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(太原理工大學數學學院， 山西太原030024)

p-Laplacian方程是研究氣體通過一維多孔介質以及非牛頓流體時建立的，因此，對于p-Laplacian方程的研究不僅在非牛頓流體理論等實際問題中應用廣泛，而且對偏微分方程的理論研究也具有很重要的意義[1-5]。文獻[6]中證明了當函數f滿足一定條件時，p-Laplacian方程

至少有一個非平凡解，其中Ω為n上的光滑有界開區(qū)域，?Ω為Ω的邊界，u為關于x的函數，Δp為p-Laplacian算子，p>1。近幾年，p-Laplacian方程

正解的存在性和多重性已用變分法、拓撲度理論以及其他方法進行了大量研究[7-11]，其中λ為常數。文獻[7-8]中研究高維有界區(qū)域的情況，文獻[9-10]中考慮球上的徑向對稱解，文獻[11]中證明了當常數λ非負，f連續(xù)時，存在2個正解。

近年來，帶有對數非線性項的偏微分方程的研究得到了許多學者的關注[12-13]。例如，文獻[14]中應用Nehari流形方法研究了帶有變號對數非線性項的半線性橢圓型方程的多解性問題，找到2個非平凡解。

本文中利用Nehari流形和對數Sobolev不等式對一類帶有變號對數非線性項的p-Laplacian方程的多解性進行研究；介紹對數Sobolev不等式及證明該p-Laplacian方程解的多重性用到的一些估計，并利用Nehari流形的2個子流形證明該p-Laplacian方程解的多重性。

1 主要結果

本文中研究一類帶有變號對數非線性項的p-Laplacian方程

(1)

(2)

則方程(1)至少有2個非平凡解，其中Ωn是Ω在n中的測度，L由式(3)給出。

2 預備知識

其中

(3)

(4)

對任意的μ> 0成立。

因此，問題(1)的解等價于泛函J的臨界點。

以下設函數f、g滿足條件(2)。

J(u)≥

(5)

(6)

其中

直接計算得

(7)

又由對數Sobolev不等式(4)、(7)可得

(8)

結合式(5)—(8)有

引理2得證。

3 解的多重性

上有下界，因此J的非平凡臨界點全部在N中，并且J的臨界點為N中的局部極小元。顯然，u∈N等價于

(9)

則

(10)

證明:由式(9)可知，

若u∈N，則

由此把N分成N+、N-、N03個部分，其中

引理3得證。

引理4 若u是J在N上的一個局部極小元且u?N0，則J′(u)=0。

證明:若u為J在N上的一個局部極小元，則存在λ∈使得J′(u)=λφ′(u)，其中

由u∈N知，0=〈J′(u),u〉=λ〈φ′(u),u〉。又由u?N0可得

由此λ=0，進而J′(u)=0。

引理4得證。

引理5N+、N-非空。

證明:由式(10)，Φu有唯一駐點

從而t(u1)u1∈N+,t(u2)u2∈N-,因此N+、N-非空。

引理5得證。

引理6N+有界。

因為un∈N+，所以

又由un∈N和式(9)可知，

(11)

直接計算得

(13)

(14)

J(v0)≥

另一方面，由vn?v0但是vn→ /v0可知，存在{vn}的子列，仍記作{vn}，使得

(15)

(16)

(17)

(18)

成立，結合式(12)、(14)有

(19)

矛盾。

另一方面，由vn→v0知，存在{vn}的子列，仍記作{vn}，使得式(17)—(19)和

(20)

成立。結合式(12)、(14)有

(21)

矛盾，因此N+有界。

引理6得證。

引理7 1)J在N+上有下界；2)J在N+上有一個極小元。

證明:1)若u∈N+，則由式(9)可得

由引理6，N+有界，因此J在N+上有下界。

2)設{un}是J在N+上的一個極小化序列，即

由un∈N+，可得式(11)和

因此

則存在t(u0)>1使得t(u0)u0∈N+，并且Φu0(t)在t(u0)處取得極小值，從而有

即u0是J在N+上的一個極小元。

引理7得證。

引理8J在N-上的每一個極小化序列有界。

證明: 設{un}是J在N-上的一個極小化序列， 即

與引理6中不同的是，在式(19)、(21)中

引理8得證。

引理9得證。

成立。又Φun(t)在t= 1處達到極大值，則

從而有

引理10得證。

定理1得證。

4 結論

本文中研究了一類帶有變號對數非線性項的p-Laplacian型方程解的多重性問題。 給出了對數Sobolev不等式以及證明該p-Laplacian型方程解的多重性需要的估計； 將Nehari流形進行分解， 利用變分方法在子流形N+、N-上各找到一個非零極小元。