王大鵬，葉繼飛，李南雷，王 青，王健博

(1.航天工程大學，激光推進及其應用國家重點實驗室，北京 101416；2.西安衛(wèi)星測控中心，陜西西安 710043)

0 引言

基于多顆微小衛(wèi)星的編隊、集群、星座，可承擔更為復雜的空間任務[1]，是未來衛(wèi)星技術發(fā)展的趨勢之一[2]。微推力器是微小衛(wèi)星的關鍵部件，其推進性能直接影響航天器空間任務的完成[3]。單脈沖沖量是衡量微推力器推進性能的重要參數(shù)之一，大小通常在10-8～10-3N·s量級，需要在工程應用前對其進行精確測量。

目前測量原理基本都是基于力的動力效果，將沖量測量轉換為測量臺架的振動幅值或轉動位移[4]，典型裝置有扭擺結構[5]與單擺結構[6]。無論是扭擺結構還是單擺結構，都需要將推力器與測量裝置固連，屬于直接測量法，存在易受介質供應管路及測控電纜影響、推力器及附件工作引入噪聲等局限性[7]。尤其當推力器在研發(fā)階段，工作附件較多，以及裝星后測試時，采用扭擺及單擺結構難以進行測量[8]。然而，當采用間接測量法時，測量的是推力器噴射羽流沖擊力，為非接觸測量，可以避免以上問題。間接法中，懸臂梁結構簡單，加工方便，測量時既作為噴射羽流的承接元件，又作為形變元件，還可根據(jù)測量需求改變尺寸以調整工作頻帶，已成為間接法中廣泛應用的力學結構。

目前，懸臂梁已廣泛應用于推力器穩(wěn)態(tài)推力的測量[9-11]，所依據(jù)的原理是穩(wěn)態(tài)彎曲量與外力大小成線性關系。相比之下，對于沖量測量的研究相對較少，測量理論顯得不足。文獻[12]采用懸臂梁測量激光燒蝕推進工質產生的μN·s量級沖量，但在標定系統(tǒng)參數(shù)時并沒有考慮懸臂梁高頻振動的影響。其他領域，文獻[13]介紹了懸臂梁在N·s量級脈沖電子束噴射沖量測量中的應用，也未考慮高頻影響。

本文在懸臂梁動力學模型的基礎上，將高頻振動考慮在內，確定了測量系統(tǒng)傳遞函數(shù)。在分析系統(tǒng)脈沖響應特性的基礎上，確定了沖量解算及參數(shù)標定方法，最后搭建了實驗平臺，通過實驗驗證了測量方法的正確性，并分析了測量誤差。

1 系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建立

單位脈沖力的Laplace變換為1，求得單位脈沖下系統(tǒng)響應，做Laplace變換即可求得測量系統(tǒng)傳遞函數(shù)。

1.1 懸臂梁動力學模型

懸臂梁結構模型如圖1所示，截面尺寸為w×h，長度為l，密度為ρ。將阻尼視為線性阻尼，阻尼系數(shù)為c，在分布載荷f(x,t)作用下，彎曲振動方程為[14]

(1)

式中：y(x,t)為x處撓度;E為楊氏模量;I為截面二次矩,I=wh3/12；ρ1為單位長度質量。

圖1 懸臂梁結構模型

根據(jù)懸臂梁邊界條件，系統(tǒng)響應是無窮階主振動的疊加：

(2)

式中：φi(x)、Qi(t)分別為i階主振動的模態(tài)函數(shù)、時間函數(shù)。

i階固有頻率ωi為

(3)

式中：ωi為角頻率，rad/s；ω1為振動基頻；ωi(i≥2)為振動高頻。

βl由頻率方程cosβlchβl+1=0確定。模態(tài)函數(shù)φi(x)為

φi(x)=cosβix-chβix+ξi(sinβix-shβix)

(4)

(5)

1.2 傳遞函數(shù)求解

為研究方便，將噴射羽流沖擊力等效為作用于lf位置處瞬時集中作用力，瞬間沖量為S，則單位長度沖量為Sδ(x-lf)。

零初始條件下，S=1時，在x=lf處取單位長度桿，根據(jù)動量增量等于外力沖量可得：

(6)

則梁的初始條件為

(7)

將初始條件帶入式(2)可得：

Qi(0)=0

(8)

(9)

