吳 威，吳 玲，盧發(fā)興

（海軍工程大學(xué)電子工程學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

傳統(tǒng)艦炮發(fā)射彈丸初速固定，隨著新能源發(fā)射技術(shù)的快速發(fā)展，電磁軌道炮、電熱化學(xué)炮等新能源武器發(fā)射的彈丸初速可調(diào)，應(yīng)用前景廣泛［1-2］。但初速可調(diào)將影響彈丸對(duì)目標(biāo)命中概率，改變傳統(tǒng)艦炮對(duì)目標(biāo)的打擊方式。不同于傳統(tǒng)艦炮，彈丸初速可調(diào)，則對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行打擊時(shí)采用不同的彈丸初速和彈丸射角，彈丸飛行時(shí)間、彈丸落角和彈丸落速將改變，彈丸對(duì)目標(biāo)的命中概率隨之改變。因此，存在最佳彈丸初速，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的最大命中概率。

關(guān)于彈丸初速對(duì)目標(biāo)命中概率的影響，目前國(guó)內(nèi)只對(duì)艦炮初速對(duì)命中點(diǎn)預(yù)測(cè)誤差影響有所研究分析［3-4］。本文通過(guò)建立海上目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，利用Cramer-Rao下界理論推導(dǎo)得到目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素估計(jì)誤差精度，根據(jù)彈丸外彈道方程和彈丸對(duì)海上目標(biāo)的命中概率模型，分析彈丸初速對(duì)目標(biāo)命中概率的影響，為新能源武器火控解算、最佳初速射表制定提供理論依據(jù)。

1 海上目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

對(duì)于海上艦船等慢速目標(biāo)，在艦炮火控計(jì)算中，通常把通過(guò)雷達(dá)測(cè)得目標(biāo)的球坐標(biāo)值轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系兩個(gè)坐標(biāo)軸上的觀測(cè)值［5］，以便于求解目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)和解命中，對(duì)目標(biāo)實(shí)施打擊。在火控系統(tǒng)計(jì)算中，在誤差允許的范圍內(nèi)，將直角坐標(biāo)系中的相關(guān)觀測(cè)噪聲轉(zhuǎn)換為不相關(guān)高斯白噪聲，可以提高系統(tǒng)的反應(yīng)時(shí)間［6］。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，把目標(biāo)運(yùn)動(dòng)分解為單個(gè)坐標(biāo)軸上的單獨(dú)運(yùn)算，而不考慮兩個(gè)坐標(biāo)軸誤差分量之間的相關(guān)性，造成的精度誤差在10%以?xún)?nèi)［7］。這樣，可以將對(duì)一個(gè)目標(biāo)的跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)兩個(gè)坐標(biāo)軸上的2k個(gè)測(cè)量值、估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素、的問(wèn)題。

以目標(biāo)在X軸方向進(jìn)行勻速直線運(yùn)動(dòng)為例，得到其運(yùn)動(dòng)方程：

式（1）的觀測(cè)方程為

式中，

其中，N（x）為觀測(cè)噪聲，dt為數(shù)據(jù)采樣間隔。

2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素估計(jì)誤差的CRLB

為了分析對(duì)海射擊誤差，需要根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型確定目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素估計(jì)誤差的精度下限，即CRLB（Cramer-Rao Lower Bound）［8］。

設(shè)到k時(shí)刻止，獲得的測(cè)量集為X={Xi|i=1，2，…，k}，則它對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素H（x）估計(jì)的似然函數(shù)為

因此，

對(duì)于測(cè)量集X的H（x）的似然函數(shù)為

所以

可以得到對(duì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素H（x）估計(jì)誤差的Cramer-Rao下界。設(shè)濾波時(shí)間為T(mén)，預(yù)測(cè)時(shí)間參數(shù)為η，預(yù)測(cè)時(shí)間為ηT，則預(yù)測(cè)目標(biāo)在T+η·T時(shí)刻的X軸位置誤差的Cramer-Rao下界為

把式（2）和式（3）代入式（7）可得

由式（10）可得

代入式（8）可得預(yù)測(cè)目標(biāo)為勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在T+η·T時(shí)刻的X軸預(yù)測(cè)位置誤差：

同理，可以預(yù)測(cè)目標(biāo)為勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在T+η·T時(shí)刻的Y軸預(yù)測(cè)位置誤差：

