周素霞，盧術(shù)娟，趙興晗，王宇桐，郭子豪

(1.北京建筑大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，北京 100044； 2.北京建筑大學(xué)城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點實驗室，北京 100044)

隨著高速列車的快速發(fā)展，列車運(yùn)行速度大幅提高，增加了車軸遭受異物高速沖擊的概率，沖擊位置是否會萌生裂紋成為備受關(guān)注的問題。當(dāng)前關(guān)于車軸表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的研究多數(shù)是對實心軸展開的，然而目前高速列車上，空心軸的使用越來越廣泛，采用空心軸是實現(xiàn)列車輕量化的重要舉措，可以大幅度地提高列車運(yùn)行安全，所以空心軸裂紋擴(kuò)展的問題成為研究的重點之一，其表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析具有重要意義。

國內(nèi)外學(xué)者對車軸疲勞問題進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[1]提出一個基于Lemaitre和Chaboche開發(fā)的非線性連續(xù)損傷力學(xué)模型?？紤]不同載荷水平下的材料損傷演變，通過與實驗對比，表明其結(jié)果在復(fù)雜載荷序列下預(yù)測疲勞壽命時與實驗結(jié)果具有良好的一致性。文獻(xiàn)[2]對裂紋擴(kuò)展問題進(jìn)行了研究，其研究方法基于歐洲缺陷評估程序SINTAP，應(yīng)用NASGRO軟件。文獻(xiàn)[3]研究車軸輪座處的應(yīng)力與壽命關(guān)系，通過車軸疲勞試驗以及統(tǒng)計相關(guān)的車軸裂紋檢查資料，最終結(jié)果表明其萌生壽命分布近似于正太分布。文獻(xiàn)[4-5]基于疲勞損傷理論，研究了車軸的額定壽命，并提供了一種用于車輛壽命設(shè)計的計算方法。文獻(xiàn)[6]運(yùn)用斷裂力學(xué)的思想及理論對車軸的缺陷演變及其服役性能進(jìn)行研究評估，考慮裂紋深度的問題，得到不同狀態(tài)下的應(yīng)力強(qiáng)度因子曲線，結(jié)果表明車軸在一圈的旋轉(zhuǎn)過程中其裂紋的應(yīng)力比在逐漸減小。

高速列車運(yùn)行中其車軸可能受到硬物的高速沖擊造成缺口，由于缺口所造成的應(yīng)力集中會在車軸表面萌生疲勞裂紋，如果沒有及時發(fā)現(xiàn)而繼續(xù)使用，車軸會受到擾動載荷的作用，表面裂紋不斷擴(kuò)展，直至發(fā)生斷裂，危及列車運(yùn)行安全。因此，為了解決含裂紋的空心軸是否能夠繼續(xù)使用的問題，有必要對其擴(kuò)展壽命進(jìn)行預(yù)估。應(yīng)力強(qiáng)度因子可以用來判斷裂紋是否會發(fā)生

及其擴(kuò)展規(guī)律，在進(jìn)行車軸斷裂分析時，其可以作為重要指標(biāo)。關(guān)于其求解方法的研究也一直是研究的重點。光彈法、線彈性方法、有限元法、工程估算法、虛擬裂紋擴(kuò)展方法、邊界元法等[7-8]可以用來求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，在過去的研究中已經(jīng)得到了很多典型解。由于空心軸的應(yīng)用比實心軸的應(yīng)用時間更晚，關(guān)于其性能的研究比較少，并且由于空心軸與實心軸相比結(jié)構(gòu)有所不同，裂紋情況也更加復(fù)雜，不能直接使用實心圓柱體的解。所以對空心軸進(jìn)行裂紋研究，確定其應(yīng)力強(qiáng)度因子的解既是重點問題也是難點問題。本文采用一種新的解析方法研究空心軸的解，該方法基于實心圓柱體的解，通過修正系數(shù)進(jìn)行修正。

1 應(yīng)力強(qiáng)度因子求解

圖1為三維裂紋模型。圖1中，x為裂紋表面的正前方；y為裂紋表面的法線方向；z為裂紋表面上點的切線方向。

圖1 三維裂紋模型

選取一個位置在極坐標(biāo)(r，θ)靠近裂尖的單元，根據(jù)線彈性力學(xué)理論，其應(yīng)力場可以表示為

( 1 )

該單元位移場可以表示為

( 2 )

