陳 磊

(江蘇省鎮(zhèn)江市寶堰中學(xué) 212125)

一、分類討論的概念

在研究某一問題時(shí)，不能用統(tǒng)一的方法進(jìn)行研究，這時(shí)需要采用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，將問題進(jìn)行分類別研究，得出每一種類別的結(jié)果，最后綜合每一種類別的結(jié)果給出整個(gè)問題的結(jié)果，這就是分類討論的思想方法．簡而言之，就是先通過對研究對象進(jìn)行分類，再分別研究，最后綜合解決問題．

二、分類討論的原則

初中階段采用分類討論應(yīng)遵循以下原則：

(1)一致性原則：每一次分類的標(biāo)準(zhǔn)必須是一致的．如對三角形進(jìn)行分類，必須采用一致的標(biāo)準(zhǔn)，按邊分為等腰三角形、不等邊三角形；按角分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．

(2)不重復(fù)原則：所有類別之間必須是互斥的．如折線上的動(dòng)點(diǎn)問題，端點(diǎn)A歸屬于第一種情況，就不能再重復(fù)歸屬于第二種情況．

(3)不遺漏原則：分類必須包括所有類別，不出現(xiàn)遺漏．如整數(shù)分為正整數(shù)、負(fù)整數(shù)，還有零，零就不能被遺漏．

(4)層次性原則：分類必須逐級(jí)進(jìn)行，不能越級(jí)．如實(shí)數(shù)的分類上，分為有理數(shù)和無理數(shù)，有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)，整數(shù)分為正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)．層次分明，不同標(biāo)準(zhǔn)的不同層次的分類不能混淆．

三、分類討論的步驟

在解題的過程中，用分類討論思想方法解決初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，不僅要遵循上述的四個(gè)原則，也要保證在解題過程中的科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)、全面，還要依據(jù)分類討論的具體步驟操作．

1.分析問題，明確分類對象

一般而言，運(yùn)用分類討論思想方法解決問題時(shí)，要先對問題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)問題中有變幻不定的影響因素或者有問題不便于統(tǒng)一處理，確實(shí)需要采用分類討論的方法進(jìn)行解決，并明確將對誰進(jìn)行分類．

2.回顧知識(shí)，尋找分類標(biāo)準(zhǔn)

明確分類對象后，需要回顧和對象有關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，找出破壞統(tǒng)一處理的要素或原因，尋找一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，能區(qū)分所有的情形，能把復(fù)雜的不確定的“動(dòng)態(tài)型”問題分解為多個(gè)便于具體操作的子問題來解決．

3.分類討論，處理各類情形

有了統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)，我們就針對該問題進(jìn)行分類，針對每一類情況，實(shí)施該情況內(nèi)的解題策略，且最后結(jié)論也該是這一類情況內(nèi).這里，我們也有一個(gè)原則，那就是先解決簡單的情況，然后，盡力設(shè)法尋找其他情況與該情況的異同點(diǎn)，再各個(gè)擊破．如分類不能一次完成，再進(jìn)行上述重復(fù)過程．

4.歸納綜合，揭示總體結(jié)論

各種類型的情況研究完并不意味著整個(gè)問題的解決，需要將所有情況的結(jié)論進(jìn)行歸納綜合，得出最終結(jié)論．

這四個(gè)步驟概括的說無非就是一個(gè)從確定分類對象、尋找分類標(biāo)準(zhǔn)到分類解決問題，再到綜合歸納總結(jié)出結(jié)果的過程．

四、分類討論在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

根據(jù)以上的分析，筆者以近幾年中考題為例，闡述分類討論在中考解題中的應(yīng)用．

1.根據(jù)概念進(jìn)行分類討論

2.根據(jù)運(yùn)算進(jìn)行分類討論

注意m=0的情況，遵循不重復(fù)性的原則．最后將結(jié)論匯總得出需要解決問題的綜合結(jié)論：m=-1或m=3．

3.根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論

例3 若點(diǎn)A(m，n)在直線y=kx(k≠0) 上，當(dāng)-1≤m≤1時(shí)，-1≤n≤1，則這條直線的解析式為____．

分析該題首先要對一次函數(shù)圖象與性質(zhì)有所理解，尋找分類對象，那就是比例系數(shù)k，回顧知識(shí)點(diǎn)：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小．對k分兩種情況進(jìn)行討論研究：① 當(dāng)k> 0時(shí)，m=-1時(shí)，n=-1；m=1時(shí)，n=1，此時(shí)，y=x.② 當(dāng)k<0時(shí)，m=-1時(shí)，n=1；m=1時(shí)，n=-1，此時(shí)，y=-x.最后將結(jié)論匯總得出需要解決問題的綜合結(jié)論：這條直線的解析式為y=x或y=-x．

4.根據(jù)時(shí)間進(jìn)行分類討論

例4 已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，OA=4，OC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．連接CQ，當(dāng)點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)過程中，記△CQP與矩形OABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，解決關(guān)鍵在于弄清引起分類的原因，明確要分類討論的對象與標(biāo)準(zhǔn)，分不同情況各個(gè)擊破，再將各個(gè)結(jié)論歸納總結(jié)，綜合得出最后正確結(jié)論，這其實(shí)就是一個(gè)總—分—總的過程．分類討論思想是一類重要的數(shù)學(xué)思想，教師一方面引導(dǎo)學(xué)生理解其分類精髓，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類思想解題，另一方面也要不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對學(xué)生學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)思想會(huì)產(chǎn)生積極作用．