黃菊香

[摘 要] 教師在HPM理論的實際應用中應考慮課堂教學時間的有限性、數學史與教學內容的吻合程度以及引入的時機與方法，在平時的教學鉆研與反思中不斷積累數學史素材并為其在數學實際教學中的應用打下物質基礎.

[關鍵詞] HPM視角；情感；態(tài)度；價值觀

高中數學在情感目標方面的教學要求

高中數學教學中關于學生數學學習情感、態(tài)度、價值觀等方面所設置的目標與內容實際上正是對學生全面和諧發(fā)展所提出的進一步要求，事實上，《高中數學課程標準》對于學生數學學習的信心、鉆研精神、科學態(tài)度、價值認知、批判思維、理性精神等方面的要求都進行了具體的闡述并將其滲透在了知識與方法的教學中.

數學教育教學的諸多專家與教師在“情感、態(tài)度、價值觀”目標的達成上付諸了很多的精力并實踐了諸多的理論、方法與手段. 章建躍博士所提倡的借助知識載體并不斷在教學中滲透情感、態(tài)度、價值觀的觀點與HPM理論正是不謀而合的.

HPM理論

HPM是History and Pedagogy of Mathematics的縮寫，數學史、多元文化的數學、數學史和學生的認知發(fā)展、數學原始文獻在教學中的應用等諸多內容隨著HPM研究的發(fā)展都被囊括于HPM理論之中，數學史和數學教育之間的關系這一HPM理論研究的主要方向也成為近年來數學教育研究關注的熱點與重點. 值得大家關注的是，數學史在數學教學中的價值雖然得到了廣泛的認可與高度的評價，但其在實際教學中的應用卻仍是比較膚淺或少見的.

HPM視角下的實踐案例設計

1. 重現知識形成的過程以幫助學生形成正確認知

案例1：《集合》這一高中起始階段的學習內容雖然難度不是很大，但很多學生對于集合學習的重要性卻知之甚少，很多學生根本難以理解《集合》內容置于高中數學知識首章的意義，因此，教師在這一內容的教學之前可以先將數學史上的第二次危機進行簡單的介紹以幫助學生對集合的知識增進了解.

牛頓與萊布尼茨于公元17世紀創(chuàng)立了能夠提示與解釋很多自然現象的微積分，人們因其在自然科學的理論研究與實際應用中所起的重要作用而對其廣泛關注. 不過，建立之初的微積分并沒有嚴密的理論作為基礎與支撐，因此，只在方法上有所建樹的微積分事實上在很多地方還存在一些漏洞且不能自圓其說. 哲學家貝克萊針對微積分所存在的缺陷提出了自己的觀點：用Δx除Δy，說明Δx不為零；再將除后含有Δx的項扔掉，則說明Δx為零，兩者相互矛盾. 數學發(fā)展史上的第二次危機也因為貝克萊所發(fā)現的這一矛盾而形成.

無數人為了解決這一危機而投身于研究并因此建立了極限理論、實數理論以及集合論，微積分此時才獲得相對穩(wěn)固的基礎. 極限理論的研究必須建立在實數理論的基礎之上，而實數理論的研究又必須建立在集合論的基礎之上，由此可見，集合論是最為基礎的理論.

教師對于知識發(fā)生發(fā)展的介紹使得學生對集合學習的重要意義有了新的理解，學生在集合論的曲折創(chuàng)立中也激發(fā)出更加高昂的學習興致.

2. 穿插史實性知識促進學生的重新認識和深入理解

案例2：函數知識雖然是學生在初中階段就已經接觸過的內容，但高中數學對函數卻又重新進行了定義與研究，其中緣由很多學生無法理解，教師可以將著名的狄利克雷函數在高中函數概念及表示方法的教學之后穿插進來以幫助學生深刻地理解.

狄利克雷函數：

D（x）=1，x為有理數.0，x為無理數.

這一描述法與學生剛學的常見表示方法是不一樣的. 學生在這一歷史案例的接觸中很快明白并不是所有的函數都一定會有解析式，運用“變量說”這一初中階段接觸的函數定義來進行解釋是行不通的，高中階段對函數重新定義與學習的意義也由此得以展露.

3. 穿插前人數學研究中的問題以促進學生求知與探索欲望的萌發(fā)

案例3：教師在用“二分法”求方程近似值這一內容的教學中可以將以下問題作為引入的手段：

問題1：求下述方程的根：（1）2x+1=0；（2）x2+2x-3=0.

