夏時(shí)宇，徐 波

(南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院，南京 210023)

0 引 言

迄今為止，人類(lèi)已經(jīng)成功進(jìn)行了對(duì)太陽(yáng)系內(nèi)所有行星的無(wú)人探測(cè)和對(duì)月球的登陸探測(cè)。對(duì)載人火星探測(cè)任務(wù)的研究也逐漸升溫，其中關(guān)于軌道設(shè)計(jì)的研究對(duì)于任務(wù)的成功實(shí)施具有十分重要的意義。

載人探測(cè)任務(wù)的復(fù)雜性和危險(xiǎn)性都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于無(wú)人任務(wù)，對(duì)保障航天員安全返回地球提出了更高的要求。為此研究人員提出了自由返回軌道(Free return trajectory)的概念[1]。自由返回軌道是指航天器不需要自身提供變軌能量(或僅提供很少的變軌能量)，通過(guò)其他天體的借力飛行，就可以無(wú)動(dòng)力返回地球，因此適合作為載人探測(cè)任務(wù)故障模式下的中止軌道。自由返回軌道可以作為航天器的初始轉(zhuǎn)移軌道，如果任務(wù)正常進(jìn)行，則僅需要對(duì)軌道進(jìn)行少量修正即可在目標(biāo)天體正常入軌，如果發(fā)生系統(tǒng)故障，則能夠保證航天員安全返回地球。

自由返回軌道最早應(yīng)用于對(duì)月球的探測(cè)，如蘇聯(lián)的月球3號(hào)任務(wù)和美國(guó)的阿波羅8、10、11號(hào)任務(wù)。Berry[1]對(duì)阿波羅11號(hào)任務(wù)中的自由返回軌道、發(fā)射窗口以及約束條件等問(wèn)題進(jìn)行了研究。黃文德等[2]基于雙二體假設(shè)給出了月球自由返回軌道的設(shè)計(jì)方法，并對(duì)軌道傾角、拼接點(diǎn)分布等參數(shù)進(jìn)行了特性分析。文獻(xiàn)[3-4]基于圓錐曲線拼接提出了一種兩段式月球自由返回軌道設(shè)計(jì)方法，具有精度高、收斂快的特點(diǎn)。自由返回軌道也被推廣到火星探測(cè)任務(wù)的研究中。Patel等[5]在飛行時(shí)間約束和發(fā)射能量約束條件下研究了火星自由返回軌道，發(fā)現(xiàn)了總飛行時(shí)間分別為1.5年、2年和3年的三類(lèi)自由返回軌道。李楨[6]針對(duì)載人火星探測(cè)任務(wù)，對(duì)比研究了地球-火星-地球，地球-火星-金星-地球，地球-金星-火星-地球三類(lèi)自由返回軌道，并提出使用Tisserand準(zhǔn)則進(jìn)行軌道參數(shù)的初步設(shè)計(jì)。

火星自由返回軌道通常需要使用引力輔助(Gravity assist，GA)。但引力輔助技術(shù)受到借力天體的力學(xué)性質(zhì)以及軌道近拱點(diǎn)高度約束，使得航天器雙曲線剩余速度v∞偏轉(zhuǎn)角度較小，加速效果有限，轉(zhuǎn)移飛行時(shí)間通常較長(zhǎng)，不利于航天器在出現(xiàn)故障時(shí)快速返回地球。

為解決偏轉(zhuǎn)角度較小的問(wèn)題，美國(guó)噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室于1982年提出氣動(dòng)引力輔助(Aerogravity assist，AGA)變軌技術(shù)[7]，如圖1所示，v∞-為初始雙曲剩余速度， Δθ為大氣飛行段轉(zhuǎn)角，v∞+為經(jīng)過(guò)AGA后的雙曲剩余速度，φ為速度矢量偏轉(zhuǎn)角?；鹦怯捎谫|(zhì)量較小，其引力輔助能力也因此較弱[8]，使用AGA可以極大地增加速度偏轉(zhuǎn)角，獲得更好的加速效果，進(jìn)而減少所需的借力飛行次數(shù)與飛行時(shí)間[9]。

