鄭 巖，李 穎

(1.吉林省建研科技有限責(zé)任公司，吉林 長(zhǎng)春 130000；2.長(zhǎng)春理工大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130000)

1 引 言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是由齒輪、轉(zhuǎn)子和軸承等組成的傳動(dòng)系統(tǒng)，研究其動(dòng)力學(xué)特性就是為了確定和評(píng)價(jià)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，找出導(dǎo)致系統(tǒng)振動(dòng)超限的因素，并進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)也為設(shè)計(jì)高質(zhì)量的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)提供理論上的指導(dǎo)。

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有特性是指固有頻率以及相應(yīng)的振型，是其最基本的動(dòng)態(tài)特性之一，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)載及振動(dòng)形式等均有顯著的影響。對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)固有特性的研究，目前最為有效的方法是基于有限元法的模態(tài)分析[1-3]。

2 模態(tài)分析基本理論

物理參數(shù)分析模型通常為多個(gè)廣義坐標(biāo)相互耦合的二階常微分方程組，這種微分方程組不易求解。通常采用坐標(biāo)變換的方法，使方程組解耦，成為一組以模態(tài)坐標(biāo)及模態(tài)參數(shù)描述的非耦合方程，以便于對(duì)其進(jìn)行求解，這種方法即為模態(tài)分析法。坐標(biāo)變換矩陣為模態(tài)矩陣，其每列為模態(tài)振型。模態(tài)分析中，采用了模態(tài)截?cái)嗟奶幚矸椒?，可以很大程度地減少方程數(shù)目和計(jì)算容量，計(jì)算成本較低[4-5]。

時(shí)域和頻域內(nèi)均可采用模態(tài)分析法，其目標(biāo)是提取系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，為系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析以及結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)化、設(shè)計(jì)等提供依據(jù)。

對(duì)于多自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

此系統(tǒng)中存在N個(gè)固有頻率及對(duì)應(yīng)主振型，每一對(duì)固有頻率和振型代表一個(gè)單自由度自由振動(dòng)系統(tǒng)。這種在自由振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)所具有的基本振動(dòng)特性即為結(jié)構(gòu)的模態(tài)。多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)可以分解為N個(gè)固有模態(tài)振動(dòng)的疊加。一般來(lái)說(shuō)，多自由度系統(tǒng)是做多個(gè)固有頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)。

設(shè)多自由度自由振動(dòng)系統(tǒng)中某一簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式的解為：

(2)

則有：

(3)

將式(2)、式(3)代入式(1)，得出特征方程：

(4)

|([K]-ω2[M])|=0

(5)

根據(jù)有限元理論，可得系統(tǒng)的分析模型：

(6)

[φ]=[φ1,φ2,φ3……,φn]

(7)

則有：

[φ]T[M][φ]=[I]

(8)

(9)

若設(shè)[C]=[0]，即對(duì)多自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，式(6)可化為：

(10)

式中，[φ]即模態(tài)矩陣，{Q(t)}=[φ]T{p(t)}稱(chēng)為模態(tài)載荷列陣，[I]稱(chēng)為模態(tài)質(zhì)量矩陣，[Ω2]稱(chēng)為模態(tài)剛度矩陣，[q]稱(chēng)為模態(tài)坐標(biāo)。

3 基于Abaqus的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)分析

(1)啟動(dòng)Abaqus/CAE導(dǎo)入分析模型

基于Creo4.0軟件的特征建模技術(shù)和參數(shù)化建模技術(shù)建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)化模型，包括外嚙合直齒圓柱齒輪和軸的參數(shù)化建模。建立的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)化模型見(jiàn)圖1，Abaqus/CAE模型文件導(dǎo)入界面和齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖如圖2、圖3所示。

圖1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)化模型

圖2 Abaqus/CAE模型文件導(dǎo)入界面

(2)設(shè)置材料屬性

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)齒輪材料選用高級(jí)優(yōu)質(zhì)合金結(jié)構(gòu)鋼12Cr2Ni4A，材料參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)材料參數(shù)

(3)定義頻率提取分析

在分析步設(shè)置模塊，選擇Procedure type類(lèi)型為“線性擾動(dòng)：頻率提取”分析步，求解器類(lèi)型選擇為L(zhǎng)anczos，在Number of eigenvalues requested后選擇Value，并輸入特征值數(shù)目20，默認(rèn)其他選項(xiàng)，完成分析步設(shè)置。