問題2：方程lnx+2x-6=0在區(qū)間（2，3）內有根嗎？

問題3：如何求方程lnx+2x-6=0的根？

問題1利用求根公式即可得解，問題2利用零點存在定理也能得到合理的判斷，問題3的解決則需要方程求解史的適度介紹才能令學生切身感受問題的解決.

一次方程、二次方程的一般解法是阿拉伯數學家花拉子米于9世紀時給出的，三次方程的一般解法則是意大利數學家塔爾塔利亞于1514年給出的，意大利數學家卡爾達諾于1945年在《大術》一書中對塔爾塔利亞的解法進行了發(fā)展性的研究，費拉里對于四次方程提出的一般解法也記載于其中，法國數學大師拉格朗日在1778年提出了五次方程式解不存在的觀點，法國數學家伽羅瓦于1828年證明了指數方程、對數方程、五次以上的高次代數方程等方程均不能運用代數方法求解.

學生在了解這段方程求解的歷史之后對問題3自然會產生強烈的求知欲望，這對于后續(xù)“二分法”的學習來說自然是相當有意義的.

4. 穿插數學名題以培養(yǎng)學生的理性精神

案例4：很多構思巧妙并能深刻反映數學思想方法的各類數學名題是尤為具備數學教育與鑒賞價值的，古為今用的名題的引入大大激發(fā)學生興趣的同時還能很好地培養(yǎng)學生的理性精神. 例如，教師在算法的三種結構的教學之后可以將以下名題供學生思考：擅長計算的美索不達米亞人不僅創(chuàng)造了優(yōu)良的計數系統(tǒng)，他們在推動程序化算法發(fā)展的同時還創(chuàng)造出了很多成熟的算法，求正數平方根近似的算法在諸多成熟算法中是相對最為突出且具代表性的，具體算法如下：

教師引導學生根據以上步驟不斷反復運算直至獲得滿足精確度的近似值，再適時引導學生根據這一算法畫出對應的流程圖并因此幫助學生對所學知識進行及時的鞏固，學生在靈活運用中不僅能夠真切感受到古人的智慧，還能在體會開方運算思想的過程中培養(yǎng)出崇尚科學的理性精神.

5. 介紹數學家的生平事跡以促進學生鉆研精神與科學態(tài)度的逐步養(yǎng)成

案例5：教師在函數知識的教學之前可以將華羅庚自學成才的故事進行介紹，幫助學生做好思想準備以應對函數的學習.

我國著名的數學家華羅庚兒時的家境非常貧困，華羅庚只好輟學并在父親的小雜貨鋪當學徒，但如此惡劣的條件并沒有令他產生放棄學習的念頭，他常常在空閑時間自學數學. 清華大學數學系的熊慶來主任對于他19歲時撰寫的論文深表贊賞并因此邀請他至清華大學工作與進修，華羅庚在清華大學邊工作邊進修的過程中更是展現出了刻苦鉆研的學習態(tài)度與鉆研精神，自學數學、英文、法文和德文. 自學成才的華羅庚后來被西南聯(lián)合大學聘為教授，但他并沒有就此滿足，他常常利用晚上的時間進行數學工作的研究，華羅庚一生著作頗豐，但他即使到了晚年仍堅持讀寫研究，他一生研究所得的近300篇學術論文與10多種科普讀物都是人類寶貴的財富，僅有初中文憑的華羅庚蜚聲中外，這都是他孜孜不倦、刻苦鉆研、埋頭苦干而應得的.

學生在華羅庚勤奮不息、自學成才的故事中往往能夠受到極大的感染，這對于他們數學學習的態(tài)度來說往往能夠起到特別積極的作用.

5. HPM理論應用的注意事項

（1）教師應考慮課堂教學時間的有限性，不拘泥于系統(tǒng)的數學史材料，有目的地選擇能夠體現主要數學思想方法的觀點或內容.

（2）教師在選擇數學史、數學名題等過程中應考慮其中思想是否與當前教學內容相吻合.

（3）教師在穿插數學史等素材時應注意時機與方式，單純地講故事在數學教學中是極不合適的，適當地融入與引領往往能夠在課堂教學中獲得更好的效果.

（4）教師在平時的教學鉆研與反思中應不斷注重數學史等方面素養(yǎng)的提升并因此為數學史素材的靈活應用奠定物質基礎.