江蘇省南京市第二十九中學致遠校區(qū)(210029) 王玉佳

1、引言

G·波利亞曾指出：數(shù)學有兩個側(cè)面,一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學,從這個方面看數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但另一方面,創(chuàng)造過程中的數(shù)學看起來都像一門試驗性的歸納科學.數(shù)學需要實驗.數(shù)學實驗以學生活動為主,有助于為學生提供一定的時間和空間,供學生自主發(fā)現(xiàn)問題、研究問題,充分發(fā)揮學生的自主性,培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力.

《數(shù)學課程標準》中指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.”“學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”數(shù)學實驗是教師根據(jù)數(shù)學問題或其中各種元素所創(chuàng)設的問題情境,在這情境下,學生通過觀察、操作、實踐、試驗等活動,自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、驗證問題,總結新結論.數(shù)學實驗不是讓學生被動地接受教科書上或教師講授的現(xiàn)成結論,而是讓學生從自己已有的“數(shù)學經(jīng)驗”出發(fā),通過動手、動腦去獲得新的數(shù)學經(jīng)驗,逐步構建并完善、發(fā)展自己的數(shù)學認知結構,有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和應用能力,還有利于培養(yǎng)學生的合作精神.

2、課堂教學中的探索與實踐

2.1 數(shù)學實驗在課堂教學中的定位

(一)數(shù)學實驗的基本理念

數(shù)學實驗是讓學生借助于一定的物質(zhì)儀器或技術手段,并在數(shù)學思想和數(shù)學理論的指導下,借助于對實驗素材進行數(shù)學化的操作來學(理解)數(shù)學、用(解釋)數(shù)學或做(建構)數(shù)學的一類數(shù)學學習活動.

(二)數(shù)學實驗的特點

數(shù)學實驗使學生“從教學的旁觀者變成教學的參與者”,它幫助學生培養(yǎng)創(chuàng)造性思維,積累基本活動經(jīng)驗,是數(shù)學教學的必要補充,體現(xiàn)了全面的、現(xiàn)代的數(shù)學觀.

數(shù)學實驗是過程式教學,體現(xiàn)了動態(tài)的數(shù)學教學觀,它包含問題、語言、方法、命題四個要素,其中要用語言描述問題,用方法解決問題,結果以命題的形式呈現(xiàn),完成過程式的教學.

(三)數(shù)學實驗實施的方向

從學生已有知識與經(jīng)驗出發(fā),通過自主探究、動手實踐、合作交流,發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題,促進學生進一步體驗數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系,提高對數(shù)學學習的認識.讓學生綜合地、整體地運用所學知識解決問題,在鞏固數(shù)學知識的縱向聯(lián)系的同時,增強學科間知識的橫向聯(lián)系,促進學生知識體系的完整性.加深學生對所學知識的理解,使得學生的學習方式得到真正的轉(zhuǎn)變.

2.2 數(shù)學實驗的原則

數(shù)學實驗考慮教學硬件設施、所學內(nèi)容、學生能力,應材施教、因地制宜.在數(shù)學實驗中,學生是活動的主人,教師是組織者、引導者與合作者,教師要充分發(fā)揮主導作用.引導學生在“做”中學、“做”中思考,讓學生養(yǎng)成思考問題、發(fā)現(xiàn)問題,提出猜想、驗證猜想的獨立處理問題的好習慣.因此應該考慮如下主要原則：

(一)數(shù)學思想和實踐緊密結合的原則

數(shù)學是一門應用性和實踐性很強的科學,它與人類的生產(chǎn)、生活實際緊密相連.在傳統(tǒng)的教學中,忽視了其應用性,導致學生認為數(shù)學僅僅可以在邏輯推理證明定理和假設,將實驗與學生的實際生活割裂開來,使學生逐漸失去了對數(shù)學的興趣.

讓學生真正理解數(shù)學、運用數(shù)學,我們不僅要引導學生把生活經(jīng)驗運用到數(shù)學的學習中來,還要反過來引導學生主動觀察、體會生活中的數(shù)學,用所學的數(shù)學知識解決生活中的實際問題；面對新的數(shù)學知識,主動尋求其實際背景,通過已有知識探索其應用價值；面對實際問題,主動嘗試從數(shù)學的角度運用所學知識和方法尋求解決的策略.

