李娜 何建鋒

1 引言

選擇公理（AC）在數(shù)學(xué)中被廣泛的使用，它斷定：對非空集合的任意收集，我們能從該收集的每個成員中選擇一個元素。但是，AC有一些非直覺的后承，如“每個集合都能被良序”，我們難以想像所有實數(shù)的集合被良序。

1878年，康托（G.Cantor）構(gòu)造了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（continuum hypothesis，CH），它斷定：實數(shù)的每個無窮集，要么和N（自然數(shù)的集合）有相同的基數(shù)，要么和R（實數(shù)的集合）有相同的基數(shù)。CH的形式化為：??x(?0＜|x|＜2?0)，其中|x|表示x的基數(shù)。CH有兩個推廣：一個是廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)（general continuum hypothesis GCH），?x??y(|x|＜ |y|＜ |2x|)；另一個是阿列夫假設(shè)（aleph hypothesis，AH）?α(2?α= ?α+1)。GCH蘊涵 AC、CH、AH。

1908年，集合論第一次被策梅洛（E.Zermelo）公理化，后經(jīng)過斯柯倫（T.Skolem）和弗蘭克爾（A.Fraenkel）的改進，形成了ZF，在ZF的基礎(chǔ)上添加AC，就得到ZFC。公理化集合論ZFC的誕生，使得元數(shù)學(xué)成為可能，因為所有的數(shù)學(xué)都能在ZFC中被形式化。元數(shù)學(xué)即對數(shù)學(xué)自身的研究。但是根據(jù)哥德爾（K.G?del）的不完全性定理，ZF或ZFC系統(tǒng)是不完全的，因此，對于我們抱有疑慮的公理AC或假設(shè)GCH，它們在形式系統(tǒng)ZF或ZFC中的證明或證偽就變得很有意義。

解決這些問題的努力引導(dǎo)了各種集合論模型的誕生。1922年，弗蘭克爾給出了帶原子的ZF集合論（簡稱ZFA）的一個置換模型（permutation model），并用它證明了AC相對于ZFA的獨立性（[11]，第46頁）。后來，莫斯托夫斯基（A.Mostowski）和施佩克爾（E.P.Specker）相繼改進了置換模型。置換模型被用于獲得AC相對于ZF0（ZF去掉基礎(chǔ)公理）的獨立性。1940年，哥德爾發(fā)表了他的可構(gòu)成模型（constructible model），他使用它證明了AC相對于ZF的一致性、GCH相對于ZF+AC的一致性（[11]，第25頁）。1956年，塔爾斯基（A.Tarski）提出了自然模型（natural model）的概念，將已存在的累積分層（cumulative hierarchy）視為集合論的自然模型（[25]）。1963年，科恩（P.J.Cohen）構(gòu)造了集合論的力迫模型（forcing model），并使用它證明了AC相對于ZF的獨立性、GCH相對于ZF+AC的獨立性（[11]，第76頁）。這些模型誕生的目的是為了獲得一些重要的獨立性結(jié)果，我們姑且將這些模型稱為集合論的經(jīng)典模型。

在科恩之后，斯科特（D.Scott）、索洛韋（R.M.Solovay）、福平卡（P.Vopěnka）引入了布爾值模型（boolean-valued model），這種模型可視為力迫模型的一種重構(gòu)（[3]，第18頁）。隨后，布爾值模型被推廣到了海廷代數(shù)（heyting algebra）、格（lattice）。2015年，洛維（B.L?we）和塔拉法德（S.Tarafder）將布爾值模型推廣到了三值代數(shù)（three-valued algebra），構(gòu)造了廣義代數(shù)值模型（generalized algebra-valued model）（[22]）。此外，1980年，富爾曼（M.P.Fourman）將拓撲斯（topos）引入到了集合論的模型研究中，展示了如何利用拓撲斯獲得一些原理的獨立性證明（[13]）。這些模型可算作是技術(shù)上的創(chuàng)新，我們姑且稱它們?yōu)榧险摰姆墙?jīng)典模型。

本文分為三部分：第一部分分析集合論的經(jīng)典模型的作用，并梳理其最新動態(tài)；第二部分簡要介紹集合論的非經(jīng)典模型，討論其應(yīng)用前景；第三部分為基于形式不一致邏輯的弗協(xié)調(diào)ZF集合論構(gòu)造具有一定普遍性的廣義代數(shù)值模型。

2 集合論的經(jīng)典模型

本節(jié)將按照自然模型、可構(gòu)成模型、置換模型、力迫模型的順序討論這些經(jīng)典模型，并非按照時間順序，這樣安排是出于兩方面的考慮：第一，作為自然模型的累積分層出現(xiàn)的較早，且被廣泛使用，只是“自然模型”這個名字出現(xiàn)的較晚；第二，置換模型和可構(gòu)成模型沒有緊要的聯(lián)系，卻和力迫模型有共通之處，它們不僅都用于獲得獨立性結(jié)果，而且都具有對稱性質(zhì)（symmetry property）。1對稱性質(zhì)在獲取AC的獨立性時十分有用，在利用對稱性質(zhì)為ZF構(gòu)造的置換模型或力迫模型中，易使AC不成立。因為本文不涉及模型的具體構(gòu)造過程，所以下文不會討論對稱性質(zhì)。

2.1 自然模型

1917年，米利曼諾夫（D.Mirimanoff）使用超窮歸納構(gòu)造了集合Vα的一個累積分層，其中α是任意序數(shù)，如下：

(1)V0=?；

(2)Vα+1=Vα∪?(Vα)，其中 ?(Vα)是 Vα的冪集；

(3)Vα=∪[Vβ|β∈α]，其中α是任意極限序數(shù)（[6]，第219頁）。

從累積分層出發(fā)，可以得到任意累積集Vα，即，對任意α有Vα；也可以得到所有累積集構(gòu)成的類[Vα|α∈ON]，其中ON是所有序數(shù)的類。如果我們用V表示集合全域{x|x=x}，那么，使用ZF可以證明V=∪[Vα|α∈ON]。證明過程簡述為：冪集公理用于從α得到Vα。替換公理和并公理用于為一個極限序數(shù)α構(gòu)造Vα?？紤]一個函數(shù)，它為每個β＜α指派集合Vβ。通過替換公理，對β＜α而言，所有Vβ的收集是一個集合，所以，并公理用于這個集合產(chǎn)生Vα。無窮公理用于證明ω的存在，并且也證明序數(shù)的超窮序列的存在。最后，在假定其它公理的情況下，基礎(chǔ)公理等價于陳述：對某個序數(shù)α而言，每個集合都屬于某個Vα。2特殊地，馮?諾依曼（von Neumann）證明∪[Vα|α∈ON]是ZF的一個標準模型（standard-model）（[6]，第219頁）。所謂標準模型是指，集合論的語言中的謂詞符號∈和=分別被解釋為通常意義上的隸屬關(guān)系和相等關(guān)系。

