孟 程，王雨時，張志彪，聞 泉，王光宇

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

火炮、彈丸型號和發(fā)射裝藥確定之后，彈丸的炮口初速就可以確定了。然而目前已有的彈道諸元參數(shù)計算公式多為需要較多參數(shù)的、復(fù)雜的時間函數(shù)式。文獻(xiàn)[1—3]中列出了真空彈道中彈道諸元參數(shù)與時間的關(guān)系式，但很少有文獻(xiàn)研究身管火炮膛壓和最大射程落點諸元與初速之間的關(guān)系，文獻(xiàn)[4]僅給出了比較復(fù)雜且計算參數(shù)較多的經(jīng)驗公式。因此針對特定彈炮系統(tǒng)，根據(jù)已有彈道數(shù)據(jù)進行內(nèi)彈道、外彈道特性參量之間函數(shù)關(guān)系定量分析，給出簡潔的適用于引信和戰(zhàn)斗部設(shè)計的彈道諸元與炮口初速的函數(shù)關(guān)系經(jīng)驗公式就十分必要。在引信和戰(zhàn)斗部總體論證、初步設(shè)計甚至是在初步摸底試驗時，彈丸射程、飛行時間、落角、落速等彈道諸元參數(shù)數(shù)值信息往往不全，因而給性能、質(zhì)量分析和試驗數(shù)據(jù)評估與鑒別帶來一定困難。本文針對上述問題，提出了應(yīng)用1stOpt軟件以有多號發(fā)射裝藥的155 mm加榴炮普通榴彈、122 mm榴彈炮普通榴彈和120 mm迫擊炮彈為例，對內(nèi)、外彈道學(xué)運動方程簡化分析的方法。

1 擬合軟件介紹及擬合算例

1.1 擬合軟件

1stOpt(First Optimization)是我國七維高科有限公司獨立開發(fā)的一套數(shù)學(xué)優(yōu)化分析綜合工具軟件包，主要用于非線性回歸、曲線擬合、非線性復(fù)雜模型參數(shù)估算求解、線性/非線性規(guī)劃等領(lǐng)域。1stOpt軟件不僅操作界面簡單，而且其核心計算方法——通用全局優(yōu)化算法(UGO,Universal Global Optimization)克服了當(dāng)今世界上在優(yōu)化計算領(lǐng)域使用迭代法必須給出合適初始值的難題，即不需要用戶給出參數(shù)初始值，在絕大多數(shù)情況下，僅依靠自身的全局搜索能力，從任意隨機值出發(fā)，就可求得最優(yōu)解[5]。

1.2 擬合算例

以155 mm加榴炮普通榴彈為算例，已知數(shù)據(jù)如表1和表2所列。已知身管長lg=7.046 m。其中各裝藥號下的初速V0、最大膛壓Pm、最大射程Xm是由射表給定的，落速Vc、全飛行時間T以及最大射程角θ0、對應(yīng)最大射程角的落角θc則由彈丸外彈道質(zhì)心運動方程反推出彈道系數(shù)c43后計算得出。

表1 155 mm加榴炮普通榴彈射表給定的彈道諸元和反求得到的彈道系數(shù)

表2 155 mm加榴炮普通榴彈外彈道諸元解算結(jié)果

2 身管火炮膛壓和最大射程落點諸元與初速關(guān)系經(jīng)驗擬合

2.1 身管火炮最大膛壓與彈丸初速關(guān)系擬合

在內(nèi)彈道中，膛內(nèi)最大壓力位置不是在炮口處，但最大膛壓可以由膛內(nèi)平均膛壓估算得出[6]，由在簡化假設(shè)基礎(chǔ)上的內(nèi)彈道方程組可知[7]：

(1)

式(1)中，S為炮膛橫截面積，P為膛內(nèi)平均壓力，φ為次要功計算系數(shù)，m為彈丸質(zhì)量，v為彈丸在膛內(nèi)的瞬時速度，t為彈丸在膛內(nèi)的時間?？梢钥闯?，該方程中，只要火炮和彈丸型號確定，S、φ、m就為已知量，將彈丸的瞬時速度和時間進行積分可以得出：