3 彈丸外彈道模型

為了分析初速對(duì)命中概率的影響，還需要獲得彈丸落角、落速和彈丸飛行時(shí)間，為此建立彈丸外彈道模型［9］。采用直角坐標(biāo)系OXYZ，O在發(fā)射點(diǎn)，軸線OX位于水平面上，方向?yàn)閺椡枰苿?dòng)方向；軸線OY垂直于軸線OX，方向?yàn)榇怪毕蛏?；軸線OZ垂直于軸線OX和OY，建立右坐標(biāo)系。考慮彈丸旋轉(zhuǎn)、科里奧利力、重力加速度以及偏流的影響，可以得到彈丸運(yùn)動(dòng)微分方程組為：

其中，（x，y，z）為彈丸矢徑，（u，w，q）為彈丸速度矢量，ωξ為彈丸縱軸方向的角速度，為空氣阻力加速度，ψ為偏流角，θ為彈丸傾角，V為彈丸速度，H（y）為空氣密度函數(shù)，K（Γ）為極阻尼力矩函數(shù)，轉(zhuǎn)動(dòng)系數(shù)b為常數(shù)，εx，εy，εz為各個(gè)方向的修正加速度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，（x，y，z）為彈丸矢徑，（u，w，q）為彈丸速度矢量，gT（φ，y）為彈丸高度為時(shí)的重力加速度，f（t）為偏流系數(shù)，R（y）為曲率半徑，Ωx，Ωy，Ωz為地球自轉(zhuǎn)角速度 Ω 在 x，y，z軸上的分量，Ω=7.292 1·10-5rad/s。

4 彈丸對(duì)海上目標(biāo)命中概率模型

4.1 海上目標(biāo)命中面積

海上目標(biāo)命中面積是彈丸可擊中的目標(biāo)面積，一般可根據(jù)等面積替代原則，用規(guī)則形狀的目標(biāo)面積近似代替艦艇命中面積［10］。以水面艦艇為例，設(shè)目標(biāo)艦艇甲板面等效矩形長(zhǎng)為L(zhǎng)f，寬為Bj，如圖1（a）中的ABCD所示，艦艇平均舷高為Hp。

圖1 艦艇命中界示意圖

考慮到目標(biāo)舷角Qm，則計(jì)算目標(biāo)命中面積時(shí)，需要把矩形ABCD沿彈丸射向方向進(jìn)行投影，如圖1（a）所示。同樣根據(jù)面積等效原則，得到投影后的矩形 A'B'C'D'邊長(zhǎng) C'D'=Lz，B'C'=B'j，有

再考慮艦艇舷高Hp沿彈丸落速方向的投影，則艦艇水平投影面積變?yōu)锳2=Lz·Lx，如圖1（b）所示，則

其中，θc為彈丸落角，即彈丸擊中目標(biāo)時(shí)，彈丸速度方向與水平面的夾角。式（18）將命中面積均投影在水平面內(nèi)，一般情況下可簡(jiǎn)化Lx的計(jì)算，但當(dāng)彈丸落角 θc極小時(shí)，利用式（18）計(jì)算 Lx將無(wú)限大，與實(shí)際不符。因此，將艦艇命中面積投影在彈丸落速的垂直面上，記為Aj，即圖1（b）中陰影矩形MNPQ面積：

4.2 艦炮對(duì)海射擊誤差

艦炮武器系統(tǒng)對(duì)海射擊誤差包含隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。隨機(jī)誤差主要考慮艦炮射彈散布誤差和隨動(dòng)系統(tǒng)誤差的合成［10］，一般情況下，隨機(jī)誤差可通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算：

其中，kEx和kEz分別為距離和方向誤差系數(shù)，d為射擊距離。

艦炮對(duì)海射擊的系統(tǒng)誤差一般可認(rèn)為主要由火控系統(tǒng)誤差中的目標(biāo)定位誤差決定，因此，系統(tǒng)誤差mx、mz可取為目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素估計(jì)誤差的精度下限CRLB與一定系數(shù)的乘積，由式（12）、式（13）可知：，其中，kmx、kmz為系統(tǒng)誤差系數(shù)，kmx>1，kmz>1，ρ=0.476 9 為正態(tài)常數(shù)。

4.3 命中概率模型

假設(shè)以目標(biāo)中心為瞄準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)目標(biāo)命中界為L(zhǎng)x'×Lz?？紤]對(duì)海上目標(biāo)射擊時(shí)，目標(biāo)在x軸和z軸上的隨機(jī)誤差分量相互獨(dú)立，則發(fā)射一發(fā)彈丸對(duì)此矩形目標(biāo)的命中概率 P（x，z）為：

其中，φ（x）、φ（z）分別為彈著散布誤差在 x、z軸上的正態(tài)分布密度函數(shù)，即：

類(lèi)似可得 φ（z）。

5 算例分析

5.1 海上目標(biāo)命中概率計(jì)算框架

圖2 海上目標(biāo)命中概率求解流程圖

1）如圖2所示，首先建立海上目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型，根據(jù)彈丸飛行時(shí)間（預(yù)測(cè)時(shí)間）以及濾波時(shí)間，求解目標(biāo)定位誤差精度下限 CRLB，并由式（12）、式（13）得到射擊系統(tǒng)誤差 mx，mz；