圖1 氣動(dòng)引力輔助示意圖

氣動(dòng)引力輔助技術(shù)由于其可能帶來(lái)的巨大收益得到了大量研究。文獻(xiàn)[10-11]對(duì)大氣飛行段進(jìn)行軌跡優(yōu)化，在熱負(fù)載約束條件下實(shí)現(xiàn)最大化飛出速度。文獻(xiàn)[12-13]設(shè)計(jì)了基于預(yù)測(cè)校正的制導(dǎo)算法，可以有效克服入軌誤差、大氣密度誤差所帶來(lái)的不利影響，保證氣動(dòng)引力輔助的可靠性和準(zhǔn)確性。Mazzaracchio[14]設(shè)計(jì)了一種基于飛行路徑角的制導(dǎo)算法，并指出熱負(fù)載是氣動(dòng)引力輔助的最主要約束條件。Jesick[15]提出了一種在火星進(jìn)行兩次AGA的自由返回軌道，具有較小的雙曲剩余速度。喬棟等[16]以探測(cè)小行星Ivar為例，提出一種將繪制等高線圖和圓錐曲線拼接相結(jié)合的AGA轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法，該文獻(xiàn)采用了文獻(xiàn)[17]中提出的簡(jiǎn)化大氣飛行段模型。

現(xiàn)有利用氣動(dòng)引力輔助技術(shù)的軌道設(shè)計(jì)研究中，通常將大氣飛行段簡(jiǎn)化為水平飛行[9, 15-17]，而忽略了下降和上升過(guò)程，與真實(shí)的飛行過(guò)程不符。為解決這一問(wèn)題，本文提出一種三段式氣動(dòng)引力輔助模型，將大氣飛行段分為下降段、平飛段和上升段，使用大氣飛行角和航跡角描述飛行過(guò)程，并建立了相應(yīng)的計(jì)算模型。

本文第1節(jié)給出了自由返回軌道相關(guān)的計(jì)算模型，其中包括引力輔助模型，氣動(dòng)引力輔助模型和軌道優(yōu)化模型。第2節(jié)分別對(duì)“地球-火星-地球”、“地球-火星-金星-地球”和“地球-金星-火星-地球”三種序列進(jìn)行了軌道優(yōu)化，對(duì)比了本文提出的三段式模型和現(xiàn)有文獻(xiàn)中的簡(jiǎn)化模型給出的優(yōu)化結(jié)果，并分析了氣動(dòng)引力輔助對(duì)自由返回軌道性能的影響。第3節(jié)對(duì)全文進(jìn)行了總結(jié)。

1 計(jì)算模型

1.1 引力輔助模型

自由返回軌道通常采用圓錐曲線拼接方式構(gòu)造。航天器在行星間轉(zhuǎn)移軌道段僅考慮太陽(yáng)引力，航天器相對(duì)太陽(yáng)做二體運(yùn)動(dòng)。在借力飛行段僅考慮借力天體引力，并計(jì)算引力輔助引起的相對(duì)速度偏轉(zhuǎn)角φ以及慣性系下的飛出速度V∞+，引力輔助速度矢量關(guān)系如圖2所示。其中，Vp,V∞-,V∞+分別為在慣性系下借力天體以及航天器借力飛行前后的速度，v∞-,v∞+為航天器借力飛行前后的雙曲線剩余速度。速度偏轉(zhuǎn)角φ可用下式計(jì)算，

(1)

式中：r0為軌道近心距，μ為借力天體引力常數(shù)。引力輔助過(guò)程中沒(méi)有能量消耗，因此v∞-與v∞+相等。由于r0不能小于借力天體的半徑，速度偏轉(zhuǎn)角φ是有上限的。