(2)

(3)

(4)

因此，最大膛壓和彈丸初速關(guān)系式為：

(5)

由上式可知，最大膛壓與彈丸初速是最高二次冪的關(guān)系。應(yīng)用1stOpt軟件進行擬合，為了提高擬合曲線的精度，選用的擬合公式形式為：

Pm=b0+b1V0+b2V02+b3V03+b4V04

(6)

經(jīng)過擬合發(fā)現(xiàn)使用1stOpt擬合時公式中的常數(shù)項b0不為0而且數(shù)值較大，這是由此軟件具有較高的擬合精度造成的。如果彈丸在炮口沒有速度但是最大膛壓存在，說明彈丸在膛內(nèi)的摩擦導(dǎo)致彈丸達(dá)到炮口時速度減小到0，這在實際工程中是有可能存在的。由于實際彈丸速度較高，所以為了簡化起見，可以假設(shè)b0值為0，由此得：

Pm=-0.274 23V0+0.001 807V02-1.534 6×
10-6V03+4.060 1×10-10V04

(7)

式(7)中，Pm的計量單位為MPa，V0的計量單位為m/s。擬合后的曲線如圖1所示。

圖1 擬合后的火炮最大膛壓與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.1 Relationship curve between the maximum chamber pressure of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

擬合后的公式中，雖然b3、b4的值很小，但是也對擬合結(jié)果有影響。將b3、b4取為0后再進行擬合，擬合后：

Pm=0.051 21V0+4.478×10-4V02

(8)

(9)

由于理論計算時最大膛壓與初速為二次冪的關(guān)系，因此再分別擬合一條一次冪關(guān)系的直線和二次冪關(guān)系的拋物線，同式(9)進行比較。直線和拋物線公式分別為：

Pm=0.329 5V0

(10)

Pm=5.230 5×10-4V02

(11)

圖2 擬合后的火炮最大膛壓與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.2 Relationship curve between the maximum chamber pressure of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

對比上述的擬合結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，擬合后式(7)、式(9)、式(11)與原數(shù)據(jù)符合度較好，式(10)與原數(shù)據(jù)差距較大，在式(7)、式(9)、式(11)中以式(11)最簡潔，而且與理論計算最為符合，故擬合后火炮最大膛壓與初速平方成正比。式(8)至式(11)中Pm的計量單位為MPa，V0的計量單位為m/s。

2.2 身管火炮最大射程與初速關(guān)系擬合

在空氣彈道中射程與彈丸初速的關(guān)系為[4]：

(12)

式(12)中：

(13)

Xm=b1V0+b2V0a

(14)

經(jīng)過改變a的取值，可以得到當(dāng)a=1.6時，擬合公式的均方差最小，擬合后：

Xm=16.427 4V0+0.266 9V01.6

(15)

Xm的計量單位為m，V0的計量單位為m/s。為了使公式簡化，再擬合出一條直線：

Xm=28.971 9V0

(16)

圖3 擬合后的火炮最大射程與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.3 Relationship curve between the maximum range of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

對比原數(shù)據(jù)與式(15)、式(16)的擬合結(jié)果可以觀察到式(16)較為簡潔，故擬合后火炮最大射程和彈丸初速近似呈線性關(guān)系。

2.3 身管火炮最大射程落速與初速關(guān)系擬合

在空氣彈道中，落速受到外彈道環(huán)境的影響與射程受到的影響一樣，因而[4]：

(17)

式(17)中，Vxc=Vccosθc，Vx0=V0cosθ0。

化簡可得：

(18)

從上式可知，火炮落速與彈丸初速、射角、落角有關(guān)。通過簡單的計算可以發(fā)現(xiàn)，彈丸的射角和落角的余弦函數(shù)值的比值是逐漸減小的，線型大致為拋物線，因而選擇的射程和彈丸初速之間的擬合關(guān)系式為：