根據(jù)反射原理（reflection principle），對每個公式φ(x1,...,xn)，ZFC證明：存在一個序數(shù)α滿足：Vα反射它，即，對每個a1,...,an∈Vα有：φ(a1,...,an)在V中成立，當且僅當，φ(a1,...,an)在Vα中成立。因此，存在序數(shù)α，使得Vα是ZFC的一個模型，當然也是ZF的一個模型。ZF的形如Vα的模型被稱為ZF的自然模型。關(guān)于自然模型的研究主要是確定α的取值范圍。

張宏裕在討論自然模型時，給出的定理是“若K是不可及基數(shù)，則VK是ZF的模型”（[45]，第168頁）。關(guān)于ZF的自然模型Vα，這個結(jié)果沒有完全地描述α的取值范圍。因為蒙塔古（R.Montague）和沃特（L.R.Vaught）證明了：對任意不可及基數(shù)K，存在一個序數(shù)θ＜K并非是不可及的，且累積集Vθ是ZF的傳遞標準模型。為了完全地描述ZF的自然模型，2007年，布尼納（E.I.Bunina）和扎哈羅夫（V.K.Zakharov）引入了（強）公式不可及基數(shù)（(strongly)formula-inaccessible cardinal number）的概念（[6]）。下面簡要介紹這個概念。

關(guān)于公式不可及基數(shù)。首先給出一些記號說明。如果一個公式φ的所有自由變元包含于變元x1,...,xm-1,p0,...,pn-1中，那么我們把它記為φ(→x,→p)。在記號φ(→x,→p)中，變元p0,...,pn-1被視作參數(shù)（parameters）。我們用→x∈A、?→x∈A、?→x∈A分別表示x0∈A∧...∧xm-1∈A、?x0∈A...?xm-1∈A、?x0∈A...?xm-1∈A。然后，對任意傳遞集A，ZF的每個公式φ(x,y;→p)定義了一個對應(yīng)，即，依賴參數(shù)→p的

[φ(x,y;→p)|A]≡{z∈A?A|?x,y∈A(z=〈x,y〉∧φA(x,y;→p))}?A?A。其中，φA(x,y;→p)表示φ(x,y;→p)在A中成立。一個序數(shù)α被稱為公式正則的（formula-regular），如果

?→p∈Vα?β(β∈α∧([φ(x,y;→p)|Vα]?(β→α)?∪rng[φ(x,y;→p)|Vα]∈α))，

其中，[φ(x,y;→p)|Vα]? (β→α)的意思是 [φ(x,y;→p)|Vα]是一個從β到α內(nèi)的函數(shù)。φ是指稱ZF的任意公式的元變元（metavariable），rng表示值域。一個序數(shù)α＞ω被稱為（強）公式不可及的，如果

(1)?β(β∈α?|?(β)|∈α)；

(2)α是公式正則的。

如果一個序數(shù)α滿足?β(β∈α?|?(β)|∈α)，那么α是一個基數(shù)。每個公式不可及序數(shù)α是一個基數(shù)。如果α是一個公式不可及基數(shù)，那么Vα被稱為公式不可及累積集（formula-inaccessible cumulative sets）。

布尼納和扎哈羅夫證明了一個定理：在ZF中，對任意集合U，下列斷定等價，

(1)對某個公式不可及基數(shù)α，有U=Vα；

(2)U是ZF的一個超傳遞標準模型。

據(jù)此結(jié)果，ZF的所有自然模型都可以被描述。關(guān)于超傳遞見[6]，第222頁。

2.2 可構(gòu)成模型

可構(gòu)成模型被用于證明AC、GCH相對ZF的一致性?？蓸?gòu)成（constructibility）的最初想法是：令A(yù)是非空的、兩兩不相交集合的一個集合。A的一個選擇集C是∪A的一個子集，所以C是?(∪A)的一個元素。所以可以設(shè)想，選擇公理是從并公理和冪集公理出發(fā)可證的。但是根據(jù)分離公理，我們想證明選擇集的存在，需要一個ZF公式?(x)。但是我們不知道如何從一般意義上獲得這樣一個公式，所以，給出可定義集合（definable set）的概念。

令L是一個一階語言，令R=〈A,...〉是L上的一個關(guān)系系統(tǒng)，A為它的定義域。A的一個子集S被稱為在R上是可定義的（definable），當且僅當，存在L的一個公式?，?有一個自由變元x，使得S={a|a∈A且R??[a]}。令Def(R)是R的所有可定義子集的集合。

可構(gòu)成模型有兩種：語義的和語法的。1939年，哥德爾發(fā)表了作為語義模型的可構(gòu)成模型（[11]，第25頁）。這種語義模型通過定義一個超窮分層（transfinite hierarchy）Mα實現(xiàn)。1940年，哥德爾發(fā)表了作為語法模型的可構(gòu)成模型（[11]，第25頁）。這種語法模型通過定義可構(gòu)成集（constructible sets）的一個分層Fα實現(xiàn)。這里簡述作為語義模型的可構(gòu)成模型，而關(guān)于語法的可構(gòu)成模型請參見[45]，第175頁。

作為語義模型的可構(gòu)成模型如下：

令M是ZF的一個標準模型，對M中的序數(shù)α，在M中定義集合的一個分層Mα如下：

?M0=?；

?Mα+1=Def(Mα)；

?Mλ=∪{Mα|α＜λ}，如果λ是一個極限序數(shù)。

令L=∪{Mα|α∈ONM}，其中ONM是M中所有序數(shù)的類。一個集合被稱為可構(gòu)成的，當且僅當，它是某個Mα的元素。因為對所有α∈ONM，Mα在M中是可定義的，可得Mα是M的子集，所以有L?M?？勺C地，〈L,∈〉是ZF的一個模型。關(guān)于此模型的詳情請參見（[11]，第26頁）。

可構(gòu)成模型被用于證明AC相對于ZF的一致性、GCH相對于ZF的一致性、GCH相對于ZF+AC的一致性。G?del還證明了V=L在〈L,∈〉中成立，并且V=L蘊涵AC和GCH。因此，AC和GCH在〈L,∈〉中也成立，進一步地，〈L,∈〉是ZF+AC+GCH的一個模型。

可構(gòu)成模型不能被用于證明AC和GCH相對于ZF的獨立性?？贫饔?963年證明了：如果存在ZF的傳遞標準模型，那么存在ZF的極小模型（minimal model）。關(guān)于極小模型，如果M是ZF的一個極小模型，那么，對ZF的任意傳遞標準模型M′，M′包含一個同構(gòu)于M的子模型（[8]）?？贫鞯淖C明帶來一個后承：對任意公式?，如果我們使用可構(gòu)成模型M1證明?相對于ZF的一致性，那么無法構(gòu)造另一個可構(gòu)成模型M2用于證明?相對于ZF的獨立性。原因是：存在ZF的極小模型M3，使得M1和M2都包含同構(gòu)于M3的子模型，而這是不可能的。因此，使用可構(gòu)成模型的方法，我們無法證明AC和GCH相對于ZF的獨立性。

