徐澤林

（東華大學(xué) 人文學(xué)院,上海 201620）

吳文俊先生對中國數(shù)學(xué)史的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn),學(xué)界有過很好的總結(jié)①②③李文林.古為今用、自主創(chuàng)新的典范——吳文俊院士的數(shù)學(xué)史研究[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)漢文版）,2009,38（5）：477-490.,可歸納為三個方面：第一,深刻地揭示了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特征,即構(gòu)造性、機(jī)械化（算法化）數(shù)學(xué),高屋建瓴地指出其與西方古希臘抽象的公理化數(shù)學(xué)東西輝映,都對世界數(shù)學(xué)發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。第二,在數(shù)學(xué)史研究方法論方面提出了“古證復(fù)原”的歷史主義原則,引領(lǐng)了20世紀(jì)80年代以來的中國數(shù)學(xué)史研究。第三,設(shè)立“數(shù)學(xué)與天文絲路基金”（以下簡稱“絲路基金”）,鼓勵和支持年輕學(xué)者深入開展古代及中世紀(jì)中國與其他亞洲國家的數(shù)學(xué)天文交流史的研究。但是,對于反映他第一方面學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)的一些數(shù)學(xué)史觀,學(xué)界還存在一些誤解或爭議,本文將從漢字文化圈區(qū)域數(shù)學(xué)文化視角,通過日本傳統(tǒng)數(shù)學(xué)（和算）的成就來分析吳文俊的中算史觀。

一、吳文俊對中算認(rèn)識的背景及其思想核心

興起于19世紀(jì)末20世紀(jì)初的西方數(shù)學(xué)編史有著歷史學(xué)和數(shù)學(xué)兩方面的背景。19世紀(jì)以來的西方現(xiàn)代史學(xué)不僅受到實證主義哲學(xué)的影響,同時也受到了興起于18世紀(jì)中后期、發(fā)展于19世紀(jì)的歐洲中心主義世界觀和歷史觀的影響。此外,源于17世紀(jì)的英國政治史的輝格解釋也逐漸成為歷史學(xué)研究中具有普遍性的解釋方法,對科學(xué)編史和數(shù)學(xué)編史的影響更為深遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)方面,19世紀(jì)經(jīng)由非歐幾何和伽羅瓦群的誕生與發(fā)展,以及分析學(xué)嚴(yán)格化運動,導(dǎo)致強(qiáng)調(diào)邏輯演繹的公理化方法的流行和高度抽象的集合論語言的廣泛使用,從而抽象化、公理化的“純粹數(shù)學(xué)”被認(rèn)為是“數(shù)學(xué)的主流”,追求抽象和演繹的希臘數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)自然在數(shù)學(xué)認(rèn)識和歷史認(rèn)識中被奉為圭臬。

隨著反歐洲中心論史學(xué)的興起,世界古代數(shù)學(xué)文化的多樣性和民族性漸受關(guān)注,19世紀(jì)末20世紀(jì)初之后,盡管康托爾（M.Cantor,1829—1920）、史密斯（D.E.Smith,1860—1944）等人的數(shù)學(xué)史著作中開始出現(xiàn)關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容,但主要依據(jù)17世紀(jì)以后來華傳教士赫師慎（Louis van Hée,1873—1951）等人的零散工作以及日本學(xué)者三上義夫（1875—1950）的研究成果,直至M·克萊因（M·Kline,1908—1992）的《古今數(shù)學(xué)思想》（1972）,中國數(shù)學(xué)仍然被認(rèn)為“對于數(shù)學(xué)思想的主流沒有影響”而被忽略④M·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].張理京,張錦炎,江澤涵譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2002：2.。他們不僅對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想方法缺乏了解、認(rèn)識偏頗,而且以西方數(shù)學(xué)知識的標(biāo)準(zhǔn)評價中國數(shù)學(xué),可見先入之見的歐洲中心論歷史觀根深蒂固。20世紀(jì)70年代以前中國國內(nèi)的中算史研究,基本上屬于數(shù)學(xué)史料發(fā)掘和以西方知識為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)知識認(rèn)證工作,缺乏宏觀的世界視野和深刻的數(shù)學(xué)思想史高度。而事實上,希臘演繹幾何在漫長的中世紀(jì)并沒有促進(jìn)歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展,歐洲近代文明是在經(jīng)歷中世紀(jì)兩次大翻譯運動（阿拉伯語翻譯與拉丁語翻譯）的東西方文化交流與融合之后才得以形成,歐洲近代數(shù)學(xué)中到底有哪些東方元素及其來源為何？近代數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想主流到底是什么？這些問題并未徹底澄清。此外,20世紀(jì)現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)和計算數(shù)學(xué)的興起也會帶來數(shù)學(xué)史觀的改變,需要重新認(rèn)識和評價東方數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)。

吳文俊數(shù)學(xué)史觀中有三個核心問題,即中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點是什么？世界數(shù)學(xué)的主流是什么？中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的價值與地位在哪里？這三個問題是相互關(guān)聯(lián)的,只有解決了前面兩個問題,后面的問題也就自明了。

吳文俊將中算特點概括為構(gòu)造性與機(jī)械化,并使之與古希臘數(shù)學(xué)的演繹式、公理化相對照；針對中國古代有沒有幾何學(xué)問題,提出了“出入相補(bǔ)原理”“幾何代數(shù)化”的核心概念,認(rèn)為中國古代幾何研究與應(yīng)用問題緊密相連,以面積、體積的度量為中心,沒有采用演繹系統(tǒng),而是建立在幾條簡明的原理之上,與代數(shù)互相滲透,具有幾何代數(shù)化的特點,不同于希臘幾何的以空間形式及其性質(zhì)研究為中心,以及采用抽象演繹方式。這些特點都是過去中算史家所未概括出來的。