2）根據(jù)射擊距離，由式（21）得到射擊的隨機(jī)誤差 Ex，Ez；

3）根據(jù)彈丸外彈道模型計(jì)算彈丸落角，并由式（16）、式（20）計(jì)算海上目標(biāo)命中界 Lx'，Lz；

4）由海上目標(biāo)命中概率模型式（22），可得命中概率。

5.2 算例分析

對(duì)于初速可控的艦炮，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行打擊時(shí)，可根據(jù)目標(biāo)的遠(yuǎn)近，選擇不同的彈丸初速以及彈丸射角。首先分析射擊誤差對(duì)命中概率的影響，然后分析不同初速情況下目標(biāo)距離和彈丸射角對(duì)命中概率的影響；最后重點(diǎn)分析打擊視距內(nèi)目標(biāo)時(shí)，彈丸初速與命中概率的之間的關(guān)系。

假設(shè)某目標(biāo)驅(qū)逐艦甲板面等效長(zhǎng)度Lj=124 m，寬度Bj=20.5 m，舷高Hp=10.33 m，目標(biāo)舷角Qm=π/2，航速20節(jié)，航向與我艦航向相反。由式（16）、式（20）可得 Lx'，Lz，取濾波時(shí)間 T=4 s，數(shù)據(jù)采樣間隔dt=0.01 s，σx=30 m，σz=20 m，kEx=1/300 rad，kEz=1 ×103rad，kmx=kmz=2。

5.2.1 射擊誤差對(duì)命中概率的影響

對(duì)18 km目標(biāo)進(jìn)行打擊，分析射擊隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差對(duì)目標(biāo)命中概率的影響。表1給出了系統(tǒng)誤差隨彈丸初速的變化情況，下頁(yè)圖3給出不同隨機(jī)誤差情況下彈丸初速對(duì)彈丸命中概率的影響，圖4給出了不同系統(tǒng)誤差情況下彈丸初速對(duì)彈丸命中概率的影響。

表1 系統(tǒng)誤差隨彈丸初速變化情況表

圖3 不同隨機(jī)誤差情況下彈丸命中概率隨彈丸初速變化圖

圖4 不同系統(tǒng)誤差情況下彈丸命中概率隨彈丸初速變化圖

由表1及圖3、圖4可知：當(dāng)艦炮射擊隨機(jī)誤差遠(yuǎn)大于系統(tǒng)誤差時(shí)，命中概率隨艦炮初速的增加而減?。划?dāng)隨機(jī)誤差遠(yuǎn)小于系統(tǒng)誤差時(shí)，命中概率隨初速增加而增大；當(dāng)兩種誤差取值相當(dāng)時(shí)，命中概率隨初速增加先增加后減小。上述結(jié)果的出現(xiàn)是由于初速增大，彈丸飛行時(shí)間減少，射擊系統(tǒng)誤差減小，將使命中概率有增大的趨勢(shì)；而同時(shí)初速增大時(shí)，落角減小，造成目標(biāo)命中界變小，又使命中概率有減小的趨勢(shì)。當(dāng)兩類(lèi)射擊誤差取值比重不同時(shí)，系統(tǒng)誤差和命中界變化對(duì)命中概率的影響比重也不同。

因此，在進(jìn)行初速可控艦炮武器系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，要充分考慮其對(duì)艦炮隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差的精度匹配，以達(dá)到對(duì)目標(biāo)最大的命中概率。后續(xù)計(jì)算均針對(duì)射擊的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差取值相當(dāng)?shù)那闆r，分析初速對(duì)命中概率的影響，即隨機(jī)誤差系數(shù)取值為kEx=1/300 rad，kEz=1×103rad，系統(tǒng)誤差系數(shù)取值為kmx=kmz=2。

5.2.2 目標(biāo)距離對(duì)命中概率的影響

分別以 1 500 m/s、2 000 m/s、2 500 m/s 彈丸初速對(duì)不同距離目標(biāo)進(jìn)行打擊，圖5給出了不同彈丸初速條件下目標(biāo)距離與命中概率關(guān)系圖。

