孫兆永 賈 晗 楊 軍

(1中國科學(xué)院噪聲與振動重點實驗室(聲學(xué)研究所) 北京 100190)

(2中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049)

0 引言

Mikaelian透鏡是一種具有柱對稱折射率的自聚焦器件[1]，其折射率在寬度方向呈現(xiàn)出關(guān)于中心軸對稱的反雙曲余弦分布。由于它有著良好的自聚焦能力，因此在成像及信息傳遞方面有著極其重要的應(yīng)用價值。二維Mikaelian透鏡是矩形的，它的參數(shù)分布規(guī)律確定，因此利用近些年發(fā)展起來的梯度折射率超材料就可以很容易地實現(xiàn)。在某些場景下，需要在聚焦的同時令波的傳播路徑發(fā)生一定的偏轉(zhuǎn)，普通的Mikaelian透鏡顯然無法滿足需求。如何設(shè)計出一款集自聚焦與波束偏轉(zhuǎn)兩功能于一身的聲學(xué)器件是一個研究熱點。近些年發(fā)展起來的變換理論為此提供了一種實現(xiàn)的可能性[2?4]。變換聲學(xué)理論通過坐標變換的方法將器件的聲學(xué)參數(shù)與空間變換緊密地聯(lián)系起來，并被廣泛地應(yīng)用于聲學(xué)隱身[5]、聲學(xué)偏轉(zhuǎn)裝置[6?7]等聲學(xué)器件的設(shè)計。本文提出了利用共形變換理論設(shè)計聲學(xué)器件的一般方法，并利用指數(shù)映射設(shè)計出了弧形的Mikaelian透鏡，解析地分析了所設(shè)計弧形透鏡的參數(shù)分布規(guī)律。仿真結(jié)果顯示，該透鏡在產(chǎn)生自聚焦效應(yīng)的同時能夠很好地令聲波偏轉(zhuǎn)一定的角度。

1 共形變換在超材料器件設(shè)計中的應(yīng)用

共形變換是指一個曲面到另一個曲面之間能夠保持微小區(qū)域相似性的映射，在理論物理及工程應(yīng)用方面有著重要的用途[8]，而在變換聲學(xué)中，它為設(shè)計二維及三維軸對稱各向同性聲學(xué)器件提供了方便簡潔的參數(shù)求解方法。由于共形變換通常用復(fù)變函數(shù)描述更方便，因此在這里將用復(fù)空間進行討論。本節(jié)主要討論基于共形變換的二維聲學(xué)器件設(shè)計方法，三維軸對稱器件可以利用將二維器件繞主軸旋轉(zhuǎn)的方法實現(xiàn)，而普通的三維器件無法用共形變換實現(xiàn)。圖1展示了共形變換聲學(xué)的過程，?空間和?′空間分別為已知參數(shù)分布的聲學(xué)器件和待定參數(shù)的聲學(xué)器件。在兩個聲學(xué)器件空間中建立映射關(guān)系便可利用聲波方程的協(xié)變性得到兩器件的參數(shù)關(guān)系。設(shè)背景空間，?空間和?′空間的密度和模量分別為ρ0和K0，ρz和Kz，ρω和Kω，?空間和?′空間相對背景介質(zhì)的折射率分別為nz和nω。由于背景介質(zhì)在后文中不詳細討論，因此其坐標系在這里不給予詳細描述。?空間和?′空間的坐標系分別為z=x+iy和ω=u+iv。則在三個空間中的聲波方程分別為

其中，?、?z和?ω分別為三個空間的坐標系所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)算子，k是聲波在背景介質(zhì)中的波矢。為了方便起見，分別稱空間?和空間?′為虛空間和物理空間。假設(shè)虛空間的聲學(xué)參量為已知，則利用聲波方程的協(xié)變性，通過映射ω=ω(z)可以求得虛空間和物理空間的折射率之間滿足[3]

方程(4)建立了虛空間和物理空間之間的聯(lián)系，通過求解此方程便可得到物理空間的折射率分布，從而求出其聲學(xué)參量。需要指出的是，方程(4)等號右邊分別與映射關(guān)系ω=ω(z)和虛空間參數(shù)相關(guān)。因此，聲學(xué)器件的參數(shù)分布共同取決于虛空間參數(shù)分布和具體的映射關(guān)系。相同的虛空間，不同的映射可能得到不同參數(shù)分布的聲學(xué)器件；同理，相同的映射，不同的虛空間也會得到不同參數(shù)分布的器件。

為了設(shè)計出弧形Mikaelian透鏡，首先需要了解普通Mikaelian透鏡的聲學(xué)特性。然后在此基礎(chǔ)上，利用方程(4)得到弧形Mikaelian透鏡的折射率分布。

圖1 共形變換聲學(xué)示意圖Fig.1 A schematic diagram of conformal transformation acoustics

2 普通Mikaelian透鏡的自聚焦效應(yīng)