對于世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流問題,吳文俊基于古代及近代世界文明發(fā)展中文化交流的歷史事實,認(rèn)為“數(shù)學(xué)發(fā)展的主流并不像以往有些西方數(shù)學(xué)史家所描述的那樣只有單一的希臘演繹模式,還有與之平行的中國式數(shù)學(xué),而就近代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生而言,后者甚至更具有決定性的（或者說是主流的）意義”。⑤李文林.古為今用的典范——吳文俊教授的數(shù)學(xué)史研究[A].//林東岱,李文林,虞言林.數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)機(jī)械化[C].濟(jì)南：山東教育出版社,2001：49-60.他抓住近代數(shù)學(xué)兩個核心領(lǐng)域——解析幾何與微積分的思想方法展開分析,通過分析中算的重差術(shù)與天元術(shù)關(guān)系⑥吳文俊.我國古代測望之學(xué)重差理論評介——兼評數(shù)學(xué)史研究中某些方法問題[A].//科技史文集（8）[C].上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1982.,認(rèn)為出入相補(bǔ)原理引導(dǎo)中算家將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解,從而逐步形成幾何代數(shù)化,而幾何代數(shù)化在近代數(shù)學(xué)的形成過程發(fā)揮了重要作用。學(xué)界一般認(rèn)為微積分只是在古希臘數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的,是古希臘數(shù)學(xué)嚴(yán)密推理模式的產(chǎn)物,但吳文俊認(rèn)為,“微積分的發(fā)明從Kepler到牛頓有一段艱難的過程,在作為產(chǎn)生微積分所必要的準(zhǔn)備條件中,有些是我國早已有之,而為希臘所不及的?！雹邊俏目?中國古代數(shù)學(xué)對世界文化的偉大貢獻(xiàn)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報,1975（18）.理由是希臘數(shù)學(xué)在處理無窮問題方面存在缺陷,其無理數(shù)理論對于“極限”來說華而不實,而中算有完整的實數(shù)系,微積分算法形成的背景中度量面積、體積的無窮小計算,在中算中更為豐富。簡言之,吳文俊認(rèn)為近代數(shù)學(xué)中必不可少的完善的實數(shù)系、代數(shù)化與解決實際問題的算法化,主要是“中國式”數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。

然而,中算無窮小算法在祖沖之（429—500）父子之后停滯不前了,代數(shù)化幾何與數(shù)學(xué)機(jī)械化在朱世杰（1249—1314）之后隨天元術(shù)的失傳而衰微了,明代數(shù)學(xué)甚至出現(xiàn)了倒退。中算的歷史發(fā)展并沒有出現(xiàn)吳文俊所期待的結(jié)果,那么吳文俊對中算的分析與評價是否夸大其詞、言過其實呢？我們無法假設(shè)如果明末之后中算不深受西方數(shù)學(xué)影響的后續(xù)發(fā)展結(jié)果,但是可以將歷史考察的視野擴(kuò)大到漢字文化圈來審視吳文俊對中算的認(rèn)識,而且他也在多種場合措辭用的是“中國式”數(shù)學(xué),非限指中國數(shù)學(xué)。

二、中算、和算、東算與中國式數(shù)學(xué)

中算、和算、東算是學(xué)術(shù)界對中國、日本、朝鮮傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的稱謂,盡管在江戶時代（1603—1867）和李氏朝鮮時代（1392—1910）就分別有相對于中國“漢算”的和算、東算稱謂,但其強(qiáng)烈的民族意涵還是在20世紀(jì)東亞民族主義數(shù)學(xué)編史中形成的⑧徐澤林.民族主義與東亞數(shù)學(xué)編史問題[J].自然科學(xué)史研究,2007,26（1）：12-29.。

眾所周知,日本（包括琉球）、朝鮮半島、越南的傳統(tǒng)文化是在漢唐文化的基礎(chǔ)上生長出來的,宋元明清時代中國文化仍持續(xù)傳播影響于漢字文化圈國家,數(shù)學(xué)文化也是如此。16世紀(jì)以前,其民族自主性與獨立性還是很有限的,甚至可以說不存在其本土數(shù)學(xué)文化。16世紀(jì)中葉西方文化開始東漸漢字文化圈,隨著本土文化的積累與發(fā)展,日本文化的民族性漸漸顯露。特別是到了江戶時代的元祿年間（1688—1703）出現(xiàn)了試圖最大程度擺脫中國文化影響的日本國學(xué),在本土文化自覺過程中,與“漢算”并列的“和算”概念也流行起來,江戶中期,“和算”“和術(shù)”的術(shù)語被普遍使用了。20世紀(jì)日本數(shù)學(xué)史界常把“和算”概念限定為江戶時代的算學(xué),甚至定義為關(guān)孝和（1642？—1708）的《發(fā)微算法》（1674）出版之后,旨在突顯日本人的數(shù)學(xué)獨創(chuàng)性以區(qū)別于中算。

另一方面,日本歷史上接受西學(xué)先后經(jīng)歷了南蠻學(xué)（16世紀(jì)中葉到17世紀(jì)初）、蘭學(xué)（17世紀(jì)中葉至19世紀(jì)中葉）和洋學(xué)（19世紀(jì)中葉至明治維新）階段,那么和算是否如清代數(shù)學(xué)那樣受到西方數(shù)學(xué)的廣泛影響？盡管平山諦（1904—1998）⑨平山諦.和算の誕生[M].恒星社厚生閣,1998.、井敏宗⑩井敏宗.初期の「和算家」と「宣教師スピノラ」をめぐって,特に「塵劫記」の著者「吉田光由」を中心にして—[J].教育のプリズム,創(chuàng)刊號,235.、鈴木武雄①鈴木武雄.和算の成立[M].幸栄印刷有限會社,1998.等人調(diào)查出一些在日傳教士的數(shù)學(xué)活動以及《同文算指》（利瑪竇、李之藻,1613）對江戶初期和算書影響的材料,但這些零星材料不足以否認(rèn)江戶初期和算書的數(shù)學(xué)知識基本上都來源于《算法統(tǒng)宗》（程大位,1593）、《算學(xué)啟蒙》（朱世杰,1299）等書的事實。禁教鎖國期間,由于幕府歷法改革沿用《授時歷》（1280）傳統(tǒng),所以對西方天文數(shù)學(xué)沒有迫切需求,明末清初的漢譯西方天文數(shù)學(xué)著作流入日本,也是在以享保改歷為契機(jī)的幕府頒布“緩禁令”（1726）之后,但和算已經(jīng)在此前的1670年至1720年50年間,在中國宋元數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上快速發(fā)展為既保持中算傳統(tǒng)又具日本特色的算學(xué)知識體系,西方數(shù)學(xué)對于和算的發(fā)達(dá)幾乎沒有發(fā)揮作用。

漢字文化圈數(shù)學(xué)文化起源于中國的先秦,奠基于兩漢,充實于魏晉唐,精進(jìn)于宋元,延續(xù)于明代,分化于17—19世紀(jì)（清代數(shù)學(xué)、和算、東算）。和算作為宋元數(shù)學(xué)在江戶日本延續(xù)發(fā)展的數(shù)學(xué)知識,保持了漢字文化圈數(shù)學(xué)的根本性（也即共同性）而與清代數(shù)學(xué)的中西融合狀態(tài)不同。若論中國文化對世界文明的影響,首先是對周邊漢字文化圈國家和地區(qū)的影響。日本傳統(tǒng)學(xué)術(shù)可視為漢文化在日本的發(fā)展,由和算反思中算,有助于我們更全面、更深刻地認(rèn)識中算。吳文俊所謂的“中國式”數(shù)學(xué),是相對于古代希臘數(shù)學(xué)為代表的“西方數(shù)學(xué)”而言的,可以說是“東方數(shù)學(xué)”的代名詞,其意涵包括印度數(shù)學(xué)和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)。漢字文化圈數(shù)學(xué)更是“中國式”數(shù)學(xué),這是無可爭辯的。