由圖5可知，在不同彈丸初速條件下，彈丸對(duì)目標(biāo)的命中概率均隨著目標(biāo)距離的增加而降低，當(dāng)目標(biāo)距離超過(guò)視距界限時(shí)，彈丸對(duì)目標(biāo)的命中概率漸趨平穩(wěn)，且均處于較低值?？梢?jiàn)，對(duì)超視距遠(yuǎn)目標(biāo)進(jìn)行打擊，在傳統(tǒng)彈丸不能獲得較好效果時(shí)，應(yīng)采用新型信息化制導(dǎo)彈丸，以提高彈丸射程和命中概率，此時(shí)命中概率主要由信息化制導(dǎo)彈藥的制導(dǎo)能力決定。因此，本文重點(diǎn)研究對(duì)視距內(nèi)目標(biāo)打擊時(shí)彈丸初速和射角對(duì)命中概率的影響。

圖5 彈丸命中概率隨目標(biāo)距離變化圖

5.2.3 彈丸射角對(duì)命中概率的影響

分別以1 000 m/s、1 500 m/s彈丸初速對(duì)視距內(nèi)18 km目標(biāo)進(jìn)行打擊，每種初速均采用高低兩種射角發(fā)射，彈丸外彈道示意圖如圖6所示。計(jì)算得到的視距內(nèi)彈丸的高低彈道飛行參數(shù)和對(duì)目標(biāo)命中概率如表2所示。

圖6 彈丸外彈道示意圖

表2 彈丸飛行參數(shù)及命中概率

由圖6和表2可以看出，對(duì)視距內(nèi)目標(biāo)實(shí)施打擊，當(dāng)彈丸初速相同，彈丸有小射角低拋彈道和大射角高拋彈道兩種射擊方式，采用小射角低拋彈道射擊時(shí)，彈丸飛行時(shí)間短，命中概率高，因此，對(duì)于視距內(nèi)目標(biāo)打擊應(yīng)采用低拋彈道，命中概率高，同時(shí)可以大大減少目標(biāo)的預(yù)警反應(yīng)時(shí)間，提高命中效果。

5.2.4 視距內(nèi)彈丸初速對(duì)命中概率的影響

對(duì)這一部分進(jìn)行重點(diǎn)分析。假設(shè)目標(biāo)艦艇距離18 km，由式（12）～ 式（23），對(duì)命中概率隨彈丸初速變化情況進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表3和圖7所示。表3給出了不同初速條件下，彈丸飛行參數(shù)以及彈丸對(duì)目標(biāo)的命中概率；圖7給出了目標(biāo)命中概率隨彈丸初速、目標(biāo)距離變化情況。

表3 彈丸命中概率隨彈丸初速變化表

圖7 命中概率隨彈丸初速變化圖

由計(jì)算結(jié)果表3和圖7可知，在打擊視距內(nèi)目標(biāo)時(shí)：

1）對(duì)不同距離的目標(biāo)，隨著初速可控艦炮彈丸初速的增加，彈丸飛行時(shí)間、彈丸落角逐漸降低，彈丸落速逐漸增加，彈丸對(duì)目標(biāo)的命中概率先增加后降低。因此，存在最佳彈丸初速，使得彈丸對(duì)目標(biāo)的命中概率最大。

2）目標(biāo)距離越遠(yuǎn)，增加彈丸初速，命中概率提高越顯著，達(dá)到最大命中概率對(duì)應(yīng)的最佳彈丸初速越大；

3）使用相同初速的彈丸對(duì)不同距離的目標(biāo)進(jìn)行打擊，目標(biāo)距離越遠(yuǎn)，命中概率越低。

綜上可知，初速可控艦炮的彈丸初速對(duì)目標(biāo)命中概率有很大的影響。打擊視距內(nèi)目標(biāo)時(shí)，可將彈丸加速至最佳初速，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的最大命中概率。且由于新能源武器彈丸初速與消耗能量成正比，通過(guò)調(diào)整彈丸初速，不僅可以實(shí)現(xiàn)彈丸的最大命中概率，還可以?xún)?yōu)化每次發(fā)射彈丸的能量，提高發(fā)射率。

此外，本文選取目標(biāo)速度5 kn～50 kn，仿真分析了目標(biāo)速度差異對(duì)艦炮命中概率的影響。結(jié)果顯示，彈丸初速固定時(shí)，對(duì)不同速度的目標(biāo)實(shí)施打擊，命中概率變化不大。因此，在本文中對(duì)這一部分不展開(kāi)詳細(xì)分析。

6 結(jié)論

基于海上目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型、彈丸外彈道模型和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)要素估計(jì)誤差模型，建立了彈丸對(duì)海上目標(biāo)的命中概率模型，計(jì)算分析了彈丸初速對(duì)目標(biāo)命中概率的影響。可以得到：與傳統(tǒng)艦炮射表不同，彈丸初速可控的新能源武器應(yīng)建立外彈道最佳彈丸初速射表，這對(duì)于火控解算等實(shí)際工程應(yīng)用具有重要意義。