圖2 引力輔助速度矢量關(guān)系

1.2 氣動(dòng)引力輔助模型

氣動(dòng)引力輔助的速度矢量關(guān)系與引力輔助類(lèi)似，主要區(qū)別在于大氣飛行過(guò)程會(huì)導(dǎo)致一部分速度損失ΔVaero，如圖3所示。本節(jié)介紹三段式氣動(dòng)引力輔助模型以及速度偏轉(zhuǎn)角φ和雙曲剩余速度v∞+的計(jì)算。

圖3 氣動(dòng)引力輔助速度矢量關(guān)系

本文提出將大氣飛行段劃分為下降段、平飛段和上升段，如圖4所示。其中h,θ,v,γ分別為高度、大氣飛行角、速度和航跡角，Δθ為航天器在各段飛過(guò)的角度。在下降段，航天器以初始狀態(tài)h0,θ0,v0,γ0進(jìn)入大氣層并逐漸下降，經(jīng)過(guò)Δθd后到達(dá)平飛高度。在平飛段，航天器保持水平飛行狀態(tài)飛過(guò)Δθe。在上升段，航天器高度逐漸增大，經(jīng)過(guò)Δθa后以末狀態(tài)hf,θf(wàn),vf,γf飛出大氣層。下面分別對(duì)這三個(gè)階段進(jìn)行計(jì)算。

圖4 下降段、平飛段和上升段

1)下降段

由于下降段過(guò)程主要發(fā)生在大氣密度較低的高層大氣，因此可以近似認(rèn)為下降段速度大小保持不變，即

v≡v0

(2)

同時(shí)根據(jù)多個(gè)文獻(xiàn)中對(duì)氣動(dòng)引力輔助的仿真結(jié)果[12-14],下降段航跡角為小量且隨時(shí)間近似線性變化,即

γ=at+γ0

(3)

式中:a為待求系數(shù)。

因此可以得到下降段運(yùn)動(dòng)方程，

(4)

(5)

式(5)中由于火星大氣層高度遠(yuǎn)小于火星半徑，因此可認(rèn)為r≈r0。

積分式(4)得

(6)

式中:te 0為下降段結(jié)束時(shí)間，he 0為下降段結(jié)束時(shí)高度。

將γ(te 0)=0代入式(3)得，

ate 0+γ0=0

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)可求得

(8)

將式(5)自變量換為γ得，

(9)

積分得到，

(10)

因此下降段航天器飛過(guò)的角度Δθd可由式(10)計(jì)算得到，其中h0,r0,γ0由初始狀態(tài)確定，he 0可采用以下方式計(jì)算。

當(dāng)航天器進(jìn)入平飛狀態(tài)時(shí)，由豎直方向受力平衡得，

(11)

式中:L,β,λ分別為升力加速度，航天器彈道系數(shù)和升阻比。

大氣密度隨高度指數(shù)分布，即

(12)

式中:ρ0,hs分別為參考大氣密度和密度標(biāo)高。

將式(11)代入式(12)得到進(jìn)入平飛狀態(tài)時(shí)的高度，

(13)

2)平飛段

航天器速度的減小主要發(fā)生在平飛段，其速度減小可通過(guò)文獻(xiàn)[9]中模型計(jì)算，計(jì)算方式如下，

(14)

式中:D為阻力加速度，將式(14)代入式(5)并取γ=0，得到速度隨大氣飛行角的變化，

(15)

將式(11)代入式(15)，得

(16)

由于航天器處在平飛狀態(tài)，gr為常數(shù)，可近似取火星表面處數(shù)值。積分式(16)可得平飛段末速度與飛過(guò)的角度Δθe之間的關(guān)系，

(17)

相應(yīng)的雙曲線剩余速度關(guān)系為

(18)

3)上升段

上升段的計(jì)算與下降段類(lèi)似，可以看作下降段的逆過(guò)程，即

(19)

