候，申請(qǐng)人所獲得的貸款額度隨著貸款人年齡的增加而逐步增加，因?yàn)橘J款人的年齡越大，其預(yù)期剩余壽命越短，預(yù)期未來(lái)房屋價(jià)值的折現(xiàn)價(jià)值越高，這個(gè)實(shí)證結(jié)論和預(yù)期的假設(shè)是一致的。此外，從該項(xiàng)業(yè)務(wù)開(kāi)展帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)效益來(lái)看，我國(guó)的退休老人在申請(qǐng)這項(xiàng)業(yè)務(wù)之后，以60周歲男性為例，其可支配的養(yǎng)老金額在原來(lái)的社保水平基礎(chǔ)上，提高約40萬(wàn)元的一次性可支配收入，大大提高了退休老人的生活幸福指數(shù)。

不過(guò)值得注意的是，我國(guó)的金融市場(chǎng)目前還沒(méi)有達(dá)到發(fā)達(dá)國(guó)家程度，利率市場(chǎng)化進(jìn)程有待推進(jìn)，房地產(chǎn)市場(chǎng)整頓的呼聲較高，加上住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)是一種周期較長(zhǎng)的業(yè)務(wù)，其面臨的不確定因素和風(fēng)險(xiǎn)太多，包括申請(qǐng)人的信用狀況和身體狀況等。因此我國(guó)的住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)需要根據(jù)實(shí)際情況謹(jǐn)慎且循序漸進(jìn)的開(kāi)展。