三、和算成就對吳文俊中算史觀的旁證

從1600年左右出現(xiàn)第一本和算書《算用記》,到明治十年（1877）和算在學(xué)校教育中被明治政府強(qiáng)行廢止,和算在江戶時代的發(fā)展僅有270余年的時間,但留下了數(shù)萬種數(shù)學(xué)、天文學(xué)、測量學(xué)方面的著述文獻(xiàn)②日本學(xué)士院藏和算相關(guān)資料7 500余部,13 000多冊。東北大學(xué)圖書館狩野文庫是天文算學(xué)資料最為集中的地方,收藏與和算有關(guān)的資料共合計18 335冊（也有不少書籍資料與學(xué)士院圖書館所藏相同）。此外,還有其他如東京大學(xué)圖書館、早稻田大學(xué)圖書館、山形大學(xué)圖書館等都收藏一定數(shù)量的和算資料。以及近千幅的算額③懸掛在神社、寺廟廊檐或“繪馬堂”中書寫數(shù)學(xué)問題的匾額。,并有數(shù)千名和算家留下了姓名,其中包括武士、手工業(yè)者、商人和農(nóng)民,如此普及和繁盛的數(shù)學(xué)社會,在世界數(shù)學(xué)文化史上也十分罕見,它與江戶時代教育的普及以及代町人文化、藝道文化④日本藝道文化來自中國唐朝,中世紀(jì)后逐漸發(fā)展起來,其范圍涉及歌道、俳諧道、能藝道、花道、茶道、書道、畫道、棋道乃至劍道、柔道、武士道等,江戶時代的與“文武兩道”相關(guān)的技藝,都通稱為“道”,和算也是藝道的一種,可稱作“算道”。的盛行有關(guān)。和算家會田安明（1747—1817）在《數(shù)學(xué)夜話評林》（1808）中以比較的視角談到了和算比清代數(shù)學(xué)發(fā)達(dá)的原因：

“今之算術(shù),我朝遙勝,唐土大劣,然非自古如此,我朝置四道⑤指律令制時代大學(xué)寮所設(shè)置的四個學(xué)科：紀(jì)傳道、明經(jīng)道、明法道、算道。博士時,以算博士為主之書乃自唐朝渡來之《周髀算經(jīng)》《吳子算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》《五曹算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》之五經(jīng)也,而別無我朝作意之算經(jīng)。然于時慶長以前,唐土勝、我朝劣,然慶長以來,隨太平之余澤,屢屢達(dá)算者出,今時比諸唐土遙勝,不只唐土、天竺,于大千世界如我朝巧于算之國無有（乃西洋天學(xué)甚精,為海內(nèi)第一,然未聞精于算術(shù)）。予按：唐土當(dāng)出達(dá)算者,不在地,鑒其風(fēng)土。精于書籍、通經(jīng)濟(jì)之事,則平人可登用三公之國風(fēng)也,勝于數(shù)學(xué)而不能立身之國也。故只用心于書籍、不可盡心于數(shù)學(xué)。又我國書籍本用于勝于某道而不登三公之國風(fēng)也,故立身出世無望,只隨各自所好學(xué)其道也,故勝于算學(xué)者多出也。豈唐土所及乎？”⑥會田安明.數(shù)學(xué)夜話評林[M].抄本,文化五年（1808）.

正如會田安明所說,中國的科舉取士制讓讀書人熱衷于儒家經(jīng)典以考取功名,一般人不會專門去學(xué)數(shù)學(xué)。武士世襲制導(dǎo)致江戶時代一般民眾通過讀書謀求“立身”無望,只好隨各自的愛好研學(xué)某門藝道了,這樣精于算學(xué)的人也就多了。

和算存在兩種知識系統(tǒng),一種是以《塵劫記》（1627）為代表的十分普及和流行的實用算術(shù)知識,其傳統(tǒng)來源于《算法統(tǒng)宗》,還有一種是《發(fā)微算法》以后發(fā)展起來的以代數(shù)學(xué)、代數(shù)化幾何、無窮小算法為中心的純數(shù)學(xué)的知識系統(tǒng),這種傳統(tǒng)主要來自以《算學(xué)啟蒙》《楊輝算法》《授時歷》為載體的宋元數(shù)學(xué)傳統(tǒng),內(nèi)容包括天元術(shù)、四元術(shù)、演段法、開方釋鎖、垛積招差等。在藝道文化環(huán)境中,這一傳統(tǒng)被演化成帶有高度技巧性、競技性、藝術(shù)化的游藝。所以18世紀(jì)的歷學(xué)家西村遠(yuǎn)里（1718—1787）給出如下評論：

雖說和邦近世延寶時關(guān)孝和己來,連綿所出算書,或《下學(xué)》《竿頭》《探玄》等書可數(shù),然近世之書,神妙奇術(shù)多,然失算之本意,唯迂遠(yuǎn)人世者多,為無用之事者,愈精愈失。⑦西村遠(yuǎn)里.數(shù)學(xué)夜話[M].寶歷十一年（1761）刊.

如果以近現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識來衡量的話,和算中最為突出的成就主要反映在求解代數(shù)方程、采用文字代數(shù)方法并建立了消元法、代數(shù)化幾何研究的繁榮、無窮小算法的發(fā)達(dá),以及構(gòu)造性、機(jī)械化算法的豐富。它們是對宋元數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的發(fā)展,某些成果達(dá)到了開普勒（1571—1630）至牛頓（1642—1727）時期的歐洲數(shù)學(xué)水準(zhǔn),因此日本學(xué)術(shù)界常把關(guān)孝和之后的和算譽為另外一種近代數(shù)學(xué)。在宋元數(shù)學(xué)知識傳統(tǒng)上發(fā)展起來的和算,有力地旁證、詮釋了吳文俊的中算史觀。以下將從三個方面予以論述。