關(guān)于可構(gòu)成模型的后續(xù)發(fā)展，可分為四個方面：

一、關(guān)于可構(gòu)成性公理的研究。例如，1966年，斯卡爾佩里尼（B.Scarpellini）給出了可構(gòu)成性公理的最一般形式，斯卡爾佩里尼稱之為弱可構(gòu)成性公理（weak axiom of constructibility）。該公理的形式為：?x(?u?v(u∈x∧v∈u→v∈x)∧?y?z(z∈ON∧y∈Ftxz))，其中ON是所有序數(shù)的類，F(xiàn)txz可以理解為x上的一個可構(gòu)成集。該定理說的是：存在一個集合x，使得對任意集合y，都存在一個序數(shù)z使得y是在x上可構(gòu)成的。（[28]）

二、關(guān)于可構(gòu)成性公理的應(yīng)用的研究，一般體現(xiàn)為，在新構(gòu)造的模型中驗證可構(gòu)成性公理是否成立，以此考察新模型的表達力。例如，福平卡構(gòu)造了集合論的一個超冪模型（ultrapower model），在其中證明了可構(gòu)成性公理是成立的（[5]）。

三、關(guān)于可構(gòu)成模型的初等模型的研究。1976年，考恩（R.H.Cowen）研究了作為語義模型的可構(gòu)成模型，主要研究了可構(gòu)成集Mα和它的初等子模型、初等等價模型、可定義元素構(gòu)成的傳遞坍縮（transitive collapse）之間的關(guān)系（[9]）。

四、關(guān)于可構(gòu)成模型和布爾值模型的關(guān)系的研究。1967年，福平卡和哈耶克（P.Hájek）討論了將作為語義模型的可構(gòu)成模型轉(zhuǎn)換為布爾值模型的可能性（[32]）。

自20世紀70年代后期起，關(guān)于可構(gòu)成性公理的研究關(guān)注的是精細結(jié)構(gòu)（fine structure）和核模型（thecoremodel）。精細結(jié)構(gòu)是關(guān)于可構(gòu)成全域L的理論，它本質(zhì)上試圖說明可構(gòu)成分層的增長方式（[17]）。核模型是構(gòu)造集合論的全域的一個可定義的內(nèi)模型的方法，它需要用到精細結(jié)構(gòu)和迭代超冪（iteratedultrapowers）（[10]，第xiv頁）。核模型主要用于大基數(shù)（large cardinal）的研究，方法是通過判定位于某個大基數(shù)公理下的核模型來分析該大基數(shù)公理的性質(zhì)（[18]）。例如，2001年，維克斯（J.Vickers）和韋爾奇（P.D.Welch）使用核模型的方法證明：Con（ZFC+存在一個傳遞內(nèi)模型M和一個非平凡的初等嵌入M→V）不能蘊涵Con（ZFC+存在一個可測基數(shù)（measurable cardinal）），其中Con表示一致性（[31]）。

2.3 置換模型

弗蘭克爾首次在1922年引入了置換模型，因為當時關(guān)于數(shù)學(xué)和元數(shù)學(xué)的區(qū)分還不十分清晰，所以弗蘭克爾沒能很好地處理某些概念的絕對性。這些不足被莫斯托夫斯基觀察到和糾正。弗蘭克爾-莫斯托夫斯基的方法不是用于普通的集合論，而是用于帶原子（atoms）的集合論。弗蘭克爾-莫斯托夫斯基的方法后來被施佩克爾改進，簡稱為FMS方法，用于允許自反集（reflexive sets）存在的集合論。

需要說明原子和自反集。原子有時也被稱為基本元素（urelements），它自身不是集合，但可以作為集合的元素。一個集合x是自反的，當且僅當，x={x}，即條件?y(y∈x?y=x)成立。自反集具有原子的性質(zhì)，并且自反集的存在矛盾于基礎(chǔ)公理（[15]，第6頁）。因此，研究允許自反集存在的集合論，不僅涵蓋了對帶原子的集合論的研究，而且可以研究允許非基集（unfounded sets）存在的集合論。

從ZF中去掉基礎(chǔ)公理后，由剩余的公理構(gòu)成的集合論，即為允許自反集的集合論，記為ZF°。簡單來說就是：ZF=ZF°+基礎(chǔ)公理。

說明：給定ZF，如果我們使它允許原子，但不允許自反集，那么得到的集合論記為ZFA。在ZFA中，基礎(chǔ)公理仍然是有效的，且使用置換模型可以獲得AC相對于ZFA的獨立性。給定ZF，如果我們使它允許自反集，那么必須去掉基礎(chǔ)公理。在這樣的情況下使用置換模型，獲得的獨立性結(jié)果都是相對于ZF°的。關(guān)于前者的實例可參見[3]（第3頁），關(guān)于后者的實例請參見[11]（第57–74頁）。

這里不再介紹置換模型的一般構(gòu)造過程，原因是：作為獲得獨立性結(jié)果的工具，置換模型要么不能用于純集合構(gòu)成的集合論，要么不能用于包含基礎(chǔ)公理的集合論，相比之下，在置換模型之后出現(xiàn)的力迫模型，不但繼承了置換模型的優(yōu)點，即對稱性，而且還克服了置換模型的不足，應(yīng)用范圍十分廣泛。如果讀者對置換模型的構(gòu)造過程有興趣，請參見[11]（第46–57頁）。

置換模型的作用。置換模型被用來獲得一些公理相對于ZF°的獨立性，主要包括：基礎(chǔ)公理相對于ZF°的獨立性；AC相對于ZF°的獨立性；GCH相對于AH的獨立性；AC相對于庫雷巴（Kurepa）的反鏈原理（anti-chain principle）的獨立性。該反鏈原理是說：每個偏序集〈s,≤〉都有一個極大反鏈。借助于置換模型，我們還可以獲得基數(shù)在ZF°中的不可定義性。定義一個集合x的基數(shù)|x|，要么借助AC，要么借助基礎(chǔ)公理，在既沒有AC也沒有基礎(chǔ)公理的情況下，我們無法定義x的基數(shù)|x|。因此，基數(shù)在ZF°中是不可定義的。萊維（A.Lévy）和甘特（R.J.Gautt）分別獨立地獲得了這個結(jié)果（[11]，第68頁）。

2.4 力迫模型

第一個力迫模型由科恩于1963年構(gòu)造。力迫模型是一種擴張模型，即，構(gòu)造力迫模型的過程就是構(gòu)造某個給定模型的擴張模型。在力迫模型出現(xiàn)之前，當通過向ZF的模型M伴隨新的集合a0,a1,...對M進行擴張時，面臨的主要困難是，集合ai自身的結(jié)構(gòu)會帶來一些麻煩，例如，ai的內(nèi)部∈結(jié)構(gòu)會摧毀替換公理。力迫模型的出現(xiàn)克服了這個困難。在力迫模型中，使用力迫關(guān)系約束ai的性質(zhì)，使之必須遵守M中形成的某些條件，通過該方式，使得ai不能帶來我們不期望的麻煩。這些被伴隨到M的集合ai被稱為“兼納集”（generic sets）3關(guān)于generic sets的翻譯。數(shù)學(xué)詞典上譯為泛集，[45]譯為脫殊集，[37]譯為兼納集，本文采用“兼納集”這個譯法。。如果通過力迫關(guān)系約束ai的條件為有窮條件，那么這些ai被稱為在M上科恩兼納的（Cohen-generic）。使用“科恩兼納”這個名字是為了紀念第一個發(fā)明有窮力迫的科恩。帶實線的完美閉子集的力迫被稱為薩克斯（Sacks）力迫，對應(yīng)的兼納集被稱為薩克斯兼納。帶博雷爾（Borel）集的力迫被稱為索洛韋力迫，對應(yīng)的兼納集被稱為索洛韋兼納。（[11]）

