梁 薇,王應(yīng)明

(福州大學(xué) 決策科學(xué)研究所,福州 350116)

引言

多屬性決策問題作為一個(gè)熱門的研究問題,各學(xué)者提出了不同的決策方法.1965年,Zadeh[1]首次提出了模糊集理論,但隨著決策情景的復(fù)雜化,模糊集理論的局限性越來越明顯.因此,許多國內(nèi)外的研究學(xué)者對(duì)模糊理論進(jìn)行拓展,提出了直覺模糊集[2]、區(qū)間模糊集[3]等,并將其廣泛的應(yīng)用于多屬性決策問題.Torra 等[4]提出了模糊集的另一種拓展形式,即猶豫模糊集,它允許集合中元素的隸屬度由多個(gè)值表示,從而能夠有效表達(dá)決策者的猶豫以及解決當(dāng)存在多個(gè)決策者時(shí)意見不一致的問題,在某種程度上避免了決策信息的流失.猶豫模糊集作為一種新的處理模糊性和不確定性的有效工具,引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.Xu等[5]提出了猶豫模糊集的相關(guān)距離測(cè)度,并將其應(yīng)用于多屬性決策問題中.Chen 等[6]基于優(yōu)先級(jí)別關(guān)系,提出了一種 HF-ELECTRE II的多屬性決策方法.Xu 等[7]利用最大偏差法確定屬性權(quán)重,提出基于TOPSIS的猶豫模糊多屬性決策方法,解決了屬性權(quán)重部分已知的決策問題.劉小弟等[8]在猶豫模糊的環(huán)境下,提出基于正負(fù)理想點(diǎn)的雙向投影測(cè)度的決策方法.Liao等[9]針對(duì)猶豫模糊語言項(xiàng)集,提出一種新的根據(jù)距離測(cè)度和相似測(cè)度的決策方法.Farhadinia等[10]對(duì)猶豫模糊集進(jìn)行擴(kuò)展,得到有序加權(quán)模糊集,在此基礎(chǔ)上提出一種新的多屬性決策方法.王新鑫等[11]提出一種基于專家對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則對(duì)猶豫模糊集進(jìn)行擴(kuò)展的多屬性決策方法,并根據(jù)得分函數(shù)進(jìn)行方案的優(yōu)劣選擇.林松等[12]基于元素個(gè)數(shù)和元素間的偏差定義了一種新的猶豫度,并提出新的符號(hào)距離測(cè)度,提出多屬性決策問題的新方法.Tang等[13]提出了新的猶豫模糊集距離測(cè)量公式,基于此提出了新的相似度公式,并應(yīng)用于能源政策評(píng)估的多屬性決策問題中.

在現(xiàn)有文獻(xiàn)分析的基礎(chǔ)上,可以看出以上的猶豫模糊多屬性決策方法大多數(shù)沒有考慮到?jīng)Q策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好,而是建立在假設(shè)決策者是完全理性的基礎(chǔ)上.在現(xiàn)實(shí)生活中,由于知識(shí)匱乏和時(shí)間壓力等因素的影響,決策者是有限理性的.此外,在傳統(tǒng)的決策方法中,用屬性間的距離作為測(cè)量尺度會(huì)使決策結(jié)果不合理,且僅僅只能反映數(shù)字曲線間的位置關(guān)系.隨著決策行為學(xué)的不斷豐富與發(fā)展,考慮決策者的不完全理性心理特征的多屬性決策方法已成為現(xiàn)在重要的一個(gè)研究方向.為克服此缺陷,王應(yīng)明等[14]針對(duì)屬性權(quán)重未知的猶豫模糊多屬性決策問題,提出前景理論和TOPSIS相結(jié)合的決策方法.但該方法需要用主觀修正系數(shù)對(duì)權(quán)重進(jìn)行修正,在一定程度上帶有較大的主觀性,且計(jì)算量較大.鑒于此,本文針對(duì)屬性值為猶豫模糊集且屬性權(quán)重完全未知的多屬性決策問題,引入粗糙集理論確定屬性權(quán)重.粗糙集理論[15]作為一種處理不確定性的數(shù)學(xué)工具,具有不需要任何所處理問題的數(shù)據(jù)集合之外先驗(yàn)信息的優(yōu)勢(shì).因此,本文提出了一種基于前景理論和粗糙集的猶豫模糊多屬性決策方法.首先根據(jù)猶豫模糊數(shù)的前景函數(shù)定義了綜合前景價(jià)值,構(gòu)造判斷矩陣;然后,利用粗糙集理論能夠在原有分類不變的條件下對(duì)冗余屬性進(jìn)行約簡并確定屬性權(quán)重;用綜合前景值代替相對(duì)貼近度,利用猶豫模糊TOPSIS方法對(duì)各個(gè)備選方案進(jìn)行排序,得到最優(yōu)方案;最后,通過一個(gè)算例來驗(yàn)證本文所提出方法的有效性和合理性,且與前人的決策方法對(duì)比分析以凸顯本文所提方法的實(shí)用性.