（一）演段與解伏題:中算的幾何代數(shù)化與數(shù)學(xué)機(jī)械化傳統(tǒng)在和算中的發(fā)展

和算之所以能在宋元數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)步,是由于接受了天元術(shù)并將其改進(jìn)為傍書法。所謂傍書法,就是以籌碼表示多項式的常數(shù)系數(shù),用漢字、漢字略書（偏旁部首）或片假名作為代數(shù)符號表示已知量或輔助未知量,書于常系數(shù)的籌碼一旁,多項式代數(shù)運算變成這些籌碼及其傍書的文字符號的演算（傍書法的代數(shù)演算是以天元術(shù)為中心的,缺少運算符號與關(guān)系符號）。和算家通過《算學(xué)啟蒙》（1299）接受了天元術(shù)（該書中也出現(xiàn)了傍書的萌芽）。第一本理解天元術(shù)原理的和算書《古今算法記》（澤口一之,1671）出版后的50年間,是天元術(shù)和傍書法在和算中最為流行、和算代數(shù)學(xué)發(fā)展最快的時期。

使用天元術(shù)、傍書法的代數(shù)演算稱作“演段”。此概念最早出現(xiàn)于李冶（1192—1279）的《益古演段》（1259）,后來在宋元數(shù)學(xué)著作中普遍使用,但對其含義都沒有清晰的解釋。和算家通過《算學(xué)啟蒙》和《楊輝算法》（1275）接受了此概念。隨傍書法的使用此概念在和算中又增添了新的意涵。據(jù)筆者考證,演是“推演”的意思,段是“段數(shù)”的略稱,所謂段數(shù)就是多項式的系數(shù),演段就是推演出多項式方程式（開方式）。演段在和算中的發(fā)展,表明東亞傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)獲得新的進(jìn)步：代數(shù)方法的抽象程度逐步增高；處理數(shù)學(xué)問題的范圍不斷擴(kuò)大,處理的數(shù)學(xué)對象從直田（矩形圖形）和二次方程,發(fā)展到可以處理一元n次方程或多元n次方程組,再到一般的代數(shù)問題；代數(shù)演算對象從最初的對量和圖形的演算,發(fā)展到對數(shù)和天元式的演算,再發(fā)展到對數(shù)、天元式和符號的演算⑧徐澤林,衛(wèi)霞.“演段”考釋——兼論東亞代數(shù)演算方式的演變[J].自然科學(xué)史研究,2011,30（3）：318344.。

關(guān)孝和把數(shù)學(xué)問題分為三類：見題（不需要列方程求解的算術(shù)題）、隱題（列一元方程求解的問題）、伏題（需要列多元方程組求解的問題）,建部賢弘增加一類潛題（非代數(shù)的超越函數(shù)類問題）。關(guān)孝和的《解伏題之法》（1683）記錄了多元高次方程組消元算法,其算法概括為6個步驟：真虛、兩式、定乘（附疊、括）、換式（附芟、治）、生尅、寄消。其算法大致如下：

圖1 《發(fā)微算法演段諺解》中的傍書與演段

首先明確所求問題中的目的未知數(shù)與輔助未知數(shù),建立設(shè)元以及消元的順序。據(jù)此列出多元高次方程組

隨后對式（1）析分主變元xn,即從式（1）中選取某個Fr（x1,x2……xn）=0（稱作“前式”）與其余n-1個方程（稱作“后式”）分別組成二元方程組（共n-1組）,即

其中Ai=fi（x1,x2……xn-1）,（i=0,1,2,3……p）,Bi=gi（x1,x2……xn-1）,（i=0,1,2……q）。

析分主變元的演算又叫作“括”,即利用傍書法將F（x1,x2……xn）=0整理成P（xk）=這是朱世杰四元術(shù)做不到的。對于兩式（2）消去xn后得到關(guān)于xn-1的方程Q（Ai,Bi）=t（xn-1）=0,以確定的t（xn-1）次數(shù)deg（t（xn-1））。 這就是所謂定乘,實際上關(guān)孝和的定乘方法是錯的。

對兩式（2）消去xn的基本演算就是“疊”（本質(zhì)即兩方程式間的互乘相消）,即依次消去項（叫疊高級）,或依次消去常數(shù)項、項（叫疊低級）。對式（2）通過一系列的“疊”,得到齊次式（m是p、q的最小公倍數(shù)）：

然后對式（3）實施變換：

得到同解的m-1次齊次方程組：

對式（5）的系數(shù)行列式按對角線法則（分交式、斜乘兩步）即Sarrus展開法進(jìn)行展開（關(guān)孝和稱正項為生,負(fù)項為尅）,求出行列式的終結(jié)式,即消去xn后的結(jié)果。不斷重復(fù)上述演算步驟,可以逐步消去xn-1,xn-2……x2,x1。

后來的和算家發(fā)現(xiàn)關(guān)孝和的展開法存在缺陷,建部賢弘、井關(guān)知辰分別在《大成算經(jīng)》（1711）和《算法發(fā)揮》（1690）中改用Vandermonde展開法,久留島義太（？—1757）在《久氏遺稿天之卷》中改用Laplace展開法。和算行列式算法產(chǎn)生的背景與西方行列式理論產(chǎn)生的背景迥異,前者是解多元高次方程組,后者是解線性方程組,而且發(fā)明行列式及其各種展開法的時間也都早于西方。這也是和算走向近代數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志性成果之一。

由此我們自然想到吳文俊曾經(jīng)對天元術(shù)的精辟評論：“在宋元時期,創(chuàng)立了天元術(shù),相伴而生的是多項式概念、表達(dá)方法、運算法則,以及一般消去法的建立,到元朱世杰的《四元玉鑒》,已可解多至四個未知數(shù)的高次聯(lián)立方程組,只是由于我國古代不用筆算而用籌算,計算須在籌算板上進(jìn)行,才只能局限于四個未知數(shù),就其理論與方法的實質(zhì)而論,應(yīng)是可以推行于任意高次聯(lián)立方程組的?！雹釁俏目?吳文俊論數(shù)學(xué)機(jī)械化[M].濟(jì)南：山東教育出版社,1996：492.和算家在消元法方面的成就正好反映了吳文俊這一精辟論斷,解伏題正是朱世杰四元術(shù)的發(fā)展,而推動其發(fā)展的決定性因素正是在天元術(shù)基礎(chǔ)上發(fā)展起來的文字代數(shù)方法。解伏題的消元過程本質(zhì)上是對多元高次代數(shù)方程組整序以化成三角形方程組的機(jī)械化程序,當(dāng)我們關(guān)注其行列式理論方面的意義時,不能忽視其數(shù)學(xué)機(jī)械化思想方法方面的成就與價值⑩①徐澤林.日本の伝統(tǒng)的幾何とその中國における伝統(tǒng)[J].數(shù)學(xué)史研究,2010,207：13-30.。