關(guān)于力迫模型，國內(nèi)邏輯學(xué)界研究的較多，這里不再贅述。關(guān)于力迫模型的一個簡述請參見（[37]）。關(guān)于力迫模型的詳情請參見[11]（第78–96頁），關(guān)于力迫和布爾值模型的結(jié)合的介紹請參見（[45]，第229–243頁），其中，該模型的名字叫脫殊模型。

下面介紹力迫模型的作用。

力迫模型被用于獲得一些獨立性結(jié)果?？贫髯C明了AC相對于ZF的獨立性，即，如果ZF是一致的，那么ZF+AC是不一致的。方法是：ZF+AC?一個集合x是有窮的，當且僅當，它是戴德金有窮的?？贫髟谒麡?gòu)造的兼納擴張N中，發(fā)現(xiàn)了一個集合既是無窮的又是戴德金有窮的，因此，ZF+AC是不一致的。因為GCH蘊涵AC，所以GCH相對于ZF也是獨立的，即，如果ZF是一致的，那么ZF+GCH是不一致的。科恩還證明了，如果ZF是一致的，那么ZF+AC+?CH是一致的。因此，CH相對于ZF+AC是不一致的，因為GCH蘊涵CH，所以GCH相對于ZF+AC也是不一致的。這就獲得了GCH相對于AC的獨立性。以類似的方式，科恩還證明了可構(gòu)成性公理V=L相對于ZF+AC+GCH的獨立性。

下面列舉一些其它的獨立性結(jié)果。（[11]）

BPI相對于序原理的獨立性。BPI是布爾素理想定理，說的是：每個布爾代數(shù)有一個素理想。序原理OP為：每個集合x都能被全序。序擴張原理OE為：如果x是一個集合，且r是x上的一個偏序，那么存在一個線序t使得r?t。在力迫模型出現(xiàn)之前已有ZF?AC→BPI→OE→OP。馬賽厄斯（A.R.D.Mathias）證明了：如果M是ZF+V=L的一個可數(shù)標準模型，那么M能被擴張成為ZF+OP+?OE的一個可數(shù)標準模型N。因此，OE在ZF中獨立于OP，BPI也在ZF中獨立于OP。

哈爾彭（J.D.Halpern）和萊維構(gòu)造了模型M的一個兼納擴張M[a0,a1,...,A]，該擴張是ZF+BPI+?AC的一個模型。因此，他們也證明了：如果ZF是一致的，那么AC在ZF中相對于BPI是獨立的。

相關(guān)選擇公理（axiom of dependent choices）是說：令R是集合x上的一個二元關(guān)系，使得(?y∈x)(?z∈x)(〈y,z〉∈R)，那么存在x的元素的一個可數(shù)序列y0,y1,...,yn,...(n∈ω)使得：對所有n∈ω有〈yn,yn+1〉∈R。莫斯托夫斯基在1948年構(gòu)造了一個置換模型，證明了，在ZF°中，AC相對于相關(guān)選擇公理的獨立性。后來，馬雷克（W.Marek）將莫斯托夫斯基的置換模型翻譯為一個力迫模型，證明了，在ZF中，AC相對于相關(guān)選擇公理的獨立性。

利用力迫模型獲得的更多的獨立性結(jié)果請參見[43]。

3 集合論的非經(jīng)典模型

拓撲斯作為一種技術(shù)的創(chuàng)新，能對置換模型、力迫模型、布爾值模型進行重構(gòu)。因此，本節(jié)先介紹布爾值模型和布爾值模型的推廣，后介紹拓撲斯。

3.1 布爾值模型

使用布爾值模型描述力迫模型的思想最早由索洛韋在1965年提出，他使用博雷爾集作為力迫條件構(gòu)造模型，并聲稱：力迫某個陳述的條件的組合是該陳述的‘值’。福平卡獨立地發(fā)現(xiàn)了和索洛韋相同的觀點，只是福平卡最初的呈現(xiàn)很簡潔，所以沒有引起很大關(guān)注。這兩條記錄來自（[1]，第xv–xvi頁）。（[11]，第77頁）記錄道：斯科特、索洛韋和福平卡發(fā)現(xiàn)能把力迫理解為句子的一個布爾賦值。但費爾格納（U.Felgner）的根據(jù)是斯科特在1967年的課堂筆記，在該筆記中，斯科特證明休恩菲爾德（J.R.Shoenfield）構(gòu)造力迫模型的方法是布爾值模型的方法。斯科特、索洛韋、休恩菲爾德等人都是在討論會上討論使用布爾值模型描述力迫模型，很多結(jié)果都沒有發(fā)表，只有貝爾（J.L.Bell）整理的筆記。因此，現(xiàn)在通常認為是斯科特、索洛韋、福平卡三人引入了布爾值模型。

布爾值模型的作用和力迫模型的作用是一樣的，正如（[1]，第xvi頁）所說：“力迫和布爾值模型是相同的東西……從心理上講，布爾值模型更加自然，但是，當面對具體的模型（和恰當模型的構(gòu)造）時，常常不得不更加靠近力迫條件”。

關(guān)于布爾值模型的詳細構(gòu)造過程，參見[1,45]。這里只簡述一下，便于介紹廣義布爾值模型。布爾值模型的構(gòu)造可分為三步：第一，將集合論的自然模型中的每個集合替換為它們的特征函數(shù)，這些特征函數(shù)的值域是布爾代數(shù)2；第二，用任意完全布爾代數(shù)替換布爾代數(shù)2作為特征函數(shù)的值域；第三，證明第二步中獲得的特征函數(shù)的類（也被稱為布爾值全域）是集合論的模型，該模型即為布爾值模型。

布爾值模型的推廣。該推廣有兩個方向：第一個方向是將布爾值模型由ZF推廣到其它公理化集合論或邏輯，例如，李娜教授分別將布爾值模型推廣到馮?諾依曼-貝奈斯-哥德爾集合論（vonNeumann-Bernays-G?delaxiomaticclass-settheory，即NBG）（[35]）、聚合公理系統(tǒng)COG（[36]）、道義邏輯D（[39]）、含有原子的集合論（[40]）、模態(tài)命題邏輯（K、D、T、S1、S2、S3）（[38,42]）；第二個方向，是將布爾值模型推廣到海廷代數(shù)、格、三值代數(shù)。關(guān)于第二個方向的推廣將在下一節(jié)中說明。

