廣東省佛山市華英學(xué)校(528000) 黎春玉

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 吳統(tǒng)勝

思維導(dǎo)圖作為一種行之有效的思維工具,不僅對(duì)學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)很有幫助,在學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中更是占據(jù)著無可替代的位置,發(fā)揮著不可估量的作用.思維導(dǎo)圖更可以作為一種高效的學(xué)習(xí)模式被應(yīng)用到復(fù)習(xí)過程當(dāng)中,它不僅能改善學(xué)生的認(rèn)知方式,提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效果,還能提高學(xué)生整合知識(shí)的能力,對(duì)學(xué)生進(jìn)行建構(gòu)性學(xué)習(xí)有很大的促進(jìn)作用,是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和思維能力的有效手段.

通過建構(gòu)“勾股定理的思維導(dǎo)圖”對(duì)這一章進(jìn)行知識(shí)的“回顧與思考”,梳理知識(shí)結(jié)構(gòu),形成知識(shí)系統(tǒng),不僅可以培養(yǎng)學(xué)生回顧與反思的習(xí)慣,更能促進(jìn)學(xué)生獲得知識(shí)系統(tǒng)的自主建構(gòu)能力.當(dāng)然,知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)并不是“空對(duì)空”的回憶,還需要借助典型問題,對(duì)有關(guān)重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行鞏固運(yùn)用.借助思維導(dǎo)圖可以把知識(shí)系統(tǒng)的建構(gòu)與典型例析有機(jī)結(jié)合起來,達(dá)到關(guān)注知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程,關(guān)注學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的水平,關(guān)注學(xué)生在解決問題方法的多樣性、解決問題之后的回顧與反思、變式拓展等目標(biāo).

本節(jié)復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)思路是首先建構(gòu)“勾股定理”思維導(dǎo)圖,然后依托思維導(dǎo)圖,構(gòu)建高效的復(fù)習(xí)課堂.

首先讓學(xué)生翻看北師大版八年級(jí)上冊(cè)教材重現(xiàn)勾股定理這一章的知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程,由于勾股定理這一章知識(shí)點(diǎn)較少,知識(shí)梳理相對(duì)簡(jiǎn)單,在教師的引導(dǎo)下學(xué)生能完成本章知識(shí)系統(tǒng)的初步建構(gòu)：

下面在引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識(shí)的基礎(chǔ)上,對(duì)學(xué)生初步建構(gòu)的知識(shí)系統(tǒng)架構(gòu)進(jìn)行添磚加瓦,逐步完善本章思維導(dǎo)圖的建構(gòu),展開高效復(fù)習(xí)課堂：

一、回顧探索與驗(yàn)證勾股定理的過程,揭示勾股定理的探索與驗(yàn)證活動(dòng)過程所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)思想,如數(shù)形結(jié)合、化歸思想等,由代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)幾何圖形,由有關(guān)幾何圖形聯(lián)想到代數(shù)表示,從而滲透數(shù)形結(jié)合思想,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.

(一)呈現(xiàn)勾股定理探索與驗(yàn)證的知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程,滲透由特殊到一般的化歸思想以及數(shù)形結(jié)合思想.

圖1

SA+SB=SC?a2+b2=c2

典型例析目的是考察學(xué)生對(duì)勾股定理的驗(yàn)證過程的掌握情況,關(guān)注學(xué)生的過程性學(xué)習(xí).

如圖2,有四個(gè)全等的直角三角形,它們的兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,以及一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形,請(qǐng)用所給的圖形拼成一個(gè)可以證明勾股定理的圖案．

(1)畫出你拼成的圖形.

(2)用你所畫圖形證明勾股定理.