式中:hf=h0,rf=r0，飛出大氣層時(shí)的航跡角可近似為γf=-γ0，vf可通過(guò)式(17)計(jì)算。

4)速度矢量偏轉(zhuǎn)計(jì)算

氣動(dòng)引力輔助過(guò)程中雙曲剩余速度矢量大小的減小可以通過(guò)式(18)計(jì)算得到。而速度矢量的偏轉(zhuǎn)角關(guān)系如圖5所示，其中δ-,δ+分別為v∞-,v∞+與大氣邊緣的夾角。Δθd,Δθe,Δθa分別為下降段、平飛段和上升段飛過(guò)的角度。

圖5 氣動(dòng)引力輔助速度偏轉(zhuǎn)角

從圖5幾何關(guān)系可以看出，氣動(dòng)引力輔助過(guò)程中總速度偏轉(zhuǎn)角為，

φ=δ-+Δθ+δ+=δ-+Δθd+Δθe+Δθa+δ+

(20)

式中:δ-,δ+可通過(guò)經(jīng)典軌道力學(xué)計(jì)算得到，

(21)

式中:e,f為雙曲線軌道的偏心率和航天器的真近點(diǎn)角，可使用以下公式計(jì)算，

(22)

將航天器進(jìn)入大氣以及飛出大氣時(shí)的v,r,γ代入即可計(jì)算得到δ-,δ+。

1.3 軌道優(yōu)化模型

對(duì)于自由返回軌道，航天器從地球出發(fā)，經(jīng)過(guò)N次借力飛行最終返回地球。因此進(jìn)行軌道優(yōu)化時(shí)，最小化目標(biāo)函數(shù)為

(23)

對(duì)于引力輔助的自由返回軌道，優(yōu)化變量取為t0,t1,…,tN,tN+1;r1,…,rN。其中，t0,tN+1分別為地球出發(fā)和返回時(shí)間；t1,…,tN和r1,…,rN為到達(dá)各借力天體的時(shí)間和近心距。

約束條件為

(24)

即地球出發(fā)時(shí)間t0在2033年到2036年范圍內(nèi)，各天體處近心距應(yīng)至少高于天體半徑200 km，且雙曲剩余速度在引力輔助前后不改變大小。

對(duì)于氣動(dòng)引力輔助的自由返回軌道，優(yōu)化變量取為t0,t1,…,tN,tN+1; Δθ1,…,ΔθN;γ1,…,γN。其中,Δθ1,…,ΔθN和γ1,…,γN分別為各借力天體處大氣飛行角和進(jìn)入大氣時(shí)的航跡角。

約束條件為

(25)

2 軌道優(yōu)化結(jié)果

本節(jié)研究了“地球-火星-地球(E-M-E)”、“地球-火星-金星-地球(E-M-V-E)”和“地球-金星-火星-地球(E-V-M-E)”三種火星自由返回軌道序列。金星的質(zhì)量和軌道特性使其成為載人火星任務(wù)的首選引力輔助天體[6]，因此在后兩種序列中，利用了金星引力輔助實(shí)現(xiàn)自由返回軌道。研究中分別對(duì)比了采用引力輔助模型、本文提出的三段式氣動(dòng)引力輔助模型和現(xiàn)有文獻(xiàn)中簡(jiǎn)化氣動(dòng)引力輔助模型[17]的優(yōu)化結(jié)果。

2.1 E-M-E序列

E-M-E序列只需要一次借力飛行，是最簡(jiǎn)單的火星自由返回軌道。航天器從地球出發(fā)，進(jìn)入火星轉(zhuǎn)移軌道。如果任務(wù)正常進(jìn)行，則可以在火星近拱點(diǎn)處減速，進(jìn)入環(huán)火軌道。如果任務(wù)終止，則不進(jìn)行減速制動(dòng)，直接返回地球。根據(jù)第1.3節(jié)優(yōu)化模型搜索得到的燃料最優(yōu)自由返回軌道如圖6所示。

