☉江蘇省蘇州市吳中區(qū)木瀆金山高級(jí)中學(xué) 姜 慧

“教師講的多、學(xué)生聽(tīng)的多”，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中已經(jīng)成為一種極為普遍的現(xiàn)象，因此形成了“教師展示多、學(xué)生看的多”的局面，在普遍的教師自問(wèn)自答的模式下很多學(xué)生養(yǎng)成了隨聲附和的習(xí)慣，因?yàn)榻處煹闹苯咏o出導(dǎo)致學(xué)生在教學(xué)重、難點(diǎn)的把握上也變得似懂非懂，學(xué)生看上去聽(tīng)懂了，但自主練習(xí)時(shí)往往很少能正確解題，因此“教師教得苦、學(xué)生學(xué)得苦”的局面的形成也就不足為怪了.

怎樣令數(shù)學(xué)課堂成為教師與學(xué)生都能開(kāi)懷的樂(lè)園一直是筆者的追求，本文結(jié)合一道習(xí)題教學(xué)來(lái)淺談筆者在解題教學(xué)中的一點(diǎn)思路.

這是在高三一輪復(fù)習(xí)中遇到的一個(gè)題目，筆者在實(shí)際教學(xué)中首先將題目進(jìn)行了展示.

題目 設(shè)集合A={x|x2+2x-3＞0}，集合B={x|x2-2ax-1≤0，a＞0}.若A∩B中恰有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.

筆者給予了學(xué)生充分的思考時(shí)間并進(jìn)行了巡視，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在思考與探索中得到了以下解題過(guò)程：

但學(xué)生對(duì)后續(xù)解題應(yīng)如何進(jìn)行不知所措，筆者對(duì)這一情況進(jìn)行了及時(shí)的通報(bào)并啟發(fā)學(xué)生對(duì)后續(xù)解題進(jìn)行思考與探索.

生1：題目要求的是a的取值范圍，這必然要根據(jù)“A∩B中恰有一個(gè)整數(shù)”這一條件來(lái)進(jìn)行分析，因此應(yīng)首先求出A∩B，但A∩B并不易求得，因?yàn)锽中含有字母，因此可以考慮分類討論.

師：求A∩B的關(guān)鍵在什么地方？

師：你會(huì)比較其中關(guān)系嗎？

師：其他同學(xué)可否幫忙來(lái)判斷這兩者之間的大小關(guān)系呢？

師：太棒了，如此我們就能得出（如圖1）.根據(jù)條件“A∩B中恰有一個(gè)整數(shù)”可知該整數(shù)必然為2，所以解得

圖1

此時(shí)有學(xué)生躍躍欲試且表現(xiàn)出十足的把握.

師：說(shuō)說(shuō)看.

師：太棒了，真沒(méi)想到你居然能夠想到用分子有理化這一思路！

其他學(xué)生的情緒與斗志因?yàn)樯?受到表?yè)P(yáng)而受到了鼓舞，又有學(xué)生發(fā)言了.

生4（解法2）：我的解法不一樣，我沒(méi)有對(duì)B中的不等式進(jìn)行求解.

師：這個(gè)方法可行嗎？你說(shuō)說(shuō)看！

生4：令f（x）=x2-2ax-1（a＞0）.設(shè)其兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1和x2，且x1＜0＜x2（x1x2=-1＜0）.

由A={x|x＜-3或x＞1}，若A∩B中恰有一個(gè)整數(shù)，則該整數(shù)只能是-4或2.

（1）如果該整數(shù)是-4，這與a＞0矛盾，因此該整數(shù)不可能是-4.（2）如果該整數(shù)是2，

根據(jù)（1）、（2）可知，該整數(shù)只能是2.

師：很好！不對(duì)B中的不等式求解居然也能求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，這是不是有點(diǎn)令人出乎意料?。繉?shí)際上，這一解法是對(duì)零點(diǎn)存在性定理的運(yùn)用，對(duì)于大多數(shù)同學(xué)的思維來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)全新的視角，那么大家對(duì)以上兩種解法有何感想？大家覺(jué)得這兩種方法有何優(yōu)劣呢？

學(xué)生的議論聲頓時(shí)從教室的各個(gè)角落傳來(lái).此時(shí)，被大家稱為“數(shù)學(xué)王子”的學(xué)生站了起來(lái)，這是一個(gè)經(jīng)常能夠表達(dá)獨(dú)特思想的優(yōu)秀生.

生5：我是這么想的，假如將題目中的“A∩B中恰有一個(gè)整數(shù)”這一條件改成“A∩B中恰有兩個(gè)整數(shù)”的話，運(yùn)用解法2來(lái)求解實(shí)數(shù)a的取值范圍可能會(huì)復(fù)雜得多，應(yīng)該要用到分類討論.此時(shí)若運(yùn)用解法1來(lái)求a的取值范圍，應(yīng)該會(huì)比較好，只要解不等式即可.同理，條件中整數(shù)的個(gè)數(shù)可以擴(kuò)展為三個(gè)、四個(gè)…

師：這就是變式和拓展了，非常好，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)如果能夠展現(xiàn)出這些變式與拓展的思維就會(huì)覺(jué)得數(shù)學(xué)有意思了.

（此時(shí)，數(shù)學(xué)課代表將手舉了起來(lái)）

生6（解法3）：解法2應(yīng)該是可以簡(jiǎn)化的.在之前的解法中已經(jīng)對(duì)該整數(shù)進(jìn)行了分析，只能是-4或2.

（1）假如該整數(shù)是-4，那么令（fx）=x2-2ax-1（a＞0）.

因?yàn)椋╢x）=x2-2ax-1（a＞0）的對(duì)稱軸為x=a＞0且左零點(diǎn)x1應(yīng)滿足：x1∈（-5，-4］，所以右零點(diǎn)應(yīng)滿足：x2＞4.

這樣的話，A∩B中就不僅僅只包含一個(gè)整數(shù)了，至少包含2、3、4這3個(gè)整數(shù).

因此，這種情況是不成立的.

（2）假如該整數(shù)是2，那么由于x1x2=-1＜0，因此必有正根x2落在［2，3）內(nèi)，

根據(jù)（1）、（2）可知，該整數(shù)只能是2.

教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)對(duì)習(xí)題、例題多加研究，挖掘一些內(nèi)涵豐富但求解過(guò)程不太復(fù)雜的題目，引導(dǎo)學(xué)生在這些題目的思考、挖掘與探索中進(jìn)行全方位的研究，使學(xué)生能夠在一道題的思考與解決中獲得完整的知識(shí)體系的建構(gòu)，美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞也曾在這方面提出過(guò)相同的觀點(diǎn).當(dāng)然，要令學(xué)生在解題中有所收獲，教師應(yīng)首先對(duì)試題、習(xí)題、例題進(jìn)行深入的研究，然后在課堂教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行充分的激勵(lì)和引導(dǎo)，使學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人并發(fā)表不同的見(jiàn)解，使學(xué)生的思維之火熊熊燃起，從而與教師共同構(gòu)筑快樂(lè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂(lè)園.F