圖2

(二)引導(dǎo)學(xué)生思考勾股定理與完全平方公式這兩者驗(yàn)證過程之間的聯(lián)系.增強(qiáng)學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)間關(guān)聯(lián)的反思和總結(jié)能力,滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

圖3

共性(1)都是利用a2幾何的意義是邊長(zhǎng)為a的正方形的面積進(jìn)行構(gòu)圖；

(2)都對(duì)所構(gòu)的圖形進(jìn)行割補(bǔ)；

(3)利用同一個(gè)圖形的不同面積計(jì)算方法解決恒等式的證明.

典型例題(課本第17頁第7題)據(jù)傳當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯,借助如圖4所示的兩個(gè)圖形,驗(yàn)證了勾股定理,你能說說其中的道理嗎?

圖4

(三)勾股定理驗(yàn)證過程的知識(shí)拓展一：引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出勾股定理證明過程中格點(diǎn)正方形的面積的多種計(jì)算方法,關(guān)注學(xué)生解決問題的方法多樣性.

圖5

(四)勾股定理驗(yàn)證過程的知識(shí)拓展二：知識(shí)的進(jìn)一步拓展由格點(diǎn)正方形的面積計(jì)算拓展到一般的格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算,繼續(xù)滲透特殊到一般的數(shù)學(xué)化歸思想.

圖6

(1)在圖6-2中對(duì)于格點(diǎn)△ABC你能提出哪些問題?

問題1：上述的哪些計(jì)算方法能遷移到計(jì)算格點(diǎn)△ABC的面積?

問題2：你能判斷格點(diǎn)△ABC是不是直角三角形?(勾股定理及其逆定理的應(yīng)用)

問題3：你還能解決什么問題?(比如格點(diǎn)△ABC的AB、AC邊上的高)

(2)求圖6-3中格點(diǎn)四邊形的面積.

(五)勾股定理驗(yàn)證過程的知識(shí)拓展三：勾股定理的逆向應(yīng)用,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

典型例題(課本第17頁第9題)如圖7,方格紙上每個(gè)小正方形的面積為1個(gè)單位.

圖7

(1)在方格紙上,以線段AB為邊畫正方形并計(jì)算所畫正方形的面積,解釋你的計(jì)算方法；

(2)你能在圖上畫出面積依次為5個(gè)單位、10個(gè)單位、13個(gè)單位的正方形嗎?

二、引導(dǎo)學(xué)生翻看教材,對(duì)勾股定理及其逆定理的綜合應(yīng)用進(jìn)行舉例及變式.引導(dǎo)學(xué)生回歸課本,加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整合能力.

例1在四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,求四邊形ABCD的面積.(課本第9頁例題變式)

例2在正方形ABCD中,AB=4,AE=2,DF=1,DA=4,圖9中有幾個(gè)直角三角形?你是如何判斷?(課本第10頁隨堂練習(xí)2)

圖8

圖9

三、引導(dǎo)學(xué)生翻看教材,舉例說明勾股定理的實(shí)際應(yīng)用,并對(duì)典型例題進(jìn)行分類整合.

(一)應(yīng)用一 解決不在同一平面內(nèi)兩點(diǎn)間最短路徑問題.滲透數(shù)學(xué)的化歸思想：把不在同一平面內(nèi)兩點(diǎn)間最短路徑問題通過平面展開圖化歸為同一平面內(nèi)“兩點(diǎn)之間,線段最短”問題.關(guān)注學(xué)生解決問題之后的回顧與反思.

典型例析(課本第13頁引例)如圖10所示,有一個(gè)圓柱,它的高等于12cm,底面上的圓的周長(zhǎng)等于18cm,在圓柱下底面的點(diǎn)A有一只螞蟻,它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物,沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少?

圖10

解將圓柱體的側(cè)面展開,連接A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,根據(jù)題意可得：AC=12cm,BC=9cm 在△ABC中,∠C=90°,所以AB2=AC2+BC2=122+92=225=152,所以AB=15cm,所以沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是15cm.所以它需爬行的最短路程約是15cm.

