李學(xué)東

（佛山市數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)，廣東佛山528000）

在數(shù)學(xué)分析中，數(shù)列極限的一些基本性質(zhì)揭示了數(shù)列極限存在的確定性條件以及不同數(shù)列之間項(xiàng)的大小關(guān)系對(duì)它們極限大小關(guān)系的影響［1］。類似地，關(guān)于集合列的極限也有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)性質(zhì)，這些性質(zhì)同樣揭示了集合列的極限存在的確定性條件以及不同集合列之間項(xiàng)的包含關(guān)系對(duì)它們極限包含關(guān)系的影響［2］。關(guān)于集列極限的定義與運(yùn)算在文獻(xiàn)［3］中已有論述。

為表述方便，我們約定“?”表示“包含于”，“?”表示“真包含于”。對(duì)于“?、?”作類似區(qū)分。

定理1若集列收斂，則它的集限是唯一的。

證明 設(shè)｛An｝為一收斂數(shù)列，若它收斂于兩個(gè)不同的集限A、B，即

由于A≠B，所以（A-B）∪（B-A）≠?。

不妨設(shè) B-A≠?，則?x0∈（B-A）使得 x0∈B，x0∈A。從而有 x0?（An∩A），x0∈（An∪B）。

由 x0?（An∩A）知 x0?（An∪A），所以 x0?An。

同理：對(duì)于 x0∈B，?K2＞0，當(dāng) n＞K2時(shí)，x0?‖An-B‖，即 x0?［（An∪B）-（An∩B）］。

由 x0∈（An∪B）知 x0∈（An∩B），所以 x0∈An。

取 K=max（K1，K2），則當(dāng) n＞K 時(shí)，x0?An、x0∈An同時(shí)成立。這和“元素與集合的關(guān)系”相矛盾，所以假定A≠B不成立。故A=B。亦即定理1成立。

考慮到 x∈A，可知：當(dāng) n＞K1時(shí)，x∈An。又知?n∈N，An?Bn，所以當(dāng) n＞K1時(shí)，有

取 K=max（K1，K2），則當(dāng) n＞K 時(shí)，式（1）、（2）同時(shí)成立。所以 x∈（Bn∪B）?x∈（Bn∩B）?x∈B，A?B。故定理2成立。

在定理2中，若?n∈N，An?Bn，A?B不一定成立。

在lim An=A，lim Bn=B的前提下，如果定理2中的條件?n∈N，An?Bn與結(jié)論A?B互換，則命題不再成立。

在定理2中的逆命題雖然不成立,但若再添加一些條件，則有如下定理：

定理 3 對(duì)于集列｛An｝、｛Bn｝，?n∈N，An∩Bn=An或 Bn，且。若 A?B，則?K＞0，當(dāng) n＞K 時(shí)，恒有 An?Bn。

證明 設(shè)全集為 U，已知 A?B，所以?x0∈U使得 x0∈B且 x0?A。從而?n∈N，x0?An∩A，x0∈Bn∪B。

考慮到?n∈N，x0?An∩A，所以 x0?An∪A，于是當(dāng) n＞K1時(shí) x0?An。

考慮到?n∈N，x0∈Bn∪B，所以 x0∈Bn∩B，于是當(dāng) n＞K2時(shí) x0∈Bn。

取 K=max（K1，K2），則當(dāng) n＞K 時(shí)有 x0?An且 x0∈Bn，又?n∈N，An∩Bn=An或 Bn，所以當(dāng) n＞K 時(shí)恒有An?Bn，證畢。

滿足條件“?n∈N，An∩Bn=An或Bn”的兩個(gè)集列｛An｝、｛Bn｝可視為同一單調(diào)集列中的兩個(gè)子集列，我們稱之為同調(diào)集列。如度量空間Rn中的同心球域簇及數(shù)軸上關(guān)于0點(diǎn)對(duì)稱的連續(xù)區(qū)間簇所構(gòu)成的拓?fù)淇臻g中任意兩個(gè)序列都是同調(diào)集列。

關(guān)于定理3有如下兩個(gè)推論：

推論 1 對(duì)于集列｛An｝，?n∈N，An∩B=An或 B，且，若 A?B，則?K＞0，當(dāng) n＞K 時(shí)，恒有An?B。

推論 2 對(duì)于集列｛An｝，?n∈N，An∩B=An或 B，且，若 A?B，則?K＞0，當(dāng) n＞K 時(shí)，恒有An?B。

這兩個(gè)推論不難證明，在定理3中?n∈N只需令Bn=B即可。

與數(shù)列極限中的兩邊夾定理類似，在集列的集限中也有相應(yīng)的定理。

定理 4 對(duì)于集列｛An｝、｛Bn｝、｛Cn｝，?K0＞0，當(dāng) n＞K0時(shí)，恒有 An?Bn?Cn，若，則有。

證明 設(shè)全集為U，?x∈U。

（1）若 x∈H，則 x∈（An∪H）（n∈N）。因?yàn)?，所?K1＞K0＞0，當(dāng) n＞K1時(shí)，x?‖An-H‖，即x?［（An∪H）-（An∩H）］。由 x∈（An∪H）知 x∈（An∩H），于是 x∈An。

考慮到：當(dāng) n＞K1時(shí) An?Bn?Cn恒成立，所以當(dāng) n＞K1，有 x∈Bn，從而 x∈（Bn∩H）；當(dāng) n＞K1時(shí)，x?‖Bn-H‖。

（2）若 x?H，則 x?（Cn∩H）（n∈N）。因?yàn)?lim Cn=H，所以?K2＞K0＞0，當(dāng) n＞K1時(shí)，x?‖Cn-H‖，即x?［（Cn∪H）-（Cn∩H）］。由 x?（Cn∩H）知 x?（Cn∪H），于是 x?Cn。

考慮到：當(dāng) n＞K2時(shí) An?Bn?Cn恒成立，所以當(dāng) n＞K2時(shí)，有 x?Bn，從而 x?（Bn∪H）；當(dāng) n＞K2時(shí)，x?‖Bn-H‖。

綜合（1）（2）所述：取 K=max（K0，K1，K2），則當(dāng) n＞K 時(shí)，?x∈U 總有 x?‖Bn-H‖成立。故。

證明 設(shè)全集為U。

（3）取 K=max（K1，K2），則當(dāng) n＞K 時(shí)，y0∈Bn但 y0?B，x∈（An∩A）可同時(shí)成立。此時(shí)（x，y0）∈An×Bn，但是（x，y0）?A×B，所以（x，y0）∈［（An×Bn）∪（A×B）-（An×Bn）∩（A×B）］，即 當(dāng) n＞K 時(shí)總會(huì)有（x，y0）∈‖（An×Bn）-（A×B）‖。