3.2 從布爾值模型到廣義代數(shù)值模型

格+一些限制條件=海廷代數(shù)；海廷代數(shù)+另一些限制條件=布爾代數(shù)。利用完全布爾代數(shù)構(gòu)造ZFC的布爾值模型，可以證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)相對于ZFC的獨立性。一種自然的想法是：用海廷代數(shù)替換布爾代數(shù)構(gòu)造模型會怎么樣？用格替換布爾代數(shù)構(gòu)造模型會怎么樣？用海廷代數(shù)H替換布爾代數(shù)B構(gòu)造的VH是直覺主義集合論（intuitionistic ZF）的一個模型；用恰當?shù)母裉鎿Q布爾代數(shù)可以得到量子集合論（quantum set theory）或模糊集合論（fuzzy set theory）的模型，例如，[47]和[46]使用格構(gòu)造了模糊集合論的模型4[47]和[46]將“fuzzy”譯為“弗晰”，在本文中譯為“模糊”。。[22]用合理蘊涵代數(shù)（reasonable implication algebras）（這是一個三值代數(shù)）替換布爾代數(shù)，得到ZF的廣義代數(shù)值模型。下面按直覺主義集合論的模型、量子集合論的模型、廣義代數(shù)值模型的順序介紹此推廣過程。

1973年，邁希爾（J.Myhill）構(gòu)造了基于直覺主義邏輯的集合論系統(tǒng)IZF，即直覺主義ZF；和ZFC相比，因為直覺主義邏輯拒絕排中律，又因為選擇公理和基礎(chǔ)公理蘊涵排中律，所以IZF舍棄了選擇公理和基礎(chǔ)公理（[26]）。在使用同一語言的情況下，從形式上看，IZF和ZF有相同的外延公理、對公理、并公理、分離公理、無窮公理和冪公理；不同的是，IZF使用集合歸納公理模式（axiom schema of set induction）代替基礎(chǔ)公理。此外，邁希爾使用收集公理模式（axiom schema of collection）代替替換公理模式，這樣的行為帶來的一個結(jié)果是：有兩個直覺主義ZF，使用替換公理模式的IZF1和使用收集公理模式的IZF2，IZF2的表達力比IZF1強（[16]）。集合歸納公理模式（簡稱Ind）和收集公理模式（簡稱Coll）的形式如下：

(Ind)?x[?y∈x?(y)→?(x)]→?x?(x)；

(Coll)?y∈x?z?→?w?y∈x?z∈w?（[16]）。

在假定排中律的情況下，Ind等價于基礎(chǔ)公理，Coll等價于替換公理。1979年，格雷森（R.J.Grayson）使用海廷代數(shù)構(gòu)造了IZF的海廷值模型（[16]）。IZF的海廷值模型的構(gòu)造過程和上節(jié)中的布爾值模型的構(gòu)造過程類似，只不過把完全布爾代數(shù)換成完全海廷代數(shù)，這里不再贅述。

1936年，伯克霍夫（G.Birkhoff）和馮?諾依曼引入了量子邏輯（quantum logic）（[2]）。量子邏輯與經(jīng)典邏輯不同，它不同于經(jīng)典邏輯的公理系統(tǒng)，它只是量子物理理論的一種邏輯結(jié)構(gòu)，可被視為一個希爾伯特空間（Hilbert space）的所有封閉線性子空間（closed linear subspaces）的格。因為量子邏輯是格，所以，基于量子邏輯構(gòu)造量子集合論（quantum set theory）的工作，實際上是使用量子邏輯構(gòu)造集合的格值全域。構(gòu)造格值全域的過程類似于布爾值全域的構(gòu)造過程，這項工作于1981年由竹內(nèi)外史（G.Takeuti）完成，詳情參見（[29]），類似的工作還有（[30]）。2009年，小澤正直（M.Ozawa）為量子集合論構(gòu)造了格值模型（[27]）。小澤正直的工作實際上是將竹內(nèi)外史的格值全域推廣到正交模格（orthomodular lattice），即，使用正交模格代替竹內(nèi)外史使用的量子邏輯構(gòu)造格值全域。

[22]構(gòu)造ZF的廣義代數(shù)值模型的基本思路是：第一，給出蘊涵代數(shù)的定義，蘊涵代數(shù)是一種否定自由代數(shù)（即不包含否定運算的代數(shù)），且討論了蘊涵代數(shù)的兩個性質(zhì)，即合理性和蘊涵性，并給出蘊涵代數(shù)的一個例子PS3，PS3是合理的且演繹的；第二，介紹如何構(gòu)造模型VA，其中A是蘊涵代數(shù)，如果A是合理的且演繹的，那么除基礎(chǔ)公理外，ZF的其它公理或公理模式在VA中有效；第三，使用PS3構(gòu)造模型VPS3，基礎(chǔ)公理在VPS3中是有效的，可證地，VPS3是ZF的模型（關(guān)于該模型的詳情請參見[22]）。

3.3 拓撲斯

拓撲斯在邏輯中的應(yīng)用分為兩個方面：一方面，拓撲斯與邏輯中的“理論”對應(yīng)，拓撲斯可以在邏輯中被形式化為（帶完全概括公理的）直覺主義類型論（intuitionistic type theory（with the full comprehension axiom））；另一方面，拓撲斯可以為集合論提供模型。本文不介紹拓撲斯的定義，關(guān)于拓撲斯的定義請參見（[44]）和（[1]，第175頁）。下面將根據(jù)這兩個方面來介紹拓撲斯在邏輯中的應(yīng)用。

[12]（第1054頁）引用了勞威爾（F.W.Lawvere）的一句話——“以對象范疇形式呈現(xiàn)的拓撲斯概括了‘高階邏輯’的本質(zhì)”。在這篇文章中，富爾曼在拓撲斯和邏輯理論之間建立了一種對應(yīng)，并將這種對應(yīng)形式化。和其它人所做的形式化相比，富爾曼的形式化引入了一個新的存在謂詞（existence predicate），這使得我們能以通常的方式在拓撲斯中使用變元。（[19]）是關(guān)于邏輯和范疇論的關(guān)系的一篇清晰且簡潔的調(diào)查。富爾曼希望自己所呈現(xiàn)的拓撲斯對于邏輯學(xué)家來說是可及的，他希望邏輯學(xué)家能更多地利用由格羅滕迪克（Grothendieck）和他的合作者所提供的模型，而這也正是下面將要介紹的。

拓撲斯為集合論提供模型，并非像經(jīng)典模型一樣能被用于獲取新的結(jié)果，而只是作為一種技術(shù)上的創(chuàng)新對已有的集合論模型進行重構(gòu)。到目前為止，我們可將這種重構(gòu)的過程分為四個階段。第一個階段，勞威爾提出了范疇論公理化的集合論（category-theoretic axiomatizations of set theory），[24]研究了它和傳統(tǒng)公理化集合論在模型方面的異同。第二個階段，拓撲斯能夠統(tǒng)一地處理置換模型、力迫模型、布爾值模型、模型的對稱性，詳情參見[13]、[14]和[3]。第三個階段，布爾值模型?完全拓撲斯。對允許原子的每個布爾值模型，都存在一個表示它的最小完全拓撲斯，最小完全拓撲斯是一個格羅滕迪克拓撲斯，并且，在這個布爾值模型中，該最小完全拓撲斯能被描述；反之，每個允許原子的布爾值模型都能從表示它的最小完全拓撲斯中被重構(gòu)（詳情參見[4]）。第四個階段，[23]給出了直覺主義集合論的范疇模型的一個非常一般的構(gòu)成。