上式兩端乘以φj(x)(j=1,2,…)，并對x積分，根據(jù)懸臂梁模態(tài)正交性可得：

(10)

瞬間沖擊力作用后，懸臂梁開始自由振動。令式(1)中f(x,t)=0，將式(2)帶入式(1)并乘以φj(x)，結合懸臂梁模態(tài)正交性可得:

(11)

(12)

將阻尼系數(shù)表示為c=2ρlζjωj，ζj為各階振動的阻尼比。根據(jù)式(2)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(x,s)為

(13)

因而，懸臂梁測量系統(tǒng)結構上等效于無數(shù)個增益值為Ki(x,lf)，固有頻率為ωj，阻尼比為ζi的二階欠阻尼子系統(tǒng)的并聯(lián)，如圖2所示。

圖2 懸臂梁測量系統(tǒng)簡化結構圖

2 沖量測量方法

在分析懸臂梁脈沖響應特性的基礎上，確定沖量解算及參數(shù)標定方法。

2.1 沖量解算方法

脈沖力Sδ(x-lf)作用時，R(s)=L[Sδ(x-lf)]=S，根據(jù)式(13)，系統(tǒng)響應為

(14)

易得系統(tǒng)脈沖響應在時域表達式為

(15)

令y′(x,t)=0，可得第i階響應的第j個極值點對應時間tj為

(16)

將式(16)帶入式(15)中，可得第j個極值點Pj為

(17)

其中，j=1 時，即t1=φi/ωdi時，可得yi(x,t)最大值：

(18)

式(18)表明，[yi(x,t)]max值與沖量大小S為線性關系，線性系數(shù)記為Mi。

相對于基頻振動，高階振動可視為噪音干擾。測量得到y(tǒng)(x,t)，通過低通濾波得到y(tǒng)1(x,t)，求得[y1(x,t)]max，標定出M1大小，即可解算出S大?。?/p>

(19)

2.2 參數(shù)標定方法

式(19)中，M1為待標定參數(shù)。由于實際中很難精確產生一定大小沖量的脈沖力，M1無法直接標定，需根據(jù)其他參數(shù)標定結果間接計算M1。由式(18)可得：

(20)

可以通過標定出K1(x,lf)、ω1、ζ1，再計算得到M1。

K1(x,lf)為一階子系統(tǒng)增益值，階躍力f0δ(x-lf)作用下，一階子系統(tǒng)響應及系統(tǒng)響應的終值分別為

(21)

推力測量中，受溫度、推進劑噴射粒子等因素影響，懸臂梁性能參數(shù)可能發(fā)生變化，需要在測量中進行現(xiàn)場標定[15]，電磁力為常用標定力形式[16]，本文通過電磁力方法產生f0δ(x-lf)，進行動態(tài)標定。

階躍響應的動態(tài)分量在阻尼的作用下逐漸衰減，t=∞時，動態(tài)分量衰減至零，而穩(wěn)態(tài)分量在外力作用下一直存在，最終結果與靜態(tài)加載外力(加載過程極其緩慢)相同。由梁的彎曲方程，集中力載荷f0作用在lf處，x處撓度(位移)v(x)表達式為

(22)

式中k(x,lf)反映了外力與彎曲量之間的比例關系，與x處剛度系數(shù)為倒數(shù)關系。

綜合式(21)、式(22)可得：

(23)

式(23)表明，系統(tǒng)增益值等于位移測量位置剛度系數(shù)的倒數(shù)。根據(jù)式(21)、式(23)，η可表示為

(24)

η確定后，帶入式(21)可得：

(25)

ω1、ζ1為一階振動固有參數(shù)，可以通過自由振動法標定得到：加載脈沖力(控制標定力的快速加載、卸載)獲得，脈沖力大小不需明確。對系統(tǒng)響應做低通濾波得到一階子系統(tǒng)響應，根據(jù)式(17)，相鄰極大值或極小值的幅值比為

(26)

由上式可計算得ζ1：

(27)

相鄰極大值或極小值時間間隔即為Td1，進而可得到ω1為

(28)