典型例析(課本第19頁第12題)如圖11,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm,寬為10cm,高為20cm,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5cm,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短距離是多少?

圖11

分析由于長(zhǎng)方體表面展開的方式很多,不同的展開方式下最短路徑有所不同,因此學(xué)生在課堂訓(xùn)練有可能在分類討論時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)漏,所以課堂上教師有必要給予一定的指導(dǎo)和示范,以達(dá)到掃除盲點(diǎn)的目的.

解將長(zhǎng)方體表面展開,連接A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

(1)如圖,BD=10+5=15,AD=20,由勾股定理得：AB2=AD2+BD2=152+202=625=252.

(2)如圖,BD=20+5=25,AD=10,由勾股定理得,AB2=AD2+BD2=102+252=725.

(3)如圖,BC=5,AC=20+10=30,由勾股定理得：AB2=BC2+AC2=52+302=925.

因?yàn)?25＜725＜925,所以需要爬行的最短距離是25cm.

(二)應(yīng)用二 能否通過問題.關(guān)注學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力水平.

典型例析(課本第197頁第27題)一輛卡車裝滿貨物后,高4米,寬2.8米,這輛卡車能通過橫截面如圖12所示(上方是一個(gè)半圓)的隧道嗎?

分析此題無論是理解題意、應(yīng)用知識(shí)解決問題還是解題的規(guī)范表達(dá)對(duì)學(xué)生來說存在一定的困難,課堂上教師應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形,借助圖形進(jìn)行分析,最終化歸為勾股定理的應(yīng)用,并示范解題過程.解如圖,由題意得,在 Rt△OAB中,AB2=OA2-OB2=22-1.42=2.04,因?yàn)?.04＞1.96,所以AB＞1.4,所以此時(shí)隧道能通過的最大高度：AH=AB+BH＞2.6+1.4=4(米),所以這輛卡車能通過此隧道.

磷肥是作物必需的第二大營(yíng)養(yǎng)元素肥料，對(duì)促進(jìn)作物生長(zhǎng)和保障糧食安全有著非常重要的作用。據(jù)中國(guó)工程院院士、中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)教授張福鎖介紹，上個(gè)世紀(jì)80年代，我國(guó)土壤中的含磷量非常低，全國(guó)大約有80%的土壤缺磷，合理搭配施用磷肥對(duì)作物增產(chǎn)的效果非常明顯?！白詮挠辛肆追?，我國(guó)的糧食產(chǎn)量才開始大幅增長(zhǎng)。可以說，如果沒有磷肥和磷肥工業(yè)的支撐，中國(guó)的糧食安全就無法得到保障?！睆埜ｆi表示，“多年來，中國(guó)磷復(fù)肥大國(guó)地位持續(xù)鞏固，在技術(shù)、裝備、產(chǎn)品、服務(wù)創(chuàng)新等方面不斷實(shí)現(xiàn)超越。”

圖12

(三)應(yīng)用三 勾股定理應(yīng)用中所涉及的建模思想、方程思想.滲透數(shù)學(xué)建模思想.關(guān)注學(xué)生在解決問題之后的回顧與反思、變式拓展.

1.典型題目(課本P15第5題)在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問題：有一個(gè)水池,水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形,在水池正中央長(zhǎng)有一根蘆葦,蘆葦露出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向岸邊,它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面,請(qǐng)問這個(gè)水池深和這根蘆葦各是多少尺?

圖13

2.典型例析如圖14,有一個(gè)直角三角形紙片ABC,兩直角邊AC=3,BC=4,現(xiàn)將直角邊AC沿線段AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,則CD的長(zhǎng)是多少?

圖14

分析由于學(xué)生初步接觸幾何中的折疊問題,所以不宜作為課堂學(xué)習(xí)的起始問題,但可以作為復(fù)習(xí)課中的知識(shí)拓展,目的是通過本題的分析和解答過程,培養(yǎng)學(xué)生標(biāo)注圖形信息的習(xí)慣.引導(dǎo)如下：

(1)圖中哪些線段是已知的?哪些線段易求得?請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)注出來.

