福建省閩清教師進(jìn)修學(xué)校 (350800) 黃如炎

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合題大多作為高考?jí)狠S題，主要考查理性思維和創(chuàng)新意識(shí).對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合題學(xué)生思路迷茫，一籌莫展，在考試中幾乎是空白題.高考命題組給出的標(biāo)準(zhǔn)解答具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、精練、規(guī)范的特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性思維，很有數(shù)學(xué)味，但由于沒(méi)有給出解題的思維過(guò)程(連圖形都沒(méi)有)，使人很難領(lǐng)悟標(biāo)準(zhǔn)解答，對(duì)直接給出的某些結(jié)論，學(xué)生感到莫名其妙，如墜煙海，不利于學(xué)生思維的培養(yǎng)和素養(yǎng)的發(fā)展．

“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的”[1]，因此數(shù)學(xué)解題應(yīng)是清晰明理的！本文對(duì)2018年高考幾道典型的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題，探析不同于命題組標(biāo)準(zhǔn)解答的自然、明快的解法，從中感悟解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的基本通徑和主要對(duì)策．

1 試題探析

題1 (2018年高考全國(guó)Ⅲ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x．(1)若a=0，證明：當(dāng)-10時(shí)，f(x)>0；(2)若x=0為f(x)的極大值點(diǎn)，求a．

第(1)步略，第(2)步探析如下．

探析:f′(x)=(1+2ax)ln(1+x)+

圖1

第(Ⅰ)步略，第(Ⅱ)步解析如下．

標(biāo)解評(píng)析:命題組的標(biāo)解是通過(guò)研究函數(shù)u′(x)的零點(diǎn)、單調(diào)性和符號(hào)，找到函數(shù)u(x)最大值u(x0)，再證u(x0)≥0，還用到第(Ⅰ)步的結(jié)論．本解法不用探求u(x)最大值，無(wú)需前問(wèn)鋪墊，通過(guò)特殊點(diǎn)的精準(zhǔn)驗(yàn)證和函數(shù)式的靈活放縮，達(dá)到優(yōu)化解題思維，提高解題品質(zhì)．

題4 (2018年高考全國(guó)Ⅱ卷理科第21題) 已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(1)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a．

第(1)略，第(2)步解析如下．

圖2

標(biāo)解評(píng)析:命題組的標(biāo)解是根據(jù)f(x)=ex-ax2=e2(1-ax2e-x)，把f(x)在(0，+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為h(x)=1-ax2e-x在(0，+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)．在尋找h(x)零點(diǎn)存在區(qū)間時(shí)，利用不等式ex>x2進(jìn)行放縮，較難想到．

第(1)步略，第(2)步探析如下.

2.解題思考

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)指出：“直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)”[2].函數(shù)圖像刻畫(huà)了函數(shù)的性質(zhì)，圖像為抽象的推理增添了形象支持，在茫然的思路中，圖像指引著推理的方向．因此研究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題要順應(yīng)學(xué)生從形象思維到抽象思維的認(rèn)知過(guò)程，通過(guò)直觀想象，把對(duì)“形”的感知轉(zhuǎn)化為對(duì)“數(shù)”的表達(dá)．求解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題的基本通徑為：

(1)求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間．

(2)作圖，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)(如定義域區(qū)間端點(diǎn)、坐標(biāo)軸交點(diǎn)、極值點(diǎn)等)作出函數(shù)圖像．

(3)推證，依托圖像確定推理證明的方向．

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題常涉及到零點(diǎn)存在問(wèn)題，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題，不等式問(wèn)題和含參問(wèn)題，主要解決對(duì)策有：

(1)對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在問(wèn)題，關(guān)鍵在零點(diǎn)兩側(cè)探求實(shí)數(shù)m、n(可以是一個(gè)具體的數(shù)、式或區(qū)間)，使f(n)f(m)<0．

①特值驗(yàn)證：根據(jù)函數(shù)式的特征，取特殊自變量m，驗(yàn)證是否滿足f(m)>0(或f(m)<0)．

②解不等式：當(dāng)不等式f(x)>0(或f(x)<0)可解時(shí)，可直接通過(guò)解不等式求出滿足f(m)>0(或f(m)<0)的實(shí)數(shù)m．

③放縮化歸：當(dāng)f(x)較復(fù)雜時(shí)，可將f(x)放縮為簡(jiǎn)單的函數(shù)g(x)，使f(x)>g(x)(或f(x)0(或g(m)<0)，則f(m)>g(m)>0(或f(m)

為便于放縮，可根據(jù)函數(shù)圖像和解析式特征，在某特定范圍內(nèi)進(jìn)行放縮．對(duì)含有指、對(duì)數(shù)函數(shù)的要注意運(yùn)用重要不等式ex≥x+1,lnx≤x-1進(jìn)行放縮．還要注意能否利用前問(wèn)結(jié)論進(jìn)行放縮．

(2)對(duì)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題，可再次求導(dǎo)，通過(guò)高一階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)研究函數(shù)性質(zhì)．若多次求導(dǎo)后的函數(shù)零點(diǎn)仍不可求，可將函數(shù)放縮或化歸轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的函數(shù)求解．

(3)對(duì)不等式問(wèn)題，要先構(gòu)建相應(yīng)函數(shù)再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解(證)．

(4)對(duì)含參問(wèn)題，要注意變量分離和分類討論的緣由．

教學(xué)中要講道理，多體悟，力求解題思路的自然形成.教師要啟迪學(xué)生利用直觀想象與推理論證相結(jié)合的方法，沿著求導(dǎo)→作圖→推證的基本路徑，通過(guò)特值驗(yàn)證或放縮化歸探求函數(shù)零點(diǎn)存在區(qū)間；通過(guò)再次求導(dǎo)或放縮化歸解決導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不可求問(wèn)題；通過(guò)構(gòu)建函數(shù)和求導(dǎo)求證(解)不等式；通過(guò)分類討論或變量分離求解含參問(wèn)題．