將ζ1、ωd1代入式(28)后，即可求得ω1。

綜合以上，參數(shù)標定步驟如下：

(1)加載持續(xù)恒定標定力f0，根據(jù)系統(tǒng)階躍響應計算y(x,∞)，再計算η，通過y(x,∞)η/f0計算得到K1(x,lf)；

(2)加載脈沖力，對系統(tǒng)響應低通濾波得到一階子系統(tǒng)響應，標定得到ζ1、ω1；

(3)將K1(x,lf)、ζ1、ω1帶入式(20)求M1。

3 實驗驗證

3.1 實驗平臺及實驗步驟

實驗平臺由推進器、測量模塊及控制模塊組成，如圖3所示。

圖3 基于懸臂梁結構的推力測量平臺結構圖

推進器為冷氣推進器樣機；測量模塊主要負責將沖擊力轉變?yōu)槲灰菩盘枺豢刂颇K主要用于控制測量模塊及推進器工作，接收測量模塊輸出的位移信號以及推進器輸出的入口壓力值。由于建立測量模型時將沖擊力等效為集中載荷，因而推進器噴口面積要小。同時，輸出沖量大小在μN·s～mN·s之間，滿足微沖量測量的應用背景。

測量模塊及推進器如圖4所示。整個推進器集成于一個平板上，噴嘴直徑為1 mm。計算機接收并顯示無線壓力變送器發(fā)送的噴口前壓力值。懸臂梁(304不銹鋼，210 mm×40 mm×0.3 mm)與線圈、位移傳感器探頭通過同一個光學平板固定在電動位移臺上，電動位移臺用于調節(jié)噴口與懸臂梁之間的距離。

圖4 基于懸臂梁結構的測量系統(tǒng)

粘貼在懸臂梁上的磁鐵(Φ6 mm×1.5 mm，質量為0.29 g，材料為N35)與線圈(30匝)構成標定力產生裝置。經過電子天平標定，線圈電流為0.1 A時，電磁力大小為0.511 mN。位移傳感器為電容式位移傳感器(分辨力為30 nm，量程為1 mm)，該傳感器基于變極距電容原理測量位移[17]，可以直接以數(shù)字量形式輸出懸臂梁位移響應?；诖_定的沖量解算及參數(shù)標定方法，可確定實驗步驟如下：

(1)標定M1。施加恒定標定力得到K1(x,lf)，再施加脈沖力，標定得到ζ1、ω1。最后根據(jù)K1(x,lf)、ζ1、ω1，計算出M1大小。

(2)計算[y1(x,t)]max?？刂仆七M器輸出脈沖力后，對懸臂梁系統(tǒng)響應y(x,t)低通濾波，得到y(tǒng)1(x,t)，求取最大值得到[y1(x,t)]max。

(3)解算沖量S大小。根據(jù)式(19)，通過[y1(x,t)]max及M1求解S。

3.2 實驗結果

3.2.1 參數(shù)標定

在位移測量臂長x=106 mm，采樣率ωs=1.041 7 kHz，標定力f0力臂lf=174 mm時，控制線圈電流依次輸出0.1、0.2、0.3 A，對應f0為0.511 、1.022、1.533 mN(斥力)，然后逐漸減小到0.1 A時，懸臂梁響應如圖5所示。

圖5 標定力逐漸增大、減小時懸臂梁響應

由圖5可得，標定力作用下，系統(tǒng)經過動態(tài)振動，最終穩(wěn)定在新的平衡位置。卸載標定力后，系統(tǒng)回到初始平衡位置。不同大小f0穩(wěn)態(tài)位移y(x,∞)分別等于25.310 1 、60.621 2、75.632 7 μm，可求得系統(tǒng)增益系數(shù)K(x,lf)=4.953×10-2。根據(jù)式(24)，可計算得η=0.962 7，則K1(x,lf)=4.768×10-2。

設置線圈電流為0.1 A，快速加載、卸載電流輸出脈沖力時，系統(tǒng)響應如圖6所示。電磁脈沖力作用后，振幅圍繞初始零點位置逐漸衰減。

圖6 電磁脈沖力作用下懸臂梁系統(tǒng)響應

對系統(tǒng)響應頻譜分析，得到ωd1=6.393 9 Hz。設計42階、截止頻率為8 Hz的fir1低通數(shù)字濾波器，濾波后系統(tǒng)響應及極值點如圖7所示。對比圖6可得，濾波前，受環(huán)境噪聲及懸臂梁本身高頻振動的影響，系統(tǒng)響應振幅雖然在總體上呈現(xiàn)減小趨勢，但在小區(qū)間內還出現(xiàn)幅值增大的現(xiàn)象。濾波后，振動曲線變得平滑，振幅隨時間連續(xù)減小。