Mikaelian透鏡是由A.L.Mikaelian在1951年設(shè)計的一種自聚焦柱對稱介質(zhì)。這種介質(zhì)的折射率nr從邊緣到中心軸成反雙曲余弦增加，可表達如下[1]：

其中，r是到中心軸的距離，l是透鏡的焦距，n0是透鏡在中心軸的折射率。二維Mikaelian透鏡是矩形的，形狀如圖2(a)所示，其折射率可以寫為

其中，x為到中心軸的距離，nc是透鏡中心軸處的折射率，l為透鏡的焦距。

為了能使該透鏡在水下使用，需使其與水阻抗匹配。若設(shè)水的密度為ρ0、模量為K0，則其聲速為，透鏡的密度記為ρz，模量記為Kz，則聲速。阻抗匹配的水下透鏡的密度與聲速滿足：

繼而可得

從公式(8)和公式(9)可知，密度與折射率成正比，模量與折射率成反比。在本文中透鏡的參數(shù)為寬度d=0.216 m，焦距為l=0.4 m，長度為L=4l，即透鏡長度包含一個周期，如圖2(a)所示。透鏡中心處相對于水的折射率為nc=1.5，則透鏡的折射率分布nz(r)如圖2(d)所示?？梢钥吹組ikaelian透鏡的折射率確實成中心軸對稱分布，在中心軸處折射率達到最大，而隨著偏離中心呈反雙曲余弦減小的趨勢，在邊緣處折射率達到1.38的最小值。對透鏡的密度和模量進行歸一化，則歸一化的模量和密度分布如圖2(b)和圖2(c)所示，模量在軸心處達到最小，而密度在軸心處達到最大。這與公式(8)和公式(9)所描述的一致。

Mikaelian透鏡對入射聲波的聚焦效應(yīng)如圖3(a)所示。入射聲波為160 kHz的高斯脈沖。在透鏡中，波束進行了兩次聚焦，焦斑分別在y=l和y=3l處。圖3(b)反映了在y=l和y=2l處沿著透鏡寬度方向聲壓的幅值分布。波束在y=l處聲波能量主要集中在離中心軸約0.02 m的狹窄區(qū)域內(nèi)，這表明透鏡有著良好的聚焦能力。在y=2l處聲波能量較平緩的分布在離中心軸約0.08 m的區(qū)域內(nèi)，波束恢復(fù)到入射波的形狀。

圖2 Mikaelian透鏡及其聲學(xué)參數(shù)分布Fig.2 A sketch map of Mikaelian lens and the distributions of the parameters

圖3 Mikaelian透鏡內(nèi)的聲場分布Fig.3 The distribution of the acoustic pressure in the Mikaelian lens

以上是對普通Mikaelian聲透鏡聚焦效應(yīng)的分析。根據(jù)第1節(jié)的理論，可以利用共形映射在普通Mikaelian透鏡的基礎(chǔ)上設(shè)計出弧形的自聚焦透鏡。

3 基于指數(shù)映射的弧形Mikaelian透鏡設(shè)計

根據(jù)第1節(jié)的分析，將普通Mikaelian透鏡看做虛空間，通過共形變換可以實現(xiàn)弧形Mikaelian透鏡的設(shè)計。在共形變換中，指數(shù)映射可以將一個矩形區(qū)域映射到一個環(huán)形區(qū)域，因此為設(shè)計弧形透鏡提供了思路。該設(shè)計的變換過程如圖4所示。

圖4 指數(shù)映射將Mikaelian透鏡映射成弧形Fig.4 From ordinary Mikaelian lens to curved Mikaelian lens by exponential mapping

普通Mikaelian透鏡的空間用復(fù)坐標z=x+iy表示，而弧形透鏡的空間用ω=u+iv=reiθ表示。通過共形映射ω=ω(z)將z空間的普通Mikaelian透鏡映射到ω空間，從而得到共形Mikaelian透鏡的參數(shù)分布。根據(jù)第2節(jié)的理論，只要知道了z空間到ω空間的具體映射關(guān)系即可得到其參數(shù)分布。為了計算的簡潔，設(shè)映射關(guān)系為