1 基礎(chǔ)理論

1.1 粗糙集的基本知識(shí)

定義1[16]. 設(shè)(S,C,A,f)為一個(gè)信息系統(tǒng),其中S為非空有限對(duì)象集,即;C為非空有限屬性集,即C={c1,c2,···,cm} ;A是屬性值域;f為S和C之間的關(guān)系集,f:S×C→A是信息函數(shù).

設(shè)R是A上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系,即,f(y,b))∈R,?b∈B},令,RB為對(duì)象集S中的所有等價(jià)類集合.

設(shè)B?C,則集合X關(guān)于B的下近似集和上近似集為:

由下近似集可以定義X關(guān)于B的近似質(zhì)量為:

表示應(yīng)用關(guān)系R正確分類的對(duì)象的比率.

設(shè)(S,C,A,f)為一個(gè)信息系統(tǒng),cj∈C,若RC=RC-{cj} ,則稱屬性cj在屬性集C中為冗余屬性,否則屬性cj在屬性集C中即為必要屬性.而將冗余屬性去除的過程,稱為屬性約簡.屬性集C中的冗余屬性可能不止一個(gè),所有必要屬性所構(gòu)成的集合稱為屬性集C的核,記為core(C).

1.2 猶豫模糊集的基本知識(shí)

定義2[17]. 設(shè)X是給定的一個(gè)論域,則X上的猶豫模糊集為H={〈x,hA(x)〉|x∈X},其中hA(x)?[0,1]表示x屬于集合H的所有可能隸屬度構(gòu)成;其中一個(gè)猶豫模糊數(shù)為,;而猶豫模糊數(shù)h的補(bǔ),其中l(wèi)為猶豫模糊數(shù)中的元素個(gè)數(shù).

定義3[18]. 設(shè)h1,h2∈H,且設(shè),則h1和h2間的距離定義為,其中,l為h1,h2中所含的元素個(gè)數(shù),分別表示h1和h2中第i大的元素.

1.3 前景理論的基本知識(shí)

定義4. Tversky和Kahneman[19]給出的價(jià)值函數(shù)為冪函數(shù),即

其中,Δx是方案si相對(duì)于某一參考點(diǎn)的差值,當(dāng)Δx≥0時(shí),表示收益,當(dāng) Δx＜0時(shí),表示損失;α和 β分別表示決策者對(duì)收益或損失的敏感程度,0＜α＜1,0＜β＜1,且α、β越大,決策者越傾向于冒險(xiǎn);θ是損失規(guī)避系數(shù),且 θ ＞1,表示相對(duì)于收益而言,決策者對(duì)損失更加敏感.