圖7 電磁脈沖力響應極值點

將圖7中極值點大小及對應的時間帶入式(27)、式(28)，可計算得ζ1=3.2×10-3,ω1=6.393 9 Hz(平均值)。在求得K1(x,lf)、ζ1及ω1后，根據(jù)式(20)可計算得M1==4.466 1。

3.2.2 沖量解算

設置開關工作時間為18 ms，保持入口壓力為0.45 MPa。設置噴口距離懸臂梁距離為24 μm(通過與扭擺測量結果對比，噴口與懸臂梁軸向距離為24 μm時，懸臂梁測量得到的持續(xù)沖擊力與實際推力誤差最小)，推進器輸出脈沖力后，懸臂梁響應濾波后如圖8所示。

圖8 推力脈沖力作用下懸臂梁響應曲線

與圖6中電磁脈沖力響應曲線對比，圖8中最大位移位于零點以下，這是因為脈沖力與電磁力作用方向相反。根據(jù)圖8，可求得[y1(x,t)]max=85.419 5μm，已標定得到M1=4.466 1，則推進器脈沖力沖量大小為

(29)

保持推進器工況不變，測量5次，得到該工況下S的平均值為1.879 2×10-5N·s，標準差為3.510 9×10-7N·s。

3.2.3 誤差分析

采用非接觸測量方式時，由于氣流的發(fā)散及反射氣流對來流等的影響等因素，一部分氣流并沒有作用在懸臂梁上，懸臂梁測量得到的沖量值與推力器沖量實際值還存在一定誤差。將作用在懸臂梁上的沖量部分的測量誤差記為US1，作用在懸臂梁上的沖量值與推進器沖量誤差記為US2，實際沖量測量誤差記為US。

M1由K1(x,lf)、ζ1及ω1計算得到。ζ1由y1(x,t)中極值點計算得到，由式(27)，極值點測量誤差對ζ1影響較小，同時，ζ1通過多組相鄰極值點計算得到，ζ1誤差的可忽略。ωd1只與極值點間隔有關，與極值點的大小無關，ωd1誤差可忽略，又ζ1誤差忽略，故ω1誤差忽略。因而，M1誤差主要受k1(x,lf)影響，而K1(x,lf)通過K(x,lf)計算得到，K(x,lf)誤差主要受標定力誤差影響。標定力為1.210%，可認為K1(x,lf)誤差為1.210%，則UM=1.210%。綜合以上分析，US1大小為

(30)

確定US1大小后，通過實驗確定進行US2大小。設置推進器相同的工況，將推進器直接搭載在扭擺橫梁上進行測量。扭擺原理結構如圖9所示。推力作用于橫梁上時，橫梁在水平面內轉動，扭轉角通過位移傳感器測量橫梁的線位移得到。

圖9 扭擺原理結構圖

考慮扭擺測量誤差在內，扭擺測量結果為2.024×10-5N·s。將懸臂梁測量結果與扭擺結果進行對比，可得US2=-7.170%。

確定US1及SS2后，可得懸臂梁結構測量推進器脈沖力沖量誤差US：

(31)

4 結論

(1)懸臂梁測量系統(tǒng)在結構上為無窮多個欠阻尼二階子系統(tǒng)的并聯(lián)，系統(tǒng)增益值與位移測量位置的剛度系數(shù)為倒數(shù)關系；

(2)一階子系統(tǒng)脈沖響應的最大位移與脈沖力沖量大小為線性關系，線性系數(shù)大小由一階子系統(tǒng)增益值、阻尼比及固有振動頻率決定。求出一階子系統(tǒng)響應最大位移，標定出線性系數(shù)后，即可計算出沖量大小，此時懸臂梁測量系統(tǒng)可視為帶有噪音的二階欠阻尼系統(tǒng)；

(3)一階子系統(tǒng)的阻尼比及固有振動頻率通過自由振動法標定得到，增益值需要根據(jù)系統(tǒng)增益與一階子系統(tǒng)增益的比值求出。

本文將高頻振動考慮在內，提出并實驗驗證了所提出的微沖量測量方法。通過綜合分析懸臂梁本身測量沖擊力誤差及間接法的測量誤差，得到微沖量測量的相對誤差為7.30%，下一步研究重點是進一步細化誤差分析。