因此,在數(shù)學教學中,需要注重強化了數(shù)學實驗的應用性,將數(shù)學實驗與學生的日常生活實際緊密聯(lián)系起來,讓學生從身邊熟悉的事物入手,產(chǎn)生對數(shù)學實驗的濃厚興趣,并積極參加數(shù)學實驗,從中獲益提高.

(二)教師的主導作用和學生的主體地位辯證統(tǒng)一的原則

陸游說過“紙上得來終覺淺,絕知此事要躬行”.從書本上得到的知識畢竟比較膚淺,要透徹地認識事物還必須親自實踐.學生的學習也是一樣,只有動手操作和積極思考才能出真知.教師不再是簡單的灌輸,解答疑惑,而是引導學生去發(fā)現(xiàn)探索知識,課堂上呈現(xiàn)的不僅是教師的“教”而更是學生在“做”中學的場景.學生要養(yǎng)成自己主動的用數(shù)學眼光去思考問題,解決問題的習慣.

因此,實驗教學方法的選擇必須充分考慮兩者的辨證關系,以充分調(diào)動學生學習的積極性為出發(fā)點,只有在學生想學和愿意學,由“要我做實驗”轉(zhuǎn)變成“我要做實驗”的前提下,其主體作用和地位得以充分發(fā)揮,才能達到實驗教學的目的.

(三)適用性原則

數(shù)學實驗活動的內(nèi)容應緊密聯(lián)系學生身邊的物體、現(xiàn)象來設計；以學生原有的知識經(jīng)驗水平、心理能力發(fā)展水平來設計.

中學生是正在成長的人,在這個年齡階段,學生具有獨特的認知特點和思維特點.實驗適合學生的身心發(fā)展特點,符合其認知規(guī)律可以增強學生對數(shù)學學習的好奇和積極性,反之會損傷.以學生身邊常見的物體現(xiàn)象作為實驗對象,使學生有一種親切感,感到數(shù)學并不神秘,并不遙遠,就在身邊,有利于調(diào)動學生的學習積極性和激發(fā)他們進行實驗探究的興趣.

(四)適度性原則

數(shù)學實驗是對傳統(tǒng)的教學活動的一種補充和輔助,而不是替換.它應當起到一個“畫龍點睛”的作用.數(shù)學實驗有其優(yōu)勢,但也有局限性,不可為了實驗而實驗.好的數(shù)學實驗應選好題、選好點,側(cè)重于對有較強抽象性概念生成問題、有較強戰(zhàn)略性的探索活動以及令人質(zhì)疑的數(shù)學結論進行數(shù)學實驗.

2.3 數(shù)學實驗在教學中的實踐

著名數(shù)學教育家波利亞曾指出：“教師在課堂教學中講什么當然重要,然而學生想什么、做什么卻是千百倍地重要”,“在給定條件下應讓學生們盡可能多地靠他們自己去發(fā)現(xiàn)、去探索”.下面結合具體案例的分析數(shù)學實驗在課堂教學中的探索與實踐.

(一)通過數(shù)學實驗建立數(shù)學模型

在數(shù)學建模的過程中,不是直接用現(xiàn)成的知識教學生,而是根據(jù)充分利用實驗手段和實驗器材,設計一些開放性的探究問題,增加輔助環(huán)節(jié),從而使學生親歷樹學建構過程,指導學生動手算一算、畫一畫、量一量,去探究題目,光想不動手,往往不得入門,動手做,常會有啟發(fā).

案例測量硬幣的厚度和質(zhì)量(實驗器材：五角、一元硬幣若干,刻度尺、天平)

本節(jié)課是七下10.5用二元一次方程解決問題開頭的數(shù)學實驗室的活動.

師：五角硬幣和一元硬幣若干,你會提出怎樣的問題?

生：有多少錢?有多厚?有多重?

師：你覺得可以如何解決?

生：目前無法解決,需要添加條件.

師：五角硬幣和一元硬幣一共6.5元,那么兩種硬幣分別有多少個?

生：設五角硬幣有x個,一元硬幣有y個,可以得到方程0.5x+y=6.5.

師：有多少種情況?答案是否唯一?

生：不唯一.

師：加一個條件：一共有10個,那么兩種硬幣分別有多少個?