定義5[14]. 設(shè)兩個(gè)猶豫模糊元中所含的元素個(gè)數(shù)是相同的,若以h2作為決策參考點(diǎn),則猶豫模糊元h1的前景價(jià)值函數(shù)為:

2 前景理論下猶豫模糊TOPSIS決策方法

2.1 問題描述

本文將猶豫模糊多屬性決策問題定義為一個(gè)四元組,其中S={s1,s2,…,sn}為方案集,N={1,2,···,n};C={c1,c2,…,cm}為屬性集,M={1,2,···,m};各屬性的權(quán)重向量W=[w1,w2,···,wm]T未知,wj∈[0,1],且.決策者對(duì)各個(gè)方案的屬性進(jìn)行評(píng)估,由于受到時(shí)間壓力或?qū)Ψ桨傅牧私獬潭炔煌纫蛩?決策者進(jìn)行評(píng)估時(shí)會(huì)出現(xiàn)猶豫不決的現(xiàn)象,于是得到猶豫模糊元xij作為屬性cj的屬性值,并構(gòu)成決策矩陣.設(shè),從而構(gòu)成信息系統(tǒng)(S,C,A,f).

2.2 決策方法

隨著決策環(huán)境的日益復(fù)雜和決策專家評(píng)價(jià)方案屬性值時(shí)的猶豫不決的現(xiàn)象,確定屬性權(quán)重的難度也逐漸增加.同時(shí)在制定決策的實(shí)際過程中,決策者常常受到其主觀心理因素的影響.因此,本文在前景理論的基礎(chǔ)上,考慮決策者對(duì)損失和收益的不同偏好,提出了一種猶豫模糊環(huán)境下的決策方法.該方法根據(jù)屬性的重要性程度利用粗糙集理論確定屬性權(quán)重,再使用TOPSIS方法對(duì)所有備選方案的進(jìn)行優(yōu)劣排序.

Step 1.構(gòu)造樣本數(shù)據(jù)的猶豫模糊決策矩陣X,首先,對(duì)猶豫模糊數(shù)內(nèi)的所有元素以遞增的順序排列,將元素個(gè)數(shù)相對(duì)較少的猶豫模糊數(shù)按Xu等[20]提出的拓展規(guī)則進(jìn)行拓展,使所有猶豫模糊集都具有相同的元素個(gè)數(shù).然后為了消除不同量綱對(duì)決策結(jié)果的影響,對(duì)成本型屬性按Zhu[21]提出的方法轉(zhuǎn)化為效益型屬性,即:

Step 2.確定屬性cj的正、負(fù)理想點(diǎn).

Step 3.計(jì)算方案si在屬性cj下的屬性值xij分別到的距離,即:

Step 4.計(jì)算方案si在各屬性下的前景價(jià)值函數(shù).根據(jù)前景理論中價(jià)值函數(shù)的概念可得,當(dāng)參考點(diǎn)為正理想解時(shí),則所有方案相對(duì)于正理想解而言,都是損失的;而當(dāng)參考點(diǎn)為負(fù)理想解時(shí),則所有方案相對(duì)于負(fù)理想解而言,都是收益的,則:

Step 5.計(jì)算方案si在 屬性cj的綜合前景值.

Step 6.利用粗糙集理論進(jìn)行屬性約簡,同時(shí)確定屬性cj的權(quán)重wj.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)方法,將V中的值按大小排序,然后根據(jù)實(shí)際情況設(shè)定閾值 ω ,并構(gòu)造判斷矩陣,其中,

在信息系統(tǒng)(S,C,A,f)中,建立關(guān)于屬性集B?C的等價(jià)關(guān)系RB,使任意si∈S的關(guān)于屬性集B的等價(jià)類.所有等價(jià)類集合依舊記為.

S關(guān)于B的下近似集定義為:

由此可得,近似質(zhì)量為:

屬性約簡是在保證分類不變的前提下,將冗余屬性去除.因?yàn)閞C(S)=1,若存在l∈M,使rC-{cl}(S)=1,則表明cl是冗余屬性.屬性的核是由其他所有的非冗余屬性所構(gòu)成的集合,記作core(C).而對(duì)于任意的非冗余屬性cj∈core(C),其權(quán)重為:

此外,有:

(1)wl=0,cl∈C-core(C)

(2)wj∈[0,1],且

故可根據(jù)上式計(jì)算出各屬性的權(quán)重wj.

