歸明娟

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星湖學(xué)校 215000)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要幫助學(xué)生領(lǐng)悟正確的數(shù)學(xué)思想方法，以提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，這些也是歷年中考常見(jiàn)的考點(diǎn)，對(duì)此進(jìn)行總結(jié)與分析有助提高學(xué)生的解題能力和技巧.

一、分類討論思想

分類討論思想即研究對(duì)象存在著一些不唯一現(xiàn)象或無(wú)法確定的因素，不能以統(tǒng)一的方法來(lái)描述，此時(shí)，要根據(jù)可能出現(xiàn)的各種結(jié)果進(jìn)行分類研究，從而求出不同情況下的對(duì)應(yīng)結(jié)論.進(jìn)行分類時(shí)應(yīng)遵循一定的原則：1.各分類情況間應(yīng)彼此獨(dú)立；2.分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一；3.逐級(jí)展開(kāi)分類討論.

例1 在一條數(shù)軸上分布有點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A表示的數(shù)為-4，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，如果BC=3，那么AC等于( ).

A．9 B.5 C. 9或3 D. 3或8

分類討論：1.如果點(diǎn)C位于點(diǎn)B的右邊，那么點(diǎn)C表示的數(shù)為5，那么AC=5-(-4)=9；如果點(diǎn)C位于點(diǎn)B的左側(cè)，那么點(diǎn)C表示的數(shù)為-1，那么AC=-1-(-4)=3.所以，AC=9或3，所以正確答案是選項(xiàng)C.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)點(diǎn)與線段的位置存在無(wú)法確定的情況時(shí)，應(yīng)對(duì)點(diǎn)在線段上的具體分布情況分類討論，才能正確、全面地解答相關(guān)問(wèn)題.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想即借助幾何圖形研究代數(shù)數(shù)量關(guān)系，從而直觀、快速地解決代數(shù)問(wèn)題，或借助代數(shù)數(shù)量關(guān)系解決幾何圖形問(wèn)題，將代數(shù)與幾何巧妙地結(jié)合在一起，相輔相成，從而化繁為簡(jiǎn)，化抽象為直觀，使數(shù)學(xué)問(wèn)題得以巧妙解決的思想方法.

∴∠ABO=60°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAB′=60°，從而△ABB′為等邊三角形，

三、方程與函數(shù)思想

函數(shù)思想即借助函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象、函數(shù)概念等知識(shí)來(lái)分析、轉(zhuǎn)化和解決問(wèn)題.方程思想即以所研究問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系為切入點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、方程組、不等式、方程與不等式組合)，通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)解決所研究的問(wèn)題.有時(shí)，需要通過(guò)函數(shù)與方程間的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題.

例3 某商店出售一商品，已知商品的成本價(jià)是每千克20元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查分析，此商品的每天銷(xiāo)量y(kg)與售價(jià)x(元/kg)有如下關(guān)系：y=-2x+80.如果該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元.

(1)試求w與x間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求此商品銷(xiāo)售價(jià)為多少時(shí)，商品每天銷(xiāo)售利潤(rùn)才能實(shí)現(xiàn)最大化？并求出其最大利潤(rùn)是多少；

(3)根據(jù)物價(jià)部門(mén)規(guī)定，此商品的售價(jià)不得高于每千克28元，如果要每天獲取150元的銷(xiāo)售利潤(rùn)，銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？

解(1)由題意，得w=(x-20)y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600.

故w與x的函數(shù)關(guān)系式為w=-2x2+120x-1600.

(2)w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200.

∵-2<0，∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，最大值為200.

答：該產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)定為每千克30元時(shí)，每天銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為200元.

(3)當(dāng)w=150時(shí)，可得方程-2(x-30)2+200=150.

解得x1=25,x2=35.∵35>28，∴x2=35與題意不符，正確答案應(yīng)是每千克25元.

答：如果每天要想獲取150元的利潤(rùn)，該商品的銷(xiāo)售價(jià)格應(yīng)是每千克25元.

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它的核心理念就是化未知為已知，化繁為簡(jiǎn)，將陌生的、非常規(guī)的問(wèn)題化為熟悉的、常規(guī)的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題間的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)轉(zhuǎn)化找出問(wèn)題的解答思路、方法，也就是將難題經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后，變成有章可循，簡(jiǎn)單易解的問(wèn)題，從而順利解決問(wèn)題的思想.

例4 如圖所示，有一菱形ABCD，其兩條對(duì)角線分別是AC，BD，且它們相交于點(diǎn)O，已知AC=8，BD=6，如果將AB作為直徑畫(huà)半圓，那么，圖中陰影部分的面積是( ).

總結(jié)在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中，遇到不規(guī)則圖形面積的求解時(shí)，需要將其轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形(圓形、扇形、三角形、四邊形等)，再利用規(guī)則圖形的概念、性質(zhì)求出問(wèn)題的解.