連德忠,謝錦山,李美蓮,游德有,吳敏麗

(龍巖學院 數(shù)學與信息工程學院，福建 龍巖 364000)

四元數(shù)代數(shù)理論中，有關(guān)四元數(shù)矩陣方程通解及其最大秩、最小秩問題，是近年來國內(nèi)外學者比較關(guān)注的熱門課題[1-4].四元數(shù)之間的乘積不可交換造成四元數(shù)體上矩陣之間的運算比復(fù)數(shù)域上矩陣之間的運算要復(fù)雜得多，例如復(fù)矩陣常見的基本性質(zhì)

本文將借助上述四元數(shù)矩陣的復(fù)表示方式，探討四元數(shù)體上常見的一類線性矩陣方程

AXAH+BHYB=C

(1)

的可解性及其埃米特(Hermite)解集中復(fù)矩陣分量的最大秩、最小秩問題，其中，四元數(shù)矩陣A，B，C已知,且C為埃米特矩陣.按慣例，用Rm×n，Cm×n，Hm×n分別代表實數(shù)域、復(fù)數(shù)域、四元數(shù)體上全體m行n列矩陣，不妨設(shè)

A=A00+A01i+A10j+A11k∈Hm×n(A00,A01,A10,A11∈Rm×n),

記

A00+A01i=A0∈Cm×n，A10+A11i=A1∈Cm×n，

那么

A=A00+A01i+A10j+A11ij=A00+A01i+(A10+A11i)j=A0+A1j(A0,A1∈Cm×n).

同理，四元數(shù)矩陣B，C，四元數(shù)變量矩陣X，Y也可以這樣表示.因此，對于每一個四元數(shù)矩陣，都可以引進一種等價的復(fù)矩陣Φ(·)表示，借助這種復(fù)表示，可將矩陣方程(1)轉(zhuǎn)換為等價的復(fù)矩陣方程，而該方程的復(fù)矩陣解又可以等價映射為矩陣方程(1)的四元數(shù)矩陣解.

本文用I代表特定階數(shù)的單位矩陣，分別用R(A)和N(A)表示四元數(shù)矩陣A的列右空間和行左空間.由文獻[1]可知，dimR(A)=dimN(A)，故將dimR(A)或dimN(A)稱為A的秩，并記為r(A).另外，本文沿用A+代表A的莫菲(Moore-Penrose)逆，本文用LA=I-A+A和RA=I-AA+分別代表由A誘導出的2個算子.

1 方程(1)埃米特解中的復(fù)矩陣分量極秩

定義1[5-6]對于實四元數(shù)體上的任意一個矩陣M=M0+M1j,(M0,M1∈Cm×n)，定義

為矩陣M的復(fù)表示矩陣.

依照定義1，不難驗證四元數(shù)矩陣的復(fù)表示矩陣具有以下性質(zhì).

引理1[5-6]對于任意矩陣M，N∈Hm×n，

(a)M=N?Φ(M)=Φ(N)；

(b)Φ(M+N)=Φ(M)+Φ(N)，Φ(MN)=Φ(M)Φ(N)，Φ(kM)=kΦ(M)，(k∈R)；

(d)r[Φ(M)]=2r(M)；

(e)Φ(MH)=[Φ(M)]H.

引理2[5-6]對于任意矩陣M∈Hm×n，

(a) [Φ(M+)]=[Φ(M)]+；

(b)Φ(RM)=RΦ(M),Φ(LM)=LΦ(M).

引理3[5-6]對于任意復(fù)矩陣Y∈C2m×2n，存在唯一一個四元數(shù)矩陣X∈Hm×n，滿足

下面介紹類似于方程(1)的復(fù)矩陣方程有解的充要條件，文獻[3]中的相關(guān)結(jié)論在復(fù)數(shù)域上自然成立.

(2)

其埃米特通解可表示為

本文還用到下列有關(guān)分塊復(fù)矩陣秩的引理.

引理5[7-8]設(shè)矩陣A∈Cm×n，B∈Cm×k，C∈Cl×n，D∈Cj×k，E∈Cl×i，那么它們滿足：

引理6[7-10]假設(shè)矩陣A=AH∈Cm×m，B∈Cm×n已知，那么

引理7[7-10]對于任意矩陣A∈Cm×n，那么由A的莫菲逆引導出的兩個算子LA=I-A+A和RA=I-AA+具有下列性質(zhì)：

(a) (LA)H=LA,(RA)H=RA;

(b)LAH=RA,RAH=LA.

下面我們考察四元數(shù)矩陣方程(1)中的埃米特通解分量矩陣的極秩.

定理1(a) 設(shè)四元數(shù)矩陣A=A0+A1j∈Hm×n，B=B0+B1j∈Hp×m，C=C0+C1j∈Hm×m均已知，那么四元數(shù)矩陣方程(1)存在埃米特解的充要條件是復(fù)矩陣方程：

(3)

存在埃米特解.

(b) 如果四元數(shù)矩陣方程(1)存在埃米特解，記

S0={X0∈Cn×n|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

S1={X1∈Cn×n|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

T0={Y0∈Cp×p|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

T1={Y1∈Cp×p|A(X0+X1j)AH+BH(Y0+Y1j)B=C}，

那么

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)引理1中的性質(zhì)(c)，可知

式中：U，V，W為具備適當行列數(shù)的任意復(fù)矩陣,且U為埃米特復(fù)矩陣；

根據(jù)引理2的性質(zhì)可知：

[Φ(A)]+=Φ(A+)， [Φ(B)]+=Φ(B+),

LΦ(A)=Φ(LA),RΦ(B)=Φ(RB),

因此，復(fù)矩陣方程(3)的通解可表示為

式中：U，V，W為具備適當行列數(shù)的任意復(fù)矩陣,且U為埃米特復(fù)矩陣.

另記

那么

利用引理1的性質(zhì)(c)，可得

而

即

因此

根據(jù)引理6，則有

將上述各分塊矩陣的秩按引理5進行化簡，其中：

根據(jù)等式

MLM=RABHLM=0，

得

AA+BHLM=BHLM，

并且

Φ(BHLM)=Φ(BH)Φ(LM)=Φ(BH)LΦ(M),

[Φ(BHLM)]H=Φ[(LM)H]Φ(B)=Φ(LM)Φ(B)=LΦ(M)Φ(B)=RΦ(MH)Φ(B)，

因此，

通過類似的計算處理，可得：

根據(jù)上述結(jié)論可證明極秩等式(4)和(5)成立.

3 復(fù)矩陣分量極秩的應(yīng)用

借助定理1，不難判斷四元數(shù)矩陣方程(1)埃米特通解是否包含復(fù)矩陣解、方程(1)的埃米特通解是否全為復(fù)矩陣解.

(13)

(b) 四元數(shù)矩陣方程(1)的埃米特通解均為復(fù)矩陣的充要條件是下列2個秩等式同時成立：

(15)

四元數(shù)矩陣方程(1)所有的埃米特解均為復(fù)矩陣的充要條件是

由定理1中的極秩等式(6)，(7)，(10)，(11)不難推導出等式(12)～(15).