Vc=b1V0a+b2

(19)

擬合后：

(20)

式(20)中，V0和Vc的計量單位均為m/s。

在式(20)中，如果彈丸落速為0，彈丸初速經(jīng)過計算也約等于0，與理論分析結(jié)果一致。擬合后的公式均方差很小，相關(guān)系數(shù)接近于1，說明在本文算例的初速范圍內(nèi)彈丸落速與初速的擬合公式是可信的。擬合后彈丸落速與彈丸初速的關(guān)系曲線近似為拋物線，初速無限增大，落速趨于恒值374.5 m/s。

圖4 擬合后的彈丸最大射程落速與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.4 Relationship curve between the falling velocity of maximum range of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

2.4 身管火炮彈丸全飛行時間與初速關(guān)系擬合

在空氣彈道中，彈丸飛行時間受到外彈道環(huán)境的影響，因而[4]：

(21)

將公式化簡可得：

(22)

從上式可知，彈丸飛行時間與彈丸初速、射角、落角和空氣阻力系數(shù)有關(guān)，通過以上公式簡單計算可知，彈丸全飛行時間與初速大致為一次冪關(guān)系，因而選用的擬合關(guān)系式為：

T=b1V0+b2V0a

(23)

擬合后：

T=0.284 8V0-9.077 5×10-2V01.1

(24)

式中，T單位為s，V0單位為m/s。再對式(21)進一步簡化：

T=0.112 8V0

(25)

將式(23)、式(24)與原數(shù)據(jù)相比較可以得到式(25)較為簡潔，誤差也在允許的范圍內(nèi)，這表明彈丸飛行時間與彈丸初速近似呈線性關(guān)系。

2.5 身管火炮最大射程落角與初速關(guān)系擬合

在空氣彈道中，由于受到外彈道阻力的影響，落角的絕對值肯定會比射角大。目前未見到有彈丸落角與彈丸初速之間的關(guān)系，因而使用1stOpt軟件自帶的自動搜索匹配公式的功能進行擬合，經(jīng)過分析比對選用的擬合公式為：

θc=b0+b1V01.5+b2V02.5+b3V03

(26)

擬合后的關(guān)系式為：

θc=-62.759+6.826×10-3V01.5-
2.387×10-5V02.5+5.392×10-7V03

(27)

圖5 擬合后的彈丸全飛行時間與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.5 Relationship curve between the full flight time of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

觀察原數(shù)據(jù)的圖形可以發(fā)現(xiàn)，原數(shù)據(jù)與邏輯斯蒂曲線形狀相似，再以邏輯斯蒂曲線公式進行擬合，可以得到：

(28)

由于邏輯斯蒂曲線形狀較為線性，再擬合出一條一次冪關(guān)系的直線：

θc=-2.884 6×10-2V0-39.844 1

(29)

式(27)—式(29)中，θc的計量單位為(°)，V0的計量單位為m/s。

圖6 擬合后的彈丸最大射程落角與彈丸初速關(guān)系曲線Fig.6 Relationship curve between the falling angle of maximum range of artillery and the initial velocity of projectile after fitting

對比式(27)、式(28)、式(29)的擬合結(jié)果，可以觀察到式(27)與原數(shù)據(jù)符合程度較高。但是在誤差允許的范圍內(nèi)，式(29)更為簡潔，擬合后彈丸落角與彈丸初速近似呈線性關(guān)系，初速越大，落角絕對值也就越大。

2.6 122 mm榴彈炮普通榴彈與120 mm迫擊炮彈最大射程落點諸元與初速關(guān)系

為了驗證擬合關(guān)系式的普適性，再選用122 mm榴彈炮普通榴彈與某120 mm迫擊炮彈最大射程落點諸元與初速的數(shù)據(jù)進行擬合。其中擬合某120 mm迫擊炮彈最大射程落點諸元與初速關(guān)系時，試驗數(shù)據(jù)較少不足以進行擬合，因而將已知的試驗數(shù)據(jù)反求得的彈道系數(shù)取平均值后解算不同初速下的彈道諸元，求得的彈道系數(shù)平均值為0.788 5。擬合所需的參數(shù)如表3、表4[8]、表5和表6所示。