拓撲斯概念的引入，使得我們有一種新的技術(shù)構(gòu)造集合論的模型，這不僅體現(xiàn)在為ZF構(gòu)造模型，更進一步地，我們能使用拓撲斯為基于非經(jīng)典邏輯的集合論提供模型。與此同時，拓撲斯對已有模型的重構(gòu)，也為我們提供了一個新的角度去考察已有的模型，從而發(fā)現(xiàn)它們之間的潛在聯(lián)系。

4 弗協(xié)調(diào)集合論的模型

梳理經(jīng)典集合論的模型只是一個出發(fā)點，我們的落腳點是為弗協(xié)調(diào)集合論構(gòu)造模型。在本節(jié)，我們討論如何構(gòu)造弗協(xié)調(diào)集合論的廣義代數(shù)值模型，并說明我們的模型適用于目前所有基于形式不一致邏輯的弗協(xié)調(diào)ZF集合論。

4.1 弗協(xié)調(diào)集合論

弗協(xié)調(diào)集合論是基于弗協(xié)調(diào)邏輯構(gòu)造的集合論，換言之，是將公理化集合論的底層邏輯替換為弗協(xié)調(diào)邏輯?；诓煌母f(xié)調(diào)邏輯，我們可以構(gòu)造不同的弗協(xié)調(diào)集合論。目前已有的弗協(xié)調(diào)集合論基于三種弗協(xié)調(diào)邏輯：形式不一致邏輯（logics of formal inconsistency）、相干邏輯、多值邏輯?；谛问讲灰恢逻壿嫷母f(xié)調(diào)集合論包括科斯塔（N.C.A.da Costa）的ZFn系統(tǒng)、卡埃羅（R.da C.Caiero）和蘇薩（E.G.de Souza）的ML1系統(tǒng)、卡爾涅利（W.Carnielli）和科尼利奧（M.E.Coniglio）的ZFCil系統(tǒng)，其中，ML1系統(tǒng)是基于蒯因（Quine）的NF集合論構(gòu)造的，ZFn系統(tǒng)是基于丘奇（A.Church）的CHU系統(tǒng)構(gòu)造的，ZFCil系統(tǒng)是基于ZF集合論構(gòu)造的。關(guān)于弗協(xié)調(diào)邏輯和弗協(xié)調(diào)集合論的介紹參見（[41]）。

形式不一致邏輯的特征是，通過弱化否定使得‘{?A,A}?B’不成立，其中，?既指語法后承也指語義后承；典型系統(tǒng)是科斯塔的C系統(tǒng)，關(guān)于C系統(tǒng)的詳細介紹參見[48]（第1–50頁）。這導(dǎo)致在形式不一致邏輯中通常有兩種否定：一種是弱否定?，這種弱否定是初始符號；另一種是強否定～，這種否定通常是被定義符號，從語法形式上看，強否定等價于經(jīng)典邏輯中的否定。通常情況下，形式不一致邏輯包含經(jīng)典邏輯，即，如果把經(jīng)典邏輯的否定等同于強否定，那么經(jīng)典邏輯的定理都是形式不一致邏輯的定理。在形式不一致邏輯中，任意形如(φ∧?φ)的矛盾式都不是定理，這說明：形式不一致邏輯自身不包含矛盾，但在形式不一致邏輯中，我們可以把矛盾作為前提來研究它的后承。

從形式不一致邏輯出發(fā)構(gòu)造弗協(xié)調(diào)ZF時，一個核心的問題是集合公理（關(guān)于集合的公理，下同）應(yīng)該使用哪種否定。在ZF的集合公理中，使用否定的只有空集公理和基礎(chǔ)公理。如果空集公理使用的是強否定，那么產(chǎn)生的空集和經(jīng)典集合論中的空集相同，是真的“空”，即，沒有元素隸屬于該空集；如果空集公理使用的是弱否定，那么產(chǎn)生的空集不是真的“空”，即，可能有元素隸屬于該空集。如果基礎(chǔ)公理使用的是強否定，那么它能保證弗協(xié)調(diào)ZF中的集合都是良基的，即，沒有循環(huán)集；如果基礎(chǔ)公理使用的是弱否定，那么它不能保證弗協(xié)調(diào)ZF中的集合都是良基的，即，可能存在循環(huán)集，例如{x|x∈x}。這些情形都會影響到模型的構(gòu)造。

如果一個集合x滿足x∈x或者x?=x，那么它不是一致的，其中，?=使用的否定是弱否定。ZF中的集合都是一致的。在一個基于形式不一致邏輯的弗協(xié)調(diào)ZF中，如果集合公理使用的都是強否定，那么在該集合論中不存在不是一致的集合，這是因為：集合論中的集合要么由空集出發(fā)使用對、并、無窮、冪運算得到，要么從已有集合出發(fā)借助某個定理從分離公理或替換公理得到；使用強否定的空集是一致的，從一致集合出發(fā)使用對、并、無窮、冪運算生成的集合也是一致的；任意矛盾式都不是形式不一致邏輯的定理，這使得我們無法從一致集合出發(fā)使用矛盾式獲得不是一致的集合。

科斯塔的ZFn系統(tǒng)的集合公理使用的是強否定，盡管科斯塔聲稱在ZFn系統(tǒng)中存在全域集，但是，全域集的存在不是弗協(xié)調(diào)邏輯的功勞，而是因為ZFn系統(tǒng)的集合公理是丘奇的CHU系統(tǒng)的集合公理，CHU自身就帶有全域集；如果我們將ZFn系統(tǒng)的集合公理替換為標準ZF的集合公理，那么ZFn系統(tǒng)中的集合都是一致的。此后，當我們提及ZFn系統(tǒng)，指的是它的集合公理是標準ZF的集合公理?？柲涂颇崂麏W的ZFCil系統(tǒng)的集合公理使用的也是強否定，不同的是，和ZF相比，ZFCil多了一個反外延公理，該公理的形式為?x?y(x?=y?(?z(z∈x∧z/∈y)∨?z(z/∈x∧z∈y)))，該公理中的否定為弱否定，但是，該公理是一個雙向條件式，借助它并不能生成新集合。因此，上述所有基于形式不一致邏輯的弗協(xié)調(diào)ZF的集合都是一致的。