(2)若設(shè)CD為x,圖中哪些線段能用x表示,請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)注出來.

(3)用哪些知識(shí)能建立x的方程?

解因?yàn)閮芍苯沁匒C=3,BC=4,根據(jù)勾股定理得,AB=5,由折疊得,DE=CD,AC=AE=3,∠DEB=90°,設(shè)CD=xcm,則BD=(12-x)cm,在 Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2,即x2+(5-3)2=(4-x)2,解得：x=1.5,所以CD的長(zhǎng)是1.5.

變式1如圖15,有一個(gè)直角三角形紙片,兩直角邊AC=3,BC=4,現(xiàn)將直角邊BC沿線段BD折疊,使它落在斜邊AB上,且與BE重合,則CD的長(zhǎng)是多少?

變式2如圖16,已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=4,BC=5,在邊CD上取一點(diǎn)E,將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F,則CE的長(zhǎng)是多少?

圖15

圖16

本節(jié)課對(duì)勾股定理這一章進(jìn)行復(fù)習(xí),依托思維導(dǎo)圖來回憶勾股定理所有的知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)的知識(shí).先構(gòu)建一個(gè)總體的框架,再逐條進(jìn)行挖掘和深化,把要復(fù)習(xí)的內(nèi)容直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行梳理,激發(fā)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的記憶,使學(xué)生在回顧知識(shí)的同時(shí),構(gòu)建一個(gè)清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)框架.使學(xué)生在此過程中形成對(duì)勾股定理這一章知識(shí)總體的把握和直觀的認(rèn)識(shí),從而在實(shí)際的解題中,可以更加快速、輕松地找到解題方法.

通過課堂教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生對(duì)勾股定理這一章的知識(shí)進(jìn)行回顧、思考、分類、重組,并借助典型的例析作為知識(shí)的載體,滲透數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、建模思想、方程思想等數(shù)學(xué)思想,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì),促進(jìn)學(xué)生最終建構(gòu)和生成如右側(cè)的勾股定理思維導(dǎo)圖.

在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中應(yīng)用思維導(dǎo)圖,不僅能在復(fù)習(xí)課上啟迪學(xué)生的思維再現(xiàn),讓學(xué)生在思維再現(xiàn)的過程中溫故而知新,還能讓學(xué)生的知識(shí)與技能的儲(chǔ)備得到系統(tǒng)性的建構(gòu)和完善.學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中不僅注重解題方法和技巧的積累,更注重方法與經(jīng)驗(yàn)的總結(jié),不僅解決了學(xué)生原先存在的思維困惑和誤區(qū),還提升了學(xué)生的思維站位高度,并能在一定程度上減輕教師的教學(xué)負(fù)擔(dān),活躍課堂氣氛,極大地提高了數(shù)學(xué)課堂的復(fù)習(xí)效果.

常言道：“授人以魚,不如授人以漁.”著名教育家葉圣陶先生也曾說過：“我以為好的先生不是教書,不是教學(xué)生,乃是教學(xué)生學(xué).”依托思維導(dǎo)圖,通過教師的精心備課和巧妙設(shè)計(jì),構(gòu)建高效課堂,較大限度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程,不僅達(dá)成了“授之以漁”的良好教學(xué)效果,還能達(dá)到師生之間共“漁”的效果,讓學(xué)生在不知不覺中完成了知識(shí)的建構(gòu)、方法的達(dá)成、思想的滲透,真正夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ),并使知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化,還能深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的認(rèn)識(shí)和理解,真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的思想和知識(shí)的結(jié)構(gòu),促進(jìn)其創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展,充分調(diào)動(dòng)和發(fā)揮出學(xué)生的內(nèi)在潛能,是教學(xué)中的“潤(rùn)物細(xì)無聲”.