圖6 E-M-E自由返回軌道

轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)比較見(jiàn)表1，其中GA為采用引力輔助的軌道，AGA1為采用三段式氣動(dòng)引力輔助模型的軌道，AGA2為采用簡(jiǎn)化氣動(dòng)引力輔助模型的軌道。

對(duì)比GA和AGA1軌道可以發(fā)現(xiàn)，使用氣動(dòng)引力輔助可以將飛行總時(shí)間減少125 d，其中返航時(shí)間可以減少102 d，因此非常適合需要快速返回地球中止軌道任務(wù)，同時(shí)燃料消耗減少約2.5 km/s。對(duì)比兩種軌道的V∞速度，可以發(fā)現(xiàn)V∞E1基本保持不變，V∞M增大了1.21 km/s，而V∞E2減小了3.31 km/s。

對(duì)比AGA1和AGA2軌道可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)本文提出的氣動(dòng)引力輔助模型計(jì)算得到的軌道與現(xiàn)有模型計(jì)算得到的軌道參數(shù)基本一致，驗(yàn)證了本文模型的正確性。兩個(gè)軌道的主要區(qū)別在于AGA1軌道的大氣飛行角ΔθM比AGA2軌道大23°，這主要是由于簡(jiǎn)化模型中沒(méi)有考慮下降段與上升段對(duì)大氣飛行角的貢獻(xiàn)。同時(shí)AGA1軌道還給出了大氣飛行段的初始航跡角，可作為高精度氣動(dòng)引力輔助仿真的初始值。

表1 E-M-E自由返回軌道參數(shù)Table 1 Parameters of E-M-E free return trajectory

E-M-E自由返回軌道燃料消耗以及V∞速度較大，對(duì)火箭運(yùn)載能力的要求較高，但由于具有出航和返航時(shí)間較短的優(yōu)勢(shì)，很適合作為載人任務(wù)的軌道。

2.2 E-M-V-E序列

E-M-V-E自由返回軌道到達(dá)火星后并不直接返回地球，而是相繼經(jīng)過(guò)火星和金星兩次引力輔助后返回地球。根據(jù)第1.3節(jié)優(yōu)化模型搜索得到的燃料最優(yōu)自由返回軌道如圖7所示。

圖7 E-M-V-E自由返回軌道

轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)比較見(jiàn)表2，其中GA為采用引力輔助的軌道，AGA1為采用三段式氣動(dòng)引力輔助模型的軌道，AGA2為采用簡(jiǎn)化氣動(dòng)引力輔助模型的軌道。

對(duì)于E-M-V-E自由返回軌道，AGA1在燃料消耗減少1.28 km/s的基礎(chǔ)上，總飛行時(shí)間減少132 d。地火轉(zhuǎn)移時(shí)間減少89 d，降低約43%，極大地加快了出航過(guò)程。由于到達(dá)火星時(shí)與火星軌道速度夾角較大，如圖7所示，其V∞M也較大，不利于在火星正常入軌。

AGA軌道在火星處使用了氣動(dòng)引力輔助技術(shù)，而在金星處則僅使用引力輔助。這是由于金星的引力輔助能力較強(qiáng)，可以達(dá)到指定的速度偏轉(zhuǎn)角，如果使用氣動(dòng)引力輔助，反而會(huì)導(dǎo)致速度降低，增加燃料消耗。

表2 E-M-V-E自由返回軌道參數(shù)Table 2 Parameters of E-M-V-E free return trajectory

與第2.1節(jié)類(lèi)似，AGA1與AGA2軌道優(yōu)化結(jié)果基本一致，其中AGA1軌道由于包括下降段和上升段，大氣飛行角比AGA2軌道大。