中算列方程與對幾何圖形的代數(shù)分析緊密相連。天元術(shù)為布列高次方程帶來了廣闊的空間,但現(xiàn)實中很難遇到3次以上方程的數(shù)學(xué)問題,因此宋元數(shù)學(xué)家們利用假設(shè)代數(shù)關(guān)系或設(shè)計復(fù)雜幾何圖形,通過代數(shù)演算謀獲高次方程。其做法至少有以下三種：

1.假設(shè)不同維幾何量間的代數(shù)關(guān)系,通過代數(shù)演算獲得高次方程。如《算學(xué)啟蒙》“開方釋鎖門”第27問：“今有圓田一段,周為實,平方開之,得數(shù)加入圓積,共得一百一十四步,問周徑各幾何？”②朱世杰：算學(xué)啟蒙[A].中國科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷（第1冊）[M].鄭州：河南教育出版社,1993.其中“周為實,平方開之得數(shù)”即周長的方根,與“圓積”非同維幾何量,它們相加無實際意義。但通過去根號或冪式乘方,使多項式次數(shù)增高。這種情形在《四元玉鑒》《算學(xué)啟蒙》的天元術(shù)問題中十分常見。

2.增加輔助未知數(shù),通過消元演算獲得高次方程。

圖2 算額中的容題

3.構(gòu)造復(fù)雜的幾何圖形,根據(jù)圖形性質(zhì)尋找其中隱含的各種代數(shù)關(guān)系。朱世杰著作中用于構(gòu)建方程的幾何圖形空前豐富起來。由圖形中線段的數(shù)量關(guān)系作為代數(shù)分析的對象,幾何為代數(shù)服務(wù)。

《算學(xué)啟蒙》承載的這種代數(shù)化幾何傳統(tǒng)為《古今算法記》（1671）所繼承,澤口一之不僅成功地使用天元術(shù)解答《算法根源記》（佐藤正興,1669）書末的150個征解問題,而且模仿《算學(xué)啟蒙》中代數(shù)化幾何問題的形式設(shè)計了14個幾何問題附于自己的書末以征解。《發(fā)微算法》（1674）、《算法明解》（1678）、《和漢算法大全》（1695）等書先后解答這些問題,推動天元術(shù)普及的同時也推動了代數(shù)化幾何問題在和算中的流行,隨解伏題演段法的確立和使用,和算代數(shù)化幾何問題日益豐富、復(fù)雜、多樣。在此過程中,和算家也設(shè)計一些富有技巧和美觀、數(shù)量關(guān)系復(fù)雜的幾何模型,首先是關(guān)孝和創(chuàng)立了“角術(shù)”（尋找正多邊形的邊長a、外接圓半徑R、內(nèi)切圓半徑r之間的代數(shù)關(guān)系,構(gòu)建以天元術(shù)求R和r的高次方程。見于《括要算法》與《大成算經(jīng)》）。明和六年（1769）有馬賴徸（1714—1783）出版《拾璣算法》公開關(guān)流秘傳的點竄術(shù),書中也構(gòu)建了大量的代數(shù)化幾何問題,其中列“容術(shù)”一類,即三角形、多邊形、圓、橢圓、球、多面體之間的相容相切圖形的問題,開和算“容題”研究之先河。此后,如藤田貞資（1734—1807）的《精要算法》（1781）、安島直圓（1724—1798）的《不朽算法》（1799）等一批與天元術(shù)有關(guān)的和算書,都載有形形色色、爭奇斗艷的“容題”以及其他代數(shù)化幾何圖形問題。

點竄術(shù)、解伏題方法將中算的代數(shù)化幾何研究傳統(tǒng)推至頂峰。直至19世紀(jì)末,和算書與算額中幾何問題約占和算問題的80%之多,其中一部分屬于圓理的幾何求積題,另一部分則是代數(shù)求解的代數(shù)化幾何題,這種帶有江戶文化色彩的代數(shù)化幾何成為和算的一大特色（或可謂和式幾何）。隨幾何圖形的日益豐富和復(fù)雜化,和算家在求解過程中也掌握了一些相當(dāng)于歐氏幾何定理的幾何性質(zhì)。對于某些特殊類型的圖形,創(chuàng)立一些獨特的方法以有效建立代數(shù)關(guān)系,如有馬賴徸的逐索術(shù)、池田貞一（生卒年不詳）的環(huán)圓廉術(shù)、藤田貞資的一題數(shù)品術(shù)、山上光道的異形同術(shù)、會田安明的貫通術(shù)、梅村重得（1804—1884）和梅村重操（1818—1896）兄弟的旁斜術(shù)等。幕末和算家也嘗試著建立幾何變換或代數(shù)變換的方法來處理數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜的幾何問題。如長谷川寬（1782—1838）創(chuàng)立的變形術(shù)與極形術(shù),法道寺善（1820—1868）創(chuàng)立算變法,后者相當(dāng)于西方幾何學(xué)中的反演法。

和式幾何承繼著中算代數(shù)化幾何的傳統(tǒng),沒有像希臘幾何那樣將形與數(shù)截然分開而追求幾何事實間的邏輯關(guān)系、走向繁瑣的形式演繹,而是通過一些最基本的幾何原理,將幾何計算歸結(jié)為代數(shù)多項式方程求解,天元術(shù)發(fā)明后幾何研究就實現(xiàn)了代數(shù)分析（algebraic analysis）,與Descartes《幾何》中所反映的機(jī)械化思想和代數(shù)分析方法十分類似。為什么17世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)和東亞數(shù)學(xué)先后相互獨立地都出現(xiàn)了代數(shù)分析的傾向和努力,這是歷史的必然嗎？③徐澤林,衛(wèi)霞.“演段”考釋——兼論東亞代數(shù)演算方式的演變[J].自然科學(xué)史研究,2011,30（3）：318344.值得深入思考。

吳文俊曾經(jīng)指出：“我國就創(chuàng)立了‘天元術(shù)’,引進(jìn)了天元,及天元、地元、人元、物元等相當(dāng)于現(xiàn)代未知數(shù)的概念,把許多問題特別是幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程與方程組的求解問題。這一方法用于幾何可稱為幾何的代數(shù)化。12世紀(jì)的劉益將新了相當(dāng)于現(xiàn)代多項式的概念,建立了多項式的運算法則和消元法的有關(guān)代數(shù)工具,使幾何代數(shù)化的方法得到了有系統(tǒng)的發(fā)展,具見于宋元時代幸以保存至今的楊輝、李冶、朱世杰的許多著作之中。幾何的代數(shù)化是解析幾何的前身,這些創(chuàng)造使我國古代數(shù)學(xué)達(dá)到了又一個高峰。可以說,當(dāng)時我國已到達(dá)了解析幾何與微積分的大門,具備了創(chuàng)立這些數(shù)學(xué)關(guān)鍵領(lǐng)域的條件,但是各種原因使我們數(shù)學(xué)的雄偉步伐就在這些大門之前停頓下來。”④吳文俊.近年來中國數(shù)學(xué)史的研究[A].//中國數(shù)學(xué)史論文集（三）[C].濟(jì)南：山東教育出版社,1987.