(4)定義接觸

完成接觸屬性的定義，選擇“Hard”Contact，其他選項(xiàng)默認(rèn)；并且在Contact Property選項(xiàng)卡中Global Property assignment指定為上步所創(chuàng)建的接觸屬性。

(5)施加邊界條件及載荷

在模態(tài)分析中，載荷對(duì)其沒(méi)有影響，只有邊界條件對(duì)系統(tǒng)有影響，所以?xún)H施加邊界條件。施加邊界條件后使傳動(dòng)系的各軸僅具有一個(gè)繞Z軸的旋轉(zhuǎn)自由度。圖4為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)邊界條件的施加位置和方向。

圖4 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)邊界條件的施加位置及方向

(6)分網(wǎng)

進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，首先需要布種子，設(shè)置Approximate global size為5.0，單元類(lèi)型選擇修正的二次Tet單元(C3D10M)，并選擇自由分網(wǎng)技術(shù)，網(wǎng)格模型如圖5所示。

圖5 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)網(wǎng)格模型

(7)提交分析作業(yè)及后處理

采用Lanczos算法求解齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)前10階模態(tài)頻率及模態(tài)振型情況，見(jiàn)表2，圖6給出了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的前10階模態(tài)。

表2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)前10階模態(tài)頻率及振型

(a)第1階模態(tài)

(b)第2階模態(tài)

(e)第5階模態(tài)

(f)第6階模態(tài)

(g)第7階模態(tài)

(h)第8階模態(tài)

(i)第9階模態(tài)

(j)第10階模態(tài)

在忽略外部激勵(lì)對(duì)系統(tǒng)的影響，僅考慮含內(nèi)部激勵(lì)作用的齒輪系統(tǒng)主共振響應(yīng)特性的情況下，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)頻率主要為嚙合頻率。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合頻率為P=nZ/60，其中，n為齒輪軸轉(zhuǎn)速(r/min)，Z為齒輪輪齒數(shù)目?，F(xiàn)分別計(jì)算該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各級(jí)齒輪副的嚙合頻率，如表3所示。嚙合頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)的前10階模態(tài)頻率(前10階模態(tài)最高模態(tài)頻率為2110.9Hz，見(jiàn)表2)，故附件傳動(dòng)系統(tǒng)在嚙合頻率的激勵(lì)下不會(huì)產(chǎn)生圖6所示模態(tài)振型，所以不會(huì)發(fā)生共振。

表3 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各級(jí)齒輪副的嚙合頻率

4 結(jié) 論

針對(duì)試驗(yàn)機(jī)等設(shè)備研究過(guò)程中常需要對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力分析，借助Abaqus有限元軟件對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，是一種基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的模態(tài)分析方法。雖然這種方法為大多數(shù)學(xué)者所采用，但是由于齒輪系統(tǒng)是高速旋轉(zhuǎn)件，而轉(zhuǎn)速對(duì)系統(tǒng)模態(tài)有很大影響，這種方法存在一定的誤差。本文基于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的模態(tài)分析，得到了附件傳動(dòng)系統(tǒng)的前10階模態(tài)頻率及相應(yīng)振型，在忽略外部激勵(lì)，僅考慮含內(nèi)部激勵(lì)作用的齒輪系統(tǒng)模態(tài)分析的結(jié)果表明，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合頻率遠(yuǎn)離齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的前10階模態(tài)頻率，不會(huì)產(chǎn)生前10階模態(tài)振型，所以不會(huì)產(chǎn)生共振。

基于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪實(shí)體樣機(jī)，對(duì)其進(jìn)行有限元模態(tài)分析。通過(guò)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)化建模，調(diào)整模型參數(shù)，分析不同參數(shù)時(shí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，為齒輪系統(tǒng)的性能優(yōu)化提供指導(dǎo)。參數(shù)化的齒輪系統(tǒng)模型還能在性能優(yōu)化之后，根據(jù)相應(yīng)的優(yōu)化參數(shù)做出相應(yīng)調(diào)整，為設(shè)計(jì)高質(zhì)量的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)奠定基礎(chǔ)。