由于使用了兩次引力輔助，E-M-V-E序列相對(duì)E-M-E序列更加復(fù)雜，返航時(shí)間也更長(zhǎng)，不利于故障模式下航天器快速返回地球。但由于其燃料消耗較少，出航時(shí)間較短，地球出發(fā)和到達(dá)V∞速度較低，有利于工程實(shí)現(xiàn)。

2.3 E-V-M-E序列

E-V-M-E序列與E-M-V-E序列類(lèi)似，同樣使用金星引力輔助，區(qū)別僅在于到達(dá)火星與金星的先后順序，因此其優(yōu)化過(guò)程也與E-M-V-E序列類(lèi)似。搜索得到的燃料最優(yōu)自由返回軌道如圖8所示。

圖8 E-V-M-E自由返回軌道

兩條轉(zhuǎn)移軌道參數(shù)比較見(jiàn)表3。其中GA為采用引力輔助的軌道，AGA1為采用三段式氣動(dòng)引力輔助模型的軌道，AGA2為采用簡(jiǎn)化氣動(dòng)引力輔助模型的軌道。

表3 E-V-M-E自由返回軌道參數(shù)Table 3 Parameters of E-V-M-E free return trajectory

由表3可知，AGA1在燃料消耗減少約2.4 km/s的基礎(chǔ)上，相對(duì)于GA軌道飛行總時(shí)間僅減少27 d，效果不如之前兩種序列。這主要是由于金星較強(qiáng)的引力輔助能力使航天器進(jìn)入較為理想的轉(zhuǎn)移軌道。

AGA1軌道與AGA2軌道參數(shù)基本一致，主要區(qū)別在于大氣飛行角的不同，這與前兩節(jié)的結(jié)論是一致的。

E-V-M-E序列出航時(shí)間較長(zhǎng)，不利于正常任務(wù)的進(jìn)行，但其較短的返航時(shí)間和較小的出發(fā)和返回雙曲剩余速度對(duì)于故障模式下快速返回地球十分有利，同時(shí)其燃料消耗是三種序列中最小的。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)基于氣動(dòng)引力輔助的火星自由返回軌道進(jìn)行了研究。針對(duì)現(xiàn)有研究中氣動(dòng)引力輔助模型過(guò)于簡(jiǎn)化，提出將大氣飛行過(guò)程分為下降段、平飛段以及上升段三個(gè)階段，使用大氣飛行角Δθ和航跡角γ來(lái)描述氣動(dòng)引力輔助過(guò)程，并分別建立了各段的計(jì)算模型。

本文分別對(duì)E-M-E,E-M-V-E和E-V-M-E三種火星自由返回軌道序列進(jìn)行了計(jì)算分析，比較了引力輔助模型、三段式氣動(dòng)引力輔助模型以及簡(jiǎn)化氣動(dòng)引力輔助模型。計(jì)算結(jié)果表明，根據(jù)本文提出的氣動(dòng)引力輔助模型計(jì)算得到的轉(zhuǎn)移軌道與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果類(lèi)似，主要區(qū)別在于大氣飛行角的大小?，F(xiàn)有文獻(xiàn)模型由于忽略了下降段和上升段，其大氣飛行角被明顯低估，而本文提出的模型由于更接近真實(shí)的飛行過(guò)程，可以更準(zhǔn)確地計(jì)算出大氣飛行角并給出相應(yīng)的航跡角。該模型還給出了大氣飛行段的初始航跡角，可作為高精度氣動(dòng)引力輔助仿真的初始值。計(jì)算結(jié)果同時(shí)表明，對(duì)于三種自由返回軌道序列，氣動(dòng)引力輔助技術(shù)可以顯著提升自由返回軌道性能，如降低出航和返航時(shí)間，降低燃料消耗等。雖然氣動(dòng)引力輔助由于其技術(shù)上的復(fù)雜性而未能在以往的航天任務(wù)中得到應(yīng)用，但隨著航天技術(shù)的不斷進(jìn)步，這種技術(shù)必將得到更廣泛的應(yīng)用。