解析幾何之所以在近代歐洲誕生有很多復(fù)雜的因素。今日面貌的解析幾何也并非出現(xiàn)于笛卡爾的《幾何》,而是在歐洲的函數(shù)知識豐富之后才形成。笛卡爾《幾何》的最偉大貢獻(xiàn)是促使歐洲數(shù)學(xué)走上了代數(shù)分析的道路而迅速邁向近代數(shù)學(xué)。和算在代數(shù)分析與數(shù)學(xué)機(jī)械化方面的成就與笛卡爾東西輝映,而且相較于19世紀(jì)以前歐氏幾何知識的很少增長,和式幾何豐富了初等幾何的內(nèi)容,也豐富了世界數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容,在今天的數(shù)學(xué)教育中仍可發(fā)揮作用。

（二）圓理:對吳文俊有關(guān)中算無窮小算法觀點的印證

和算圓理,指計算圓周率、圓面積、弧長、球體積,以及其他曲線、曲面型形體的度量。“圓理”一詞在中算中不曾見過,和算中最初出現(xiàn)于澤口一之的《古今算法記》,因后來無限分割的極限法被廣泛應(yīng)用于圓理計算,故今日學(xué)術(shù)界常把“圓理”視為東方的微積分。

近代數(shù)學(xué)中無窮小分析的起源存在物理學(xué)和幾何學(xué)兩方面的背景,東亞傳統(tǒng)知識中物理知識比較貧弱,因此無窮小計算主要反映在幾何求積上。中算涉及無窮小的算法有開方術(shù)、調(diào)日法（通其率）、割圓術(shù)、陽馬術(shù)、招差術(shù)、白道交周算法等,最為突出的成就有：（1）劉徽使用10進(jìn)小數(shù)無限逼近實數(shù)根；（2）何承天創(chuàng)立的調(diào)日法（和算稱作零約術(shù)）用有理分?jǐn)?shù)逼近無理數(shù)；（3）劉徽創(chuàng)立割圓術(shù)（和算稱作碎抹術(shù)）求圓周率、圓面積與弧長；（4）劉徽采用無限分割的方式（和算稱作削片法）證明陽馬術(shù)；（5）天文歷法中使用插值法（招差法）計算太陽系天體非均勻運動；（6）《授時歷》的“白道交周”求白道與赤道交點到冬至點（或夏至點）的極大距離；（7）劉徽、祖暅采用“截面原理”求曲面體體積。和算家在這些無窮小算法的基礎(chǔ)上繼續(xù)開拓,圍繞（1）求圓周率（圓周長、圓面積）、（2）弓形計算、（3）求球體積、（4）求函數(shù)的極值等問題進(jìn)行無窮小分析,其成果達(dá)到西方積分法的水平,使圓理成為和算標(biāo)志性成就。刺激和算家熱衷于無窮小分析興趣的,可能是《授時歷》中的圓周率取值與沈括會圓術(shù)應(yīng)用,以及《隋書·律歷志》有關(guān)祖沖之《綴術(shù)》及其圓周率、開差冪、開差立的記述。以下概述和算無窮小算法的成就、方法演變的歷史脈絡(luò)及其中算源流。⑤細(xì)井淙.和算に於ける極限思想[J].數(shù)學(xué)史研究,1965,3（3）：1-51.

關(guān)孝和引領(lǐng)了和算的圓理研究,用碎抹術(shù)求圓周率、球體積、球冠積、畹背（阿基米德螺線）、弧長。不過,其方法主要是插值法及其創(chuàng)立的增約術(shù)（無窮幾何級數(shù)求和公式）,所獲得的結(jié)果也都是算術(shù)形式的,也沒有用到極限法。圓理正式步入無窮級數(shù)展開研究的微積分時代是從建部賢弘的《綴術(shù)算經(jīng)》（1722）開始的,積分思想、微分思想乃至極限概念在其圓理分析中都有清晰表達(dá)。建部賢弘創(chuàng)立了Richardson外推法以求圓周率,并施諸弧長計算,利用高數(shù)位數(shù)值計算尋找系數(shù)規(guī)律,成功地將弧背p展成矢h的無窮級數(shù)：

后來他在《圓理弧背術(shù)》中利用割圓中的勾股術(shù),通過開方演算建立了開方綴術(shù),實現(xiàn)了無窮級數(shù)展開的代數(shù)化；其求球表面積的“薄皮饅頭法”,把球表面看成體積對半徑的微分,還將球看作由無限個無限小的錐體所形成,這些頂點在球心的錐底面是球表面的微元,與17世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)家開普勒（1571—1630）求圓面積和球體積的思想一致；受《授時歷》中月亮中心差變化規(guī)律的啟發(fā)建立了求多項式函數(shù)極值的方法,形式上與微分學(xué)中求函數(shù)穩(wěn)定點的Fermat方法一致。

由于點竄術(shù)代數(shù)方法的使用,久留島義太、松永良弼（？—1744）等人建立了無窮級數(shù)的代數(shù)運算與級數(shù)反演運算,他們在建部圓理研究成果的基礎(chǔ)上推演出許多新的無窮級數(shù),這些無窮級數(shù)公式包括圓周率、弧背、矢、弦、面積的無窮級數(shù)展開式,相當(dāng)于三角函數(shù)與反三角函數(shù)的級數(shù)展開,還包括有關(guān)正多邊形的無窮級數(shù)展開式。久留島義太（？—1757）把建部的極數(shù)術(shù)推廣到求有理分式函數(shù)的極值和超越函數(shù)的極值的情形,成為幕末“圓理極數(shù)術(shù)”的起點。松永良弼將關(guān)孝和求球體積方法推廣到無窮情形,通過無限分割、垛積求和、求極限的方法,正式確立了圓理中的定積分方法。