4.2 廣義代數(shù)值模型的推廣

到目前為止，關(guān)于弗協(xié)調(diào)集合論的模型，典型的成果是李伯特（T.Libert）為基于pac的弗協(xié)調(diào)樸素集合論構(gòu)造的一種拓撲模型，詳情參見（[20,21]）。這個領(lǐng)域的研究單薄，正如卡爾涅利和科尼利奧在2013年構(gòu)造ZFCil系統(tǒng)時所說的那樣：“關(guān)于這個問題，我們只能談一些初步的想法，并且意識到存在大量的工作要做，在這里，我們只是觸及了這個問題的表面”（[7]）。2015年，洛維和塔拉法德為ZF構(gòu)造廣義代數(shù)值模型時，曾設(shè)想他們的技術(shù)可以為不包含羅素集的弗協(xié)調(diào)集合論提供模型（[22]）。我們在此處的工作是為了實現(xiàn)他們的設(shè)想，為基于形式不一致邏輯的弗協(xié)調(diào)ZF構(gòu)造廣義代數(shù)值模型。

我們在4.1中花費大量的篇幅說明ZFn系統(tǒng)和ZFCil系統(tǒng)不包含不是一致的集合，這是為了契合廣義代數(shù)值模型的特點。廣義代數(shù)值模型是布爾值模型的推廣，是使用廣義代數(shù)替換布爾代數(shù)構(gòu)造的模型；但它們的基本結(jié)構(gòu)是一樣的，即從空集出發(fā)借助超窮遞歸構(gòu)造的一個分層結(jié)構(gòu)。這個結(jié)構(gòu)本身是良基的，在其中不存在循環(huán)集，這就要求弗協(xié)調(diào)集合論不應(yīng)當包含滿足x∈x的集合。廣義代數(shù)值模型使用的廣義代數(shù)對于集合是沒有限制的，因為在布爾值模型和布爾值模型的推廣中，布爾代數(shù)和其它的代數(shù)都只服務(wù)于邏輯聯(lián)結(jié)詞的解釋，對于謂詞的解釋沒有影響；因此，使用廣義代數(shù)替換布爾代數(shù)并不會改變模型的基本結(jié)構(gòu)。

為弗協(xié)調(diào)ZF構(gòu)造廣義代數(shù)值模型的關(guān)鍵是定義廣義代數(shù)。廣義代數(shù)是添加了算子的完全有界格。完全有界格形如〈A,∧,∨,0,1〉；廣義代數(shù)形如〈A,∧,∨,0,1,?〉，其中，?表示添加的算子；關(guān)于完全有界格參見（[1]，第2頁）。我們需要觀察弗協(xié)調(diào)ZF使用的弗協(xié)調(diào)邏輯有幾個初始邏輯聯(lián)結(jié)詞，初始邏輯聯(lián)結(jié)詞的數(shù)目就是被添加的算子的數(shù)目。ZFn系統(tǒng)有四個初始邏輯聯(lián)結(jié)詞，分別是否定?、蘊涵→、合取∧、析取∨；ZFCil系統(tǒng)有五個初始邏輯聯(lián)結(jié)詞，分別是否定?、蘊涵→、合取∧、析取∨、一致性?。在經(jīng)典集合論的布爾值模型中，我們將合取和析取分別解釋為布爾代數(shù)中的交運算和并運算，即完全有界格〈A,∧,∨,0,1〉中的∧和∨；但是，在弗協(xié)調(diào)ZF的情形中，這不一定行得通，因為弗協(xié)調(diào)邏輯的合取和析取的真值函數(shù)不一定符合完全有界格的交運算和并運算。這就是為什么我們要根據(jù)弗協(xié)調(diào)邏輯的初始邏輯聯(lián)結(jié)詞的數(shù)目向廣義代數(shù)中添加相等數(shù)目的算子。

在形式不一致邏輯中，對任意句子φ，它的真假和它的否定?φ的真假是相互獨立的，遵循一個句子和它的否定可以同真但不能同假的原則，可能有三種情形：φ真且?φ假；φ真且?φ真；φ假且?φ真。因此，我們需要的廣義代數(shù)的偏序集中至少要有三個元素，不妨記為1、i、0，分別對應(yīng)于句子φ的真假的三種情形。因此，我們得到否定的真值表。

形式不一致邏輯只是弱化了否定，并沒有修改其它的邏輯聯(lián)結(jié)詞，因此，關(guān)于蘊涵→、合取∧、析取∨，它們的真值表仍然遵循經(jīng)典邏輯中的一些原則：關(guān)于蘊涵，一個蘊涵式為真，當且僅當，前件為假或者后件為真；關(guān)于合取式，一個合取式為真，當且僅當，它的兩個合取肢都為真；關(guān)于析取式，一個析取式為真，當且僅當，它有一個析取肢為真。它們的真值表如下。

容易看出，當我們從這三個真值表中刪除與i有關(guān)的行和列之后，剩余部分恰是經(jīng)典邏輯的蘊涵、合取、析取的真值表。至此，一個可能的問題是：為什么→和∨的真值表的值中有i而∧的真值表的值中只有0和1？在形式不一致邏輯中，弱否定是一個內(nèi)涵聯(lián)結(jié)詞，作為真值函數(shù)，它是一個內(nèi)涵算子，這使得φ和?φ的真假是相互獨立的，即使我們知道φ是真的，也不能確定?φ是真是假；因此，即使知道φ是真的，也不能確定φ的真值是1還是i。因此，關(guān)于蘊涵、合取、析取，在它們的真值表中與i有關(guān)的行和列中，我們只能確定φ是真是假，當φ為真時，我們不能確定φ的真值是1還是i，可以任意指定1和i；因為蘊涵、合取、析取都是初始聯(lián)結(jié)詞，所以，任意指定1和i不會在它們之間產(chǎn)生干擾。因此，在合取的真值表中，我們將合取式為真的情形全部指定為1。我們是故意這么做的，原因?qū)⒃谙挛闹姓f明。注意，本段中所說的真和假分別指的是模型有效和模型無效。

ZFCil系統(tǒng)中還有一個初始聯(lián)結(jié)詞?，它表示一致性，即：當φ真?φ假或者φ假?φ真時，?φ為真；當φ真?φ真時，?φ為假。因此，?的真值表如下。

注意，本段中所說的真和假分別指的是模型有效和模型無效。至此，我們給出了ZFn系統(tǒng)和ZFCil系統(tǒng)的初始聯(lián)結(jié)詞的真值表。下面我們定義廣義代數(shù)。

我們需要的廣義代數(shù)形如〈A,∧,∨,0,1,?A,→A,∧A,∨A,?A〉，其中，?A、→A、∧A、∨A、?A是我們添加到完全有界格中的算子，它們將在賦值函數(shù)中用來解釋否定、蘊涵、合取、析取、一致性。關(guān)于這個廣義代數(shù)，A是一個偏序集，它是集合{0,i,1}，它的序為0≤i≤1，∧和∨分別是格上的交運算和并運算，0和1分別是它的底元素和頂元素，?A、→A、∧A、∨A、?A的運算規(guī)則分別對應(yīng)于上面給出的否定、蘊涵、合取、析取、一致性的真值表。至此，我們完成了對廣義代數(shù)的定義。有了廣義代數(shù)，我們可以構(gòu)造出模型的全域VL，構(gòu)造方法和構(gòu)造布爾值全域的方法相同，其中，L=〈A,∧,∨,0,1,?A,→A,∧A,∨A,?A〉。類似于布爾值全域的情形，在全域VL中，我們可以使用廣義歸納法。下面定義賦值函數(shù)。