Step 7.由式 (10)所得出的屬性權(quán)重,計(jì)算各方案的加權(quán)綜合前景值:

“這么說，我倒是要定這批玉器了。”胖子一時(shí)激動(dòng)，脫口而出。但轉(zhuǎn)念一想，說道：“道爺，我對(duì)玉石不夠了解，分不出個(gè)好壞高低，也不知道爺這些法器是個(gè)什么價(jià)錢……”

根據(jù)Ti的大小對(duì)方案si進(jìn)行排序,Ti越大,方案si越優(yōu).

3 算例分析

3.1 問題描述

在現(xiàn)代企業(yè)活動(dòng)中.供應(yīng)商已成為一種戰(zhàn)略資源,供應(yīng)商的選擇問題在理論層面和現(xiàn)實(shí)層面都具有重大意義.某企業(yè)為其核心零件選擇合適的供應(yīng)商,相關(guān)部門經(jīng)過初步評(píng)價(jià),選出8個(gè)供應(yīng)商(方案),分別表示為{s1,s2,···,s8}.為了在這8個(gè)供應(yīng)商中做出最優(yōu)選擇,分5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)他們進(jìn)行評(píng)估,這5個(gè)指標(biāo)分別為產(chǎn)品價(jià)格、產(chǎn)品質(zhì)量、交貨周期、準(zhǔn)時(shí)交貨率和可信度,分別表示為 {c1,c2,···,c5},其中除產(chǎn)品價(jià)格為成本型屬性,其余皆為效益型屬性.相應(yīng)的屬性權(quán)重{w1,w2,···,w5}未知,且滿足.決策者對(duì)方案si按各屬性cj進(jìn)行評(píng)價(jià),其評(píng)價(jià)結(jié)果以猶豫模糊矩陣的形式如表1所示.

表1 猶豫模糊決策矩陣

3.2 計(jì)算過程

首先根據(jù)式(1)將成本型屬性轉(zhuǎn)化為效益型屬性,本文假設(shè)決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型,根據(jù)拓展規(guī)則,猶豫模糊集中元素較少的猶豫模糊數(shù)可通過重復(fù)增加最小的元素,使得決策矩陣中的猶豫模糊數(shù)都具有相同的元素個(gè)數(shù).

利用式(2)式(3)確定正、負(fù)理想點(diǎn):

分別用式(4)和式(5)計(jì)算方案si在每個(gè)屬性下的屬性值到各對(duì)應(yīng)屬性的正、負(fù)理想點(diǎn)的猶豫模糊歐幾里得距離分別記為

用式(6)和式(7)計(jì)算正、負(fù)前景值分別為:

其中,α = β=0.88,θ= 2.25[19].

因此,根據(jù)粗糙集可得:

由于rC-{c1}(S)=1,所以c1為冗余屬性,且屬性c1的屬性權(quán)重w1=0,屬性的核為core(C)={c2,c3,c4,c5},且:

由式(10)可得,

根據(jù)式(11)計(jì)算綜合加權(quán)前景值

由此可得,方案的優(yōu)劣排序結(jié)果為s6＞s5＞s8＞s1＞s2＞s3＞s7＞s4,因此最佳供應(yīng)商為s6.

3.3 比較分析

為了驗(yàn)證本文方法的有效性,將與文獻(xiàn)[14]及文獻(xiàn)[22]所提出的猶豫模糊多屬性決策方法進(jìn)行對(duì)比.文獻(xiàn)[14]在決策過程中考慮決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好,利用猶豫模糊熵確定屬性權(quán)重,基于TOPSIS方法對(duì)方案進(jìn)行排序.文獻(xiàn)[22]在不考慮決策者的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好的情況下,利用最大偏差法確定屬性權(quán)重,然后通過貼近度對(duì)備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序.