生：設五角硬幣有x個,一元硬幣有y個,解決可用方程組就可以解決了.

師：如果無法確定硬幣的總錢數(shù)與總個數(shù),那么如何確定這兩種硬幣的個數(shù)?你覺得可以如何解決?

生：可以通過測量,尺子量出厚度,天平稱出質(zhì)量

五角硬幣的總厚度+一元硬幣的總厚度=總厚度

五角硬幣的總質(zhì)量+一元硬幣的總質(zhì)量=總質(zhì)量

在前面的問題中學生發(fā)現(xiàn)兩個未知數(shù)一個等量關系無法解決問題,兩個未知數(shù)需要兩個等量關系來解決,目前沒有已知的量,但可以借助手邊的工具來測量.在測量中學生會發(fā)現(xiàn)只測量一枚硬幣會有誤差,必須取多枚硬幣取平均值,為了數(shù)據(jù)的準確多次測量取平均值,在學生動手操作的過程中,學生主動發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的問題,并提出,探索處理的方法,最終解決問題.

(二)通過數(shù)學實驗概括數(shù)學知識

美國教育學家奧蘇泊爾說過：“影響學生學習的重要因素是學生已經(jīng)知道了什么”.因此,在課堂教學中,教師應當從學生已有的知識水平和經(jīng)驗出發(fā),準確把握教學起點,合理設計課堂教學.同底數(shù)冪的除法的相關知識正是零指數(shù)冪教學的起點,學生只有在明晰了同底數(shù)冪的除法的前提下再來學習零指數(shù)冪,才能實現(xiàn)知識的遷移.因此設計以下的教學活動.

案例零指數(shù)冪(七下8.3)

活動一

提問：若m=n,a/=0,m、n為正整數(shù),am÷an如何計算?能否運用前面所學的同底數(shù)冪相除的運算性質(zhì)?

對于計算,學生會借助除法的意義進行計算,am÷an=am÷am=1.

學生思考：若運用已學同底數(shù)冪相除的運算性質(zhì)計算,當m=n時,am÷an=am-n=a0,繼而思考：a0是什么?等于幾?猜想是不是a0=1?

提出這個切口較大的問題,由學生從已有的知識出發(fā)思考問題,從而發(fā)現(xiàn)問題,進而得出猜想,激發(fā)學生進一步的探究欲望.

活動二

(1)思考：一張紙對折1次是2層,對折2次是4層,對折3次是8層,對折4次是16層……,對折后紙的層數(shù)與對折的次數(shù)之間的關系可以表示成什么?若沒有將紙對折,如何表示,紙張的層數(shù)又為多少?

(2)觀察數(shù)軸上表示 24、23、22、21的點的位置是如何隨著指數(shù)的變化而變化的?你有什么猜想?

圖1

(3)由上面兩個活動,你有什么發(fā)現(xiàn)?

(4)得到規(guī)定：a0=1(a/=0)即任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1.

創(chuàng)設學生比較熟悉的可操作情境——“折紙”,使學生從中觀察得出對折后紙的層數(shù)與對折的次數(shù)之間的關系中存在的規(guī)律,從而得出猜想.再借助數(shù)軸的幾何直觀,引導學生觀察得出冪的值以及指數(shù)的變化規(guī)律,繼而得出猜想.由兩個實際的活動,讓學生原有的冪的指數(shù)可以擴展到零指數(shù)冪,充分地體現(xiàn)了數(shù)學自身發(fā)展的軌跡,讓學生從中感受從特殊到一般、從具體到抽象的思考問題的方法,有助于學生借助學習“零指數(shù)”所獲得的經(jīng)驗,進一步嘗試對負整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的規(guī)定,發(fā)展了學生理性的精神.

(三)通過數(shù)學實驗突破教學難點

案例證明三角形內(nèi)角和(七下12.2)

學生小學時已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和是180°,根據(jù)小學經(jīng)驗他們知道可以通過通過操作實驗.將三角形的角撕下,拼起來.但本節(jié)課是需要通過理論來證明三角形的內(nèi)角和是180°,難點就在于如何去做輔助線.

于是借助撕紙實驗找尋解題方法.