我們使用符號?·?表示賦值函數(shù)，其中，·是一個占位符，沒有意義；因此，對任意句子φ，?φ?是它的真值。關(guān)于原子公式，除了形如x∈y和x=y的原子公式之外，ZFCil系統(tǒng)還引入了兩個新的謂詞，零元謂詞⊥和一元謂詞C，C(x)表示集合x是一致的。我們使用x、y、u、v表示全域VL中的任意元素，使用φ和ψ表示任意公式，給出公式的賦值函數(shù)如下：

說明：我們這里給出的賦值函數(shù)和ZF情形中的賦值函數(shù)有兩點不同：第一，關(guān)于 ?x∈y?，在 ZF 的情形中，?x∈y?=(∨u∈dom(y)(y(u)∧?u=x?))，而在這里，我們使用算子∧A對(∨u∈dom(y)(y(u)∧?u=x?))施加了一次自反運算；第二，關(guān)于?φ∧ψ?和?φ∨ψ?，在ZF在情形中，∧和∨分別被解釋為廣義代數(shù)中的交運算∧和并運算∨，而在這里，我們將它們分別解釋為算子∧A和∨A。至此，我們給出了模型中的賦值函數(shù)。下面定義模型有效性。

關(guān)于模型有效性，我們只需要給出真值的指定集就可以了。根據(jù)廣義代數(shù)值模型的構(gòu)造規(guī)則，真值的指定集必須是偏序集A的一個濾子。我們給出的真值的指定集是{i,1}，它是偏序集A的濾子；因此，對任意公式φ，φ是模型有效的，當且僅當，?φ?∈{i,1}。

至此，我們定義了廣義代數(shù)L，定義了全域VL，定義了賦值函數(shù)，定義了模型有效性。使用我們給出的這些材料，遵循洛維和塔拉法德為ZF構(gòu)造廣義代數(shù)值模型的步驟順序，弗協(xié)調(diào)ZF的廣義代數(shù)值模型能夠被構(gòu)造出來。

4.3 一些說明

為弗協(xié)調(diào)集合論構(gòu)造模型時，相等關(guān)系=是比較難處理的，在弗協(xié)調(diào)一階邏輯中，一般要求相等關(guān)系=滿足自反性（即x=x）和代入自由（也叫萊布尼茲公理，即(x=y)→(φ(x)?φ(y)))。在經(jīng)典邏輯的情形中，這些要求很容易被滿足，因為經(jīng)典邏輯的聯(lián)結(jié)詞都是外延的；然而，在形式不一致邏輯中，邏輯聯(lián)結(jié)詞否定?是內(nèi)涵的，這使得在否定?的轄域中不能進行等值替換，因而不能滿足代入自由。但是，我們發(fā)現(xiàn)，當?x=y?=1時，滿足代入自由，當?x=y?=i時，不滿足代入自由，因此，這就迫使我們的廣義代數(shù)值模型必須滿足：對全域VL中的任意元素x都有?x=x?=1。為了滿足這個要求，我們令初始邏輯聯(lián)結(jié)詞∧的真值表中不包含i，只包含0和1；同時，我們定義的原子公式x∈y的賦值函數(shù)也與經(jīng)典邏輯的情形不同，借助了算子∧A。經(jīng)過這樣的修改，原子公式x∈y的真值?x∈y?只能是0或1；進而，因為?x=y?是借助∈而定義的，所以，?x=y?也只能是0或1；在這種情形下，相等關(guān)系=的自反性和代入自由就被滿足了。

在洛維和塔拉法德為ZF構(gòu)造的廣義代數(shù)值模型中，他們使用的廣義代數(shù)滿足合理性和演繹性，這兩個性質(zhì)極大地方便了ZF的公理的模型有效性證明；然而，在我們?yōu)楦f(xié)調(diào)ZF構(gòu)造的廣義代數(shù)值模型中，我們定義的廣義代數(shù)不滿足合理性，這增加了公理的模型有效性證明的復(fù)雜程度，一種比較原始的方法是：像使用真值表證明邏輯定理的有效性一樣，依次驗證弗協(xié)調(diào)ZF的每個公理是模型有效的。

我們的方法還可適用于將來可能出現(xiàn)的弗協(xié)調(diào)ZF集合論，要求是：這些集合論不能承諾那些不是一致的集合的存在，即不能包含像{x|x∈x}或{x|x?=x}這樣的集合；這個要求也恰恰體現(xiàn)了廣義代數(shù)值模型的局限性，即，它不能為弗協(xié)調(diào)樸素集合論提供模型。對于弗協(xié)調(diào)ZF集合論，不管它們的底層邏輯是何種形式的形式不一致邏輯，通過調(diào)整蘊涵、合取、析取的真值表中與i有關(guān)的行和列中的值，我們都可以構(gòu)造出適應(yīng)這些集合論的模型。

5 結(jié)語

我們梳理了近百年以來人們?yōu)榻?jīng)典集合論構(gòu)造的各種重要模型，目的是為了尋找合適的模型構(gòu)造技術(shù)為基于哲學(xué)邏輯的集合論構(gòu)造模型；特殊地，為弗協(xié)調(diào)集合論構(gòu)造模型。我們根據(jù)洛維和塔拉法德為ZF構(gòu)造的廣義代數(shù)值模型的思路，為基于形式不一致邏輯的弗協(xié)調(diào)ZF構(gòu)造了廣義代數(shù)值模型，并指出我們的廣義代數(shù)值模型具有一定的普遍性。

經(jīng)典集合論的模型大多被用于研究某些公設(shè)（例如AC和GCH）相對于經(jīng)典集合論的一致性或獨立性；相比之下，弗協(xié)調(diào)集合論的情形則不同，弗協(xié)調(diào)集合論的模型主要用于證明弗協(xié)調(diào)集合論的非平凡性，即，在弗協(xié)調(diào)集合論的語言中，存在某個句子φ使得φ是模型無效的。AC和GCH的獨立性和一致性在弗協(xié)調(diào)集合論的情形中不一定是個問題，例如，從2010年到2012年，韋伯（Z.Weber）構(gòu)造了一個弗協(xié)調(diào)樸素集合論，并證明了：AC是該集合論的一條定理，GCH在該集合論中是不成立的（即，可證偽的）（[33,34]）。但是，韋伯的弗協(xié)調(diào)樸素集合論缺乏模型。

廣義代數(shù)值模型有它的局限性，它不能為承諾了不一致集合的弗協(xié)調(diào)集合論提供模型，例如弗協(xié)調(diào)樸素集合論。2003年到2005年，李伯特使用拓撲為基于pac的弗協(xié)調(diào)樸素集合論構(gòu)造了模型，他的模型包含不是一致的集合。在未來的工作中，我們將致力于借助拓撲斯為弗協(xié)調(diào)集合論、模態(tài)集合論、弗協(xié)調(diào)模態(tài)集合論構(gòu)造模型。