(1)文獻(xiàn)[14]利用猶豫模糊熵確定屬性權(quán)重,計(jì)算本文算例,求得屬性權(quán)重為W=(0.1970,0.1955,0.1910,0.2095,0.2071).然后通過計(jì)算方案的收益損失比值Ci對(duì)各備選方案進(jìn)行排序,結(jié)果如下所示:

根據(jù)Ci值大小對(duì)方案進(jìn)行排序,可得:s6＞s5＞s2＞s1＞s8＞s3＞s7＞s4.此方法得到的最優(yōu)結(jié)果也是s6,但在具體的排序上略有差別.其原因主要在于文獻(xiàn)[14]所提出的決策方法中要根據(jù)決策者對(duì)指標(biāo)集的不同偏好確定主觀的權(quán)重修正系數(shù),對(duì)熵權(quán)進(jìn)一步的修正,所求權(quán)重在一定程度上具有主觀色彩,于是會(huì)對(duì)決策的排序結(jié)果產(chǎn)生影響.而本文基于粗糙集確定屬性權(quán)重,根據(jù)屬性的重要程度對(duì)冗余屬性進(jìn)行剔除且不改變?cè)械姆诸惽闆r,降低決策者對(duì)屬性信息的主觀隨意性,其計(jì)算過程相對(duì)客觀.此外,與文獻(xiàn)[14]所提出的決策方法相比,本文方法計(jì)算過程更加簡潔明了,計(jì)算量相對(duì)小,決策結(jié)果更加符合實(shí)際情況.

(2)文獻(xiàn)[22]首先利用最大偏差法確定屬性的權(quán)重W=(0.1774,0.2038,0.1963,0.2414,0.1469),再分別計(jì)算方案si到正、負(fù)理想解的距離,同時(shí)通過距離可以得到各備選方案的相對(duì)貼近度CI(si):

根據(jù)相對(duì)貼近度的大小對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)劣排序,得到如下結(jié)果:s6＞s5＞s1＞s2＞s3＞s8＞s7＞s4.由上可以看出兩種決策方法的排序結(jié)果不全一致,原因是文獻(xiàn)[22]是以各屬性值間的偏差程度來確定屬性權(quán)重,而本文是根據(jù)屬性的重要度來進(jìn)行分析計(jì)算,屬性的重要性越大則該屬性占有的權(quán)重越大,利用屬性約簡剔除冗余屬性,使決策過程更加具有說服力.此外,文獻(xiàn)[22]僅僅只基于各個(gè)備選方案到正、負(fù)理想點(diǎn)的貼近度來對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)劣排序,沒有考慮到?jīng)Q策者對(duì)損失、收益偏好的不同.本文在決策過程中對(duì)決策者面臨收益和損失時(shí)心理特征的不同進(jìn)行了充分的考慮,更加全面,更加符合實(shí)際情況.但兩種方法的最優(yōu)選擇和最差選擇是一致的,分別為s6和s4,表明本文的方法可以有效解決權(quán)重完全未知的猶豫模糊多屬性決策問題.

4 結(jié)論

本文針對(duì)多屬性決策問題中,屬性權(quán)重完全未知的情況,提出一種基于前景理論和粗糙集相結(jié)合的決策方法,能夠在原有分類不變的情況下剔除冗余屬性,并確定非冗余屬性的權(quán)重.進(jìn)一步使用TOPSIS方法對(duì)備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序.該方法既考慮了各方案屬性值到正、負(fù)理想解的客觀距離,又考慮了決策者主觀的風(fēng)險(xiǎn)偏好,使決策結(jié)果更加符合決策者的心理預(yù)期,解決了只用客觀衡量尺度作為比較標(biāo)準(zhǔn)的不合理之處,從而使決策結(jié)果更加實(shí)際,更加具有參考價(jià)值.該方法概念清晰、計(jì)算簡便,并可以運(yùn)用于實(shí)際多屬性決策問題中,如供應(yīng)商、投資對(duì)象的選擇等決策問題,具有一定的應(yīng)用價(jià)值.