先撕下一個角,拼到另一個角的旁邊.(圖2)學生發(fā)現(xiàn)移動的角相等,而且形成了一組內(nèi)錯角,進而想到了：內(nèi)錯角相等,兩直線平行.于是想到過一點作輔助線的方法(圖3),來得到三角形內(nèi)角和是180°.

圖2

圖3

接著有同學撕下第二個角,繼續(xù)拼(圖4),因此將剛剛輔助線延長即可(圖5),

圖4

圖5

或者如(圖6)(圖7).

圖6

圖7

通過實驗操作,我們發(fā)現(xiàn)實際操作中改變角的位置,在證明過程中只要添加平行線就可以達到相同作用.實驗操作為我們解決本節(jié)課的難點找到突破口,為解決一些幾何問題提供了方便.

(四)通過數(shù)學實驗理解掌握數(shù)學思想方法

學習數(shù)學不僅要掌握數(shù)學的基礎知識、基本技能最為關鍵的還要理解并掌握隱藏在數(shù)學知識背后的數(shù)學思想方法.這就需要教師在數(shù)學教學過程中,把握教學時機,利用數(shù)學知識作為載體“潤物細無聲”地向?qū)W生滲透數(shù)學思想方法而在數(shù)學實驗教學中,更形象直觀地幫助學生理解數(shù)學知識學習過程中所隱含的數(shù)學思想方法,從而提高學生的數(shù)學素養(yǎng).

案例擠三十

兩人按自然數(shù)的順序輪流從1報到30,要求每人每次報1個數(shù)或者2個數(shù),誰報30,誰即輸.如：甲說“1、2”,乙可以接著說“3”或“3、4”……輪到誰說“30”,即為輸.

師：玩游戲的時候,贏的人輕輕地刮輸?shù)娜吮亲右幌?

兩人一組,操作若干次.

師：有贏次數(shù)多的同學嗎?

師：那就從中挑幾位同學,看看誰是“王中王”!

師：我們再來看看有沒有“常勝將軍”!

師：誰和老師玩玩這個游戲?(有意識地要求“女士優(yōu)先”,讓老師先說,輕松地和學生玩,并輸者被刮鼻子.)

問題：你能找到取勝的辦法嗎?

學生分析,通過多次的操作,發(fā)現(xiàn)如果搶到“26”,就可以贏.引導學生分析,找其中必勝的策略.在分析的過程中,探索出經(jīng)過逆推可以找到這個游戲的必勝策略——先說者先說“1、2”,接著報的數(shù)字個數(shù)是：“3-后報者報的數(shù)字個數(shù)”.從而揭示本次活動的主題“逆推(逆向思維)”.

美國馬爾瓦-柯林斯說過“教學的本質(zhì)就是“用一個思想點燃另一個思想”.拋出問題后,教師放手讓學生經(jīng)歷動手、動口、動腦的體驗過程,經(jīng)歷嘗試與思考、借鑒和吸納的過程,最終會在緩慢的多次的過濾中從無序的亂象走向有序的規(guī)則.

3、研究中的思考

與物理、化學、生物等實驗性學科不同,我們不可能也不必完全依賴于實驗方法來學習數(shù)學,但數(shù)學實驗方法在數(shù)學教學領域仍然具有重要的補充性、獨特優(yōu)勢性,甚至是不可替代性.在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中,學生很難真正參與到數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的過程中去,只能被動的接收、記憶并消化相應的知識,無法領悟到在知識發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的過程中所蘊含的數(shù)學思想方法.而在數(shù)學實驗教學中,學生主動的親身經(jīng)歷了數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)和產(chǎn)生的過程,并通過探究驗證了數(shù)學結論的真理性.利用數(shù)學實驗趣味性,可以有效調(diào)動學生的積極性,使其在學習過程中獲得成就感與滿足感,強化了對知識記憶牢固度.更重要的是,通過數(shù)學實驗培養(yǎng)理解掌握數(shù)學思想方法的能力,乃至對各類問題的獨立思考能力和動手分析解決能力,恰恰可以彌補現(xiàn)階段我國學生缺乏創(chuàng)新及實踐能力的短板,對提高其綜合素質(zhì)不無裨益.總之,數(shù)學實驗必將在今后的教學活動中逐步占據(jù)更加重要的地位,我將通過不斷的探索與實踐,努力掌握實驗教學相關要領,提升自己在此方面的教學水平.