其逆映射為

其中，r0和A都是常數(shù)，它們決定了共形透鏡的內(nèi)外半徑和圓心角?。由方程(4)和方程(6)可得共形透鏡的折射率分布為

考慮到z=Aln(ω/r0)，因此，x=Aln(r/r0)，y=Aθ，則方程(12)可寫為

這里?=l/A是弧形透鏡焦點所在的角度，由參數(shù)A與原透鏡焦距共同決定。根據(jù)前文分析，則共形透鏡的密度和模量分別為

取A=r0=0.5 m，則帶入可得r1=0.40 m，r2=0.61 m，弧形透鏡焦點所在角度?=0.80 rad，如圖5(a)所示，透鏡的圓心角為θ0=4?。弧形Mikaelian透鏡沿徑向的折射率分布如圖5(b)所示，可以看到，與普通Mikaelian透鏡不同的是，弧形Mikaelian透鏡的折射率約在rf=0.495 m而非寬度的中心rc=(r2?r1)/2=0.505 m處達到最大，折射率并不成對稱分布，這也與公式(13)所描述的相吻合。這是由指數(shù)映射本身的不對稱性決定的，透鏡焦點的位置與映射的參數(shù)關(guān)系較密切，調(diào)節(jié)指數(shù)映射的參數(shù)A和r0可以使焦點的位置發(fā)生改變，但同時也會改變透鏡的折射率分布。根據(jù)公式(14)和公式(15)即可得到相應(yīng)的密度和模量分布?；⌒蜯ikaelian透鏡歸一化的模量和密度分布如圖5(c)和圖5(d)所示。模量和密度均呈現(xiàn)出角向?qū)ΨQ的分布模式，而在徑向方向，模量在rf=0.495 m處達到最小，在兩端呈增加趨勢，在外徑處達到最大；而密度的分布恰與模量相反，與公式(14)和公式(15)比較一致。

需要指出的是，利用共形變換所設(shè)計的弧形透鏡是各向同性的，而弧形透鏡的實現(xiàn)并不唯一地取決于共形映射，其他映射也可以實現(xiàn)，但映射的選取會影響到透鏡參數(shù)的分布。

圖5 弧形Mikaelian透鏡及其參數(shù)分布Fig.5 A sketch map of curved Mikaelian lens and the distributions of the acoustic parameters

圖6 弧形Mikaelian透鏡的聲場分布Fig.6 The distribution of acoustic pressure of the curved Mikaelian lens

為了驗證所設(shè)計共形透鏡的聲學(xué)效果，對其進行數(shù)值仿真模擬。仿真過程在商業(yè)有限元軟件COMSOL Multiphysics中進行。共形透鏡的背景介質(zhì)為水，如圖6(a)所示，頻率為 160 kHz中心聲壓為1 Pa的高斯束從y=0.495 m處向右入射，分別在θ=?和θ=3?處各聚焦一次，并在θ=2?和θ=4?處成像。在θ=?和θ=2?處提取其聲壓幅值，則聲壓幅值的分布如圖6(b)所示。在θ=2?處，聲壓在rf達到最大，值為1 Pa，并隨著偏離rf而緩慢減??；而在θ=?處，聲壓也在rf處達到最大，且最大值達到θ=2?處最大值的4.5倍左右，并且隨著r偏離rf，聲壓急劇下降，分別在r=0.48 m和r=0.52 m處減小到約0.1 Pa。這表明了在焦點位置聲波的能量主要聚集在0.48～0.52 m區(qū)域內(nèi)，也說明了弧形Mikaelian透鏡極好的聚焦能力。這與僅能改變波束傳播方向的普通弧形聲波波導(dǎo)完全不同[9]。與普通Mikaelian透鏡一樣，通過共形變換所得的弧形透鏡內(nèi)也包含一個周期，即共形透鏡的周期為θ=4?。

對比圖6和圖3可以看到，弧形的Mikaelian透鏡表現(xiàn)出了與普通Mikaelian透鏡類似的自聚焦聲學(xué)效應(yīng)，在焦距的奇數(shù)倍處，聲波會匯聚于一點，而在偶數(shù)倍焦距處，波束恢復(fù)到入射波的特征。在聚焦的同時，也可以看到聲波通過弧形透鏡時傳播方向偏轉(zhuǎn)了θ0的角度。

4 結(jié)論

本文分析了利用共形變換設(shè)計聲學(xué)器件的一般方法，并指出通過共形變換可以計算出器件的聲學(xué)參數(shù)與虛空間聲學(xué)參數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，將普通Mikaelian透鏡當(dāng)作虛空間，利用指數(shù)映射設(shè)計出了弧形的Mikaelian透鏡。與普通Mikaelian透鏡不同的是，由于指數(shù)映射的不對稱性，弧形Mikaelian透鏡的折射率分布并不是完全對稱的，而是在內(nèi)徑處較小，在外徑處最小，在內(nèi)外徑中點偏向內(nèi)徑的地方達到最大。通過有限元仿真驗證了弧形透鏡不僅擁有與普通透鏡類似的聚焦效應(yīng)，還能夠在聚焦的同時令聲波發(fā)生偏轉(zhuǎn)。在工程應(yīng)用中，可以利用超材料，如五模材料，實現(xiàn)弧形透鏡的設(shè)計，設(shè)計過程與聲波彎管的設(shè)計過程類似[6?7,9]。該理論為實現(xiàn)弧形聲學(xué)器件提供了理論支持和設(shè)計方案。