式中：r，θ與u，v，w分別為該單元在圖1中所示的局部坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系上不同方向的分量；u，v，w分別為x，y，z上的位移分量；k是與材料和泊松比有關(guān)的常數(shù)，對于平面應(yīng)變問題k=3-4μ，σz=μ(σx+σy)，對于平面應(yīng)力問題k=(3-μ)/(1+μ)，σz=0；G為剪切彈性模量；KⅠ為Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子；KⅡ為Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子；KⅢ為Ⅲ型應(yīng)力強(qiáng)度因子。

由式( 1 )及裂紋上的點垂直于平面的位移，可以整理出其裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子公式為

( 3 )

Ⅰ型是在車軸受到彎曲載荷作用時裂紋擴(kuò)展的主要方式，所以在本文中主要研究的是Ⅰ型表面裂紋。由于平面應(yīng)力狀態(tài)只有一個很小的區(qū)域存在，而這個區(qū)域緊靠在自由表面上，所研究的范圍大部分為平面應(yīng)變狀態(tài)，因此，KⅠ與裂紋面的位移在平面應(yīng)變狀態(tài)有如下關(guān)系

( 4 )

根據(jù)以上結(jié)果可以得出，裂尖的應(yīng)力(r=0時)趨于無限大，應(yīng)力奇異點會在裂尖出現(xiàn)；裂尖的應(yīng)力強(qiáng)度因子是有限的。所以裂尖附近的位移場和應(yīng)力場奇異性強(qiáng)度的表征可以使用應(yīng)力強(qiáng)度因子，應(yīng)力強(qiáng)度因子的值由兩種因素決定，一種是加載在裂紋體上的載荷，另一種是其幾何形狀。對應(yīng)的應(yīng)力分量可以用應(yīng)力強(qiáng)度因子來表示并能夠?qū)α鸭y擴(kuò)展情況進(jìn)行判斷。

2 空心軸表面裂紋模型

2.1 圓柱體半橢圓表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子解析模型

對于應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解有很多種方法，但這些方法并不能表達(dá)空心軸表面各要素之間的關(guān)系，因此本文采用解析法進(jìn)行計算，得到解決問題的表達(dá)式。已有的圓柱形表面裂紋解析表達(dá)式[9-11]有以下幾種。

關(guān)于直裂紋前緣的研究，Daoud and Cartwright提出了在彎曲載荷作用下K的表達(dá)式(無量綱)為

16.86(a/D)2-32.59(a/D)3+28.41(a/D)4

( 5 )

James and Mills提出了軸向載荷作用下K的表達(dá)式(無量綱)為

26.42(a/D)2-78.48(a/D)3+87.9(a/D)4

( 6 )

關(guān)于圓形裂紋，F(xiàn)orman等提出在拉彎載荷作用下K的表達(dá)式為

[0.923+0.199(1-sin(πa/2D))4]

( 7 )

[0.752+2.02(a/D)+0.37(1-sin(πa/2D))3]

( 8 )

( 9 )

Ⅰ型擴(kuò)展是車軸在彎矩下其表面裂紋的主要擴(kuò)展形式。此時θ=0，通過近似分析可以求其應(yīng)力強(qiáng)度因子[12]。即在此處，假設(shè)名義應(yīng)力在彎曲載荷與拉伸載荷作用下是相同的[7-8]，則有

(10)

當(dāng)截面無裂紋時σ0=32M/(πd3)，σ0=6M/(td2)。

因此可得

(11)

0.949(a/b)3-0.28(a/b)4]×[1+

0.157(2a/d)-0.634(2a/d)2+

4.59(2a/d)3-6.628(2a/d)4]

(12)

1.628(a/d)3-7.035(a/d)4+13.27(a/d)5

(13)

21.72(a/d)3+30.39(a/d)4

(14)

式中：a為裂紋深度；b為半橢圓裂紋長半軸；d為圓柱直徑或長條板的寬度。所以圓柱體表面裂紋最深點處的K值可以根據(jù)情況，將裂紋的實際形狀比、裂紋尺寸的實際深度比以及實際情況下的名義應(yīng)力代入以上相關(guān)的公式中進(jìn)行求解。