被稱作和算中興之祖的安島直圓使圓理算法實現(xiàn)了跨越性提升,他采用定積分算法對弧背進(jìn)行無窮級數(shù)展開,不僅與建部賢弘、松永良弼、久留島義太以及宅間流的級數(shù)展開方式不同,而且在推演中對無窮個系列無窮級數(shù)進(jìn)行疊加求和,這種方法被和算家稱作“二次圓理綴術(shù)”,相當(dāng)于二重積分,他用此法成功地解決了求圓穿空圓柱（直交圖形）的體積計算問題,成為和算圓理中“穿去問題”研究的嚆矢。安島之后和算全面進(jìn)入積分算法時代。

繼安島直圓之后,幕末和田寧（1787—1840）把圓理方法發(fā)展到最高水平。他建立了幾何求積的一般化方法（4種基本分割法：截徑法、截弦法、截矢法、截弧法）,以解決各類復(fù)雜圖形的求積問題,其圓理方法被稱作“圓理豁術(shù)”。他花費大量時間與精力制作了一系列相當(dāng)于定積分公式與微分公式的“疊表”（統(tǒng)稱為圓理表）,即以無窮級數(shù)的形式構(gòu)造了形如xm（1-x）n,xm（1-x2）n的函數(shù)在[0,1]區(qū)間上的積分表和微分表,以用于曲邊形體的求積。幕末的圓理計算基本上都使用圓理豁術(shù),從而圖形日益復(fù)雜,其中包括圓理極數(shù)術(shù)、轉(zhuǎn)距軌跡（即擺線）、濡圓（即擺線）、異圓、回圓（即旋轉(zhuǎn)體）等。以下將和算圓理方法發(fā)展脈絡(luò)及其與中算關(guān)系概括如圖3。

和算家明確地使用“極限”概念,很多場合和算家用“極數(shù)”表示“極限”,其概念主要有三種含義：（1）方程論中指方程的等根（稱商極數(shù)）；（2）增約術(shù)與無窮級數(shù)中的指級數(shù)的和,即極限值；（3）極數(shù)術(shù)中指函數(shù)的最大值或最小值。語源來自《授時歷》的“白赤道正交距黃赤道正交極數(shù)”（簡稱“極數(shù)”）⑥徐澤林.和算極數(shù)術(shù)與中算極値概念萌芽[J].自然辯證法通訊,2002,24（1）：63-67.,關(guān)孝和最早使用這一概念,后隨圓理方法的進(jìn)步,“極數(shù)”作為極限概念在和算中普遍使用。如在增約術(shù)中,關(guān)孝和明確指出“乃增數(shù)超于一以上者,無極數(shù)”,即當(dāng)r≥1時,級數(shù)a+ar+ar2+……arn+……不收斂；“乃損數(shù)超二分之一以上者,無極數(shù)也”,即當(dāng)r≥1/2時,級數(shù)a-ar-ar2-……-arn-……不收斂。安島直圓用積分法求“帶直弧形”面積時指出：“截數(shù)至多,則子至少矣。至少之極數(shù)者,空也。故第一行有形,而第二行以下皆盡而為空,即帶直弧積之真數(shù)也?！币饧礋o窮小的極限為0。

和算家也曾嘗試以象數(shù)學(xué)理論建立有關(guān)“無窮”的理論論述。如松永良弼（？—1744）《方圓算經(jīng)》（元文四年）中的“四原”,通過初、無,空、虛、無極,微、妙,來、往、始、終等概念論時空無窮性,和田寧的《圓理算經(jīng)》也采用這樣的論述。在對待“無窮”的態(tài)度上東方人不同于古代希臘人,松永良弼有一段繞口令式的注解最能說明這一點,他說：

“太易者,初也。數(shù)起于初也。太易之前曰之太素,所謂虛也。‘吾之所不言也’者。初之前,不可說也?！嗖谎砸病?人亦不言之也?！酥砸病?有象之后可詳也?！嘌灾病?吾亦言之也?！蛭ú谎砸病?圣人亦所不言也。‘何不言哉也’者,問之也。非不言,不可言也?！雹咂缴街B,內(nèi)藤淳編.松永良弼[C].松永良弼刊行會,東京：法令出版株式會社,1987：200.

正是關(guān)孝和、建部賢弘、安島直圓等大多數(shù)和算家對于無窮理論采取“不言”的態(tài)度,和劉徽一樣勇敢地通過“數(shù)而求窮之者,謂以情推,不用籌算”⑧郭書春主編.中國科技典籍通匯,數(shù)學(xué)卷（第1冊）[Z].鄭州：河南教育出版社,1993.,才能在無窮小分析上做出了杰出業(yè)績。事實上,牛頓時代及其以前半個世紀(jì),無窮小算法缺乏邏輯基礎(chǔ),極限概念也沒有建立起來。極限概念乃至微積分理論的建立是19世紀(jì)的事。

另外,早期圓理分析有賴于采用10進(jìn)制位值記數(shù)法而構(gòu)成的完整的實數(shù)系。建部賢弘計算弧長43位系列近似值、宅間能清（生活于17世紀(jì)后期）計算弧長80余位近似值,才從中發(fā)現(xiàn)級數(shù)系數(shù)的遞推規(guī)律。這體現(xiàn)了吳文俊所認(rèn)為的,比西方古代數(shù)學(xué)中的數(shù)系先進(jìn)和完整的中國、印度古代數(shù)學(xué),更能促進(jìn)歐洲近代數(shù)學(xué)是發(fā)展。

至于吳文俊認(rèn)為“我國古代數(shù)學(xué)完成了實數(shù)系”的觀點,常被學(xué)界所指摘和爭論,爭論焦點在于如何認(rèn)識劉徽在其《九章算術(shù)注》中對“開方不盡以面命之”的注解⑨⑩①②③李繼閔.劉徽關(guān)于無理數(shù)的論述[J].西北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,1989,19（1）：14.。實際上吳文俊已經(jīng)明確指出：“有無實數(shù)、無理數(shù)之類的概念與名稱,則是另一問題。對于實數(shù)的現(xiàn)代認(rèn)識,本來還是19世紀(jì)中葉才有的事。”④吳文俊.對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的再認(rèn)識[J].百科知識,1980（7,8）.如果認(rèn)為劉徽所討論的無理數(shù)僅局限于代數(shù)無理數(shù)而沒有涉及超越無理數(shù)的話,那么《大成算經(jīng)》（關(guān)孝和、建部賢弘、建部賢明共著,1711）在對數(shù)進(jìn)行分類時,明確把無窮數(shù)分為畸數(shù)與零數(shù),前者是遇乘除后得整的數(shù),即通過乘除（包括乘方與開方,和算與中算都把乘方視作乘法,把開方視作除法）得到整數(shù)的數(shù),實際就是無限循環(huán)小數(shù)與代數(shù)無理數(shù)；后者遇乘除后不得整的數(shù),即通過代數(shù)運算得不到整數(shù)的數(shù),也就超越無理數(shù),如圓周率π。建部賢弘對實數(shù)系的認(rèn)識比劉徽更進(jìn)一步⑤徐澤林.建部賢弘的數(shù)學(xué)認(rèn)識論——論《大成算經(jīng)》中的“三要”[J].自然科學(xué)史研究,2002,21（3）：232243.。