經(jīng)過擬合可以得到122 mm榴彈炮普通榴彈的最大射程、最大射程落速、全飛行時間和最大射程落角與彈丸初速的擬合關(guān)系式為：

Xm1=23.923 0V01

(30)

(31)

T1=0.067 4V01+19.200 2

(32)

θc1=-0.025 8V01-41.929 5

(33)

表3 122 mm榴彈炮普通榴彈射表給定的彈道諸元和反求得到的彈道系數(shù)

表4 122 mm榴彈炮普通榴彈外彈道諸元解算結(jié)果

表5 120 mm迫擊炮彈已知的初速、解算使用的彈道系數(shù)和最大射程

表6 120 mm迫擊炮彈外彈道諸元解算結(jié)果

某120 mm迫擊炮彈的最大射程、最大射程落速、全飛行時間和最大射程落角與彈丸初速的擬合關(guān)系式為：

Xm2=30.615 3V02-2 416.338 2

(34)

Vc2=-1.608 8×106V02-2+232.289 5

(35)

T2=0.117 3V02+3.183 1

(36)

θc2=-0.022 0V02-43.614 2

(37)

3 分析與討論

各個公式的相對誤差如表7、表8和表9所列。

由于要求擬合關(guān)系式盡量簡潔直觀，所以所選擬合公式并不是誤差最小的。

表7 155 mm加榴炮普通榴彈擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對誤差

表8 122 mm榴彈炮普通榴彈擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對誤差

表9 120 mm迫擊炮彈擬合后的公式與原數(shù)據(jù)的相對誤差

從表7至表9可知，最大膛壓、最大射程和最大射程落速與彈丸初速擬合公式的最大相對誤差均較大。在擬合過程中，修改初速指數(shù)，可得到不同的擬合公式。降低初速指數(shù)，可使擬合公式更為簡潔，從而便于揭示出清晰的規(guī)律。由于各種火炮的空氣彈道規(guī)律大體上是相同的，所以本文雖然只是針對三種火炮進行計算對比，但是所得基本規(guī)律對于其他火炮同樣適用，應(yīng)該具有普適性，有助于彈藥和引信總體論證、初步設(shè)計、性能分析和試驗評估時的外彈道特性估算參考。對于其他火炮彈藥系統(tǒng)，只要有對應(yīng)不同初速的最大膛壓和最大射程落點諸元數(shù)據(jù)，就可以按本文的方法擬合出身管火炮諸元如膛壓(影響引信發(fā)射過載系數(shù))和最大射程落點諸元與初速之間的關(guān)系(規(guī)律)。

4 結(jié)論

本文提出了應(yīng)用1stOpt軟件以有多號發(fā)射裝藥的155 mm加榴炮普通榴彈、122 mm榴彈炮普通榴彈和120 mm迫擊炮彈為例，對內(nèi)、外彈道學(xué)運動方程簡化分析的方法。該方法基于對155 mm身管火炮普通榴彈彈道諸元與初速關(guān)系進行分析，擬合了彈道諸元中最大膛壓、最大射程、最大射程時的落速、全飛行時間、最大射程時的落角與初速之間的函數(shù)關(guān)系，利用這個函數(shù)關(guān)系可以迅速得到彈道諸元的近似值。擬合結(jié)果表明：最大膛壓與初速平方近似呈正比；最大射程及全飛行時間與初速近似呈正比；最大射程落速與初速的關(guān)系曲線近似為拋物線，初速無限增大，最大射程、落速趨于恒定值；最大射程落角與初速近似呈線性關(guān)系，初速越大，落角也越大。