2.2 空心軸半橢圓表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析模型

空心軸在結(jié)構(gòu)上與圓柱體有較大差異，其應(yīng)力強(qiáng)度因子解析式與上文中討論的圓柱體的解析式有所不同。由于在空心軸中存在內(nèi)表面，與實心圓柱體相比，會增加一個自由表面，所以在裂紋擴(kuò)展到一定深度后其尖端的彈性約束會減少，裂紋更容易發(fā)生擴(kuò)展，K值變大，所以實心圓柱體解析模型并不完全適用于空心軸?？招妮S表面裂紋的K值，需通過對圓柱體的公式進(jìn)行修正得出。可以將其乘以一個修正系數(shù)來實現(xiàn)。中心穿透裂紋彈性解的厚度校正系數(shù)[16]為

(15)

式中：t為軸的壁厚；a為裂紋深度。裂紋深度與壁厚的比值不同時，校正系數(shù)是不同的，即

這是因為在裂紋深度不同時，其受到車軸內(nèi)孔的影響也不同。在裂紋的截面處有

式中：d，d0分別為車軸的內(nèi)外直徑；M為彎矩。由此可以得出在θ=0°時，空心軸表面裂紋最深點處K的解析模型為

(16)

3 空心軸半橢圓表面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子解析模型驗證

目前，不同學(xué)者使用多種方法研究了管道表面的周向裂紋[17-19]，其中CARPINTERI[20]對管道外表面裂紋進(jìn)行有限元分析以確定應(yīng)力強(qiáng)度因子在裂紋前緣的分布，并考慮了不同管道厚度下應(yīng)力強(qiáng)度因子的變化情況，但CARPINTERI只對t=d/2即壁厚與內(nèi)孔半徑相等這一種情況進(jìn)行了有限元研究。為了驗證本文的解析模型，同樣僅對t=d/2情況下的模型進(jìn)行對比。

將不同的a/t和a/b值代入式(16)，計算其對應(yīng)的K值(無量綱)，所計算的范圍是：裂紋形狀比a/b=0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0時，a/t分別為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5。將計算出的解析解(無量綱)與有限元結(jié)果進(jìn)行對比，如圖2所示。

(a)a/b=0

(b)a/b=0.2

(c)a/b=0.4

(d)a/b=0.6

(e)a/b=0.8

(f)a/b=1

圖2 解析法與有限元法應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果對比

通過圖2可以看出，在不同的情況下，解析計算得到的K值與有限元方法得到的值具有良好的一致性。尤其對于橢圓形裂紋，兩種方法的計算結(jié)果幾乎相同。對于圓形裂紋，當(dāng)裂紋深度達(dá)到壁厚的一半時，解析方法和有限元方法的計算結(jié)果有些偏差。但是在實際中，表面裂紋不會完全是圓形，而是橢圓形，圓形裂紋只是作為特例在這里進(jìn)行了計算。對于空心軸表面橢圓形裂紋來說，該解析式有比較高的精確度。

4 結(jié)論

本文從線彈性力學(xué)的角度出發(fā)，分析了裂紋尖端的應(yīng)變場，分析了應(yīng)力在空心軸表面裂紋前緣的變化情況，闡述了應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解方法。在解析過程中參考了實心圓柱體的表面裂紋K的解析式?？招妮S和實心軸相比，由于內(nèi)表面的存在，多一個自由表面，所以裂紋的擴(kuò)展規(guī)律與實心軸也有所不同。在空心軸上，裂紋擴(kuò)展到一定深度時，裂紋尖端與內(nèi)表面的距離減小，所受到的彈性約束隨之減少，所以裂紋擴(kuò)展的進(jìn)一步發(fā)生就變得更容易，因此其K值要大于實心圓柱體的K值。通過以上分析，對公式進(jìn)行修正，得到空心軸上K的解析模型。

通過修正系數(shù)的方法對實心圓柱體解析式進(jìn)行修正。由于在裂紋比較淺的時候，空心軸內(nèi)孔的影響比較小，所以對不同深度的裂紋采取不同的修正系數(shù)。

將本文結(jié)果與CARPINTERI利用有限元法得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行比較，結(jié)果非常相近，尤其對于橢圓形裂紋，兩種方法的計算結(jié)果幾乎相同。對于圓形裂紋，當(dāng)裂紋深度達(dá)到壁厚的一半時，解析方法和有限元方法的計算結(jié)果有些偏差。但是在實際中，表面裂紋不會完全是圓形，而是橢圓形，圓形裂紋只是作為特例在這里進(jìn)行了計算。對于空心軸表面橢圓形裂紋來說，該解析式有比較高的精確度從而驗證了解析模型的正確性，為進(jìn)一步研究空心軸裂紋擴(kuò)展提供了參考。