和算圓理成就讓我們看到了中算如何走向微積分的自然、合理、通暢的路線圖。

圖3 和算圓理方法的源流圖

（三）和算的“術(shù)”與東亞傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的程序化與構(gòu)造性

整體而言,古代東方文明都擅長計算,主要由于兩個先天性因素：一是重視解決現(xiàn)實問題的農(nóng)耕文化,二是采用先進(jìn)的10進(jìn)的位值制記數(shù)法。和算不僅保持了中算的機(jī)械化、構(gòu)造性傳統(tǒng),而且在江戶時代藝道文化環(huán)境的助力下,把擅長鉆研技術(shù)的民族特性在算學(xué)中充分發(fā)揮出來,使中算的算法精神在和算中表現(xiàn)得十分突出。如果簡單地概括17—19世紀(jì)的中算、東算、和算的特點的話,可以說中算偏重解釋（中算釋西算）、東算偏重守護(hù)（守護(hù)傳統(tǒng)）、和算偏重技術(shù)（磨礪技藝）。中算的算法在和算中都獲得了發(fā)展,程序性較強(qiáng)的有關(guān)孝和的累裁招差法（求插值多項式系數(shù)的程序化算法）、關(guān)孝和的混沌招差法（Newton插值法）、關(guān)孝和的零約術(shù)（和內(nèi)插方式的有理逼近法）、建部賢明的零約術(shù)（連分?jǐn)?shù)展開方式的有理逼近法）、關(guān)孝和的窮商術(shù)（求代數(shù)方程實數(shù)根的Newton疊代法）、久留島義太的平方零約術(shù)（二次無理數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開方式的有理逼近法）、久留島義太的執(zhí)中法（Newton二分法）、建部賢弘的累遍增約術(shù)（Richardson外推法）。茲以累遍增約術(shù)為例說明其算法成就。

建部賢弘發(fā)明的累遍增約術(shù)主要解決圓理計算中的加速逼近算法。他首先采用割圓術(shù)求出圓內(nèi)接正2n多邊形周長冪p2n=T（0）n（n=1,2,3……k）,表示π2的初始近似值序列,由截周冪序列：{T（0）i}（i=1,2,3……n）,逐次做第m遍增約：

建部賢弘求到第八遍約周冪（m=8,即i=1,2,3,……,9）得到

其本質(zhì)是Richardson外推法,也即數(shù)值積分中的Romberg算法⑥徐澤林.建部賢弘的累遍增約術(shù)與Romberg算法[J].自然科學(xué)史研究,1998,17（3）：240-249.。

和算中絕大多數(shù)算法的程序都十分精致,循環(huán)、迭代十分普遍。

構(gòu)造性數(shù)學(xué)的宗旨是構(gòu)造解決具體問題的算法,忽視對解的存在性和算法的科學(xué)依據(jù)的探討。所以,和算中也有一些算法存在缺陷,如幕末的極形術(shù)。這種幾何變換方法首先規(guī)定適用的類型：圖形具有對稱性；其次規(guī)定出若干個一次多項式乘積的系數(shù)與二項式展開的系數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系；最后,把一般圖形轉(zhuǎn)換為極形（原形的極限圖形、極端圖形）,尋找解題的途徑。如著名的“胯腰問題”用極形術(shù)求解如下：

如圖4,已知等腰梯形內(nèi)切橢圓,四角的隙縫各內(nèi)切一個圓,直徑分別是a、b、c和d,已知其中的三個圓直徑,求第四個圓直徑。

圖4 胯腰問題的原形

圖5 胯腰問題的極形

在此問題中,橢圓長徑與短徑為交商,在梯形對角線上的兩內(nèi)切圓直徑a與c為交商,b與d為交商,于是a與c的極數(shù)為x1,b與d的極數(shù)為x2,由此得到極形（圖5）。

于是,得到ac=bd。

其實,上述以特殊代替一般的變換方法是錯誤的,1902年林鶴一驗證了胯腰問題的結(jié)論錯誤,并介紹了印度數(shù)學(xué)家Jamshedji Edalji對其證偽的方法。

四、結(jié) 語

和算的代數(shù)分析法、消元法、代數(shù)化幾何、無窮小方法等與西方近代數(shù)學(xué)旗鼓相當(dāng),無論是問題背景,還是方法創(chuàng)造的基礎(chǔ)都來源于中算。其成就表明,東亞傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在代數(shù)學(xué)、微積分學(xué)的形成上,并不遜色于西方數(shù)學(xué),這有力地旁證了吳文俊對“中國式”數(shù)學(xué)的評價。至于近代數(shù)學(xué)誕生于文藝復(fù)興后的歐洲,還主要是由于特定的社會因素的作用。剛剛興起的機(jī)械論哲學(xué)和主張世界數(shù)學(xué)化的潮流都要求建立具有普遍性的通用方法,也是推動近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生的重要因素。

吳文俊的中算史觀與“李約瑟難題”一樣,都是對中國傳統(tǒng)科學(xué)的肯定,對西方中心論的否定。但兩者有很大的不同,簡單地說,前者是“構(gòu)造性”的,可以求解,后者不可求解。中算與西方古代數(shù)學(xué)可謂等量齊觀,而且數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)性知識在不同文明間的差異要小于其他知識間的差距,中國古代自然科學(xué)知識相較于西方為弱,更多的是技術(shù)知識,要回答“李約瑟難題”必須先辯證“中國科學(xué)”的問題。其次,吳文俊中算史觀的建立有科學(xué)依據(jù),他不僅對西方數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)進(jìn)行了歷史批判,對近代數(shù)學(xué)和中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)進(jìn)行了歷史分析與數(shù)理分析,而且將他的中算史觀成功實踐于他的數(shù)學(xué)機(jī)械化研究之中。最后,吳文俊倡導(dǎo)“絲綢之路”天文數(shù)學(xué)交流史研究,以科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度鼓勵學(xué)術(shù)界對其數(shù)學(xué)史觀進(jìn)行歷史實證,這是一條可行的歷史研究途徑?？傊?兩者都會繼續(xù)啟發(fā)對中國古代科學(xué)文化的研究,而吳文俊的觀點更具有指導(dǎo)實踐的意義。