河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (475001) 盧 陽 張蒙蒙

在近年來的函數(shù)綜合題中，常常出現(xiàn)兩個(gè)在某個(gè)范圍內(nèi)都可以隨意變化的量，即雙變量函數(shù)問題.這類問題學(xué)生常常由于不知選擇哪個(gè)自變量作為研究對(duì)象而導(dǎo)致思路無法繼續(xù).為此，本文歸納梳理解決這類問題的思想和方法，對(duì)同學(xué)們攻克函數(shù)綜合問題將有所幫助.

一、變量歸一，消元構(gòu)造法

雙變量問題含有兩個(gè)變量，很自然的想法便是消去一個(gè)變量，變成一元函數(shù)問題.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

評(píng)注：該題兩元之間存在關(guān)系，故可消去其中一個(gè)變量，變成一元函數(shù)解決，該類問題近幾年經(jīng)常出現(xiàn)，如2016年課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ第21題做法和此題非常相似，難點(diǎn)在于找到各元之間的關(guān)系，讀者可以對(duì)比歸納.

評(píng)注：由上證不等式可以很快得出例1的答案.對(duì)數(shù)平均不等式的證明方法具有代表意義，很多問題都需要把雙變量所代表的運(yùn)算式看成整體去進(jìn)行消元.

例3 已知函數(shù)f(x)=aex+b在(0，f(0))處切線為x-y+1=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)設(shè)A(m,f(m)),B(n,f(n))，m

設(shè)h(t)=et-t-1，h′(t)=et-1>0,t>0.即h(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以h(t)>h(0)=0，故t0，即在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(t)>g(0)=0，即et-1

小結(jié)：例1、例2、例3都是通過消元去解決問題.不同的是，例1根據(jù)題目條件可以直接消去其中一個(gè)變量；例2，例3需要?jiǎng)?chuàng)造條件，把雙變量看成一個(gè)整體，我們稱為“變量歸一”思想.

二、委以重任，指定主元法

例3的方法帶有一定技巧性，有些學(xué)生不易想到，觀察到兩變量之間是相互獨(dú)立的，可以“矮子里面挑將軍”，選擇其中一個(gè)變量當(dāng)成主變量，視其他變量為參數(shù)進(jìn)行討論.

對(duì)例3再采用“指定主元法”進(jìn)行解決，把n當(dāng)成主元，把m當(dāng)成參數(shù).

分析：a,b地位一樣，直接操作，不知“力往何處使”.不妨將a當(dāng)成主元，著重使力.

解：先證右邊，即證alna-blnb>(a-b)(lnb+1).以a為主元，設(shè)h(a)=alna-(lnb+1)a-blnb+blnb+b,a∈(0,b).即h(a)=alna-(lnb+1)a+b,h′(a)=lna-lnb<0.所以h(a)在(0,b)上單調(diào)遞減，則h(a)>h(b)=0.所以當(dāng)a∈(0,b)時(shí)，alna-blnb>(a-b)(lnb+1).左邊同理可證.

小結(jié)：指定主元法在雙變量問題中經(jīng)常使用，前提是兩個(gè)變量之間“無牽無掛”.如例2也可以用指定主元法解決，有興趣的讀者可以試做.但若兩變量之間有聯(lián)系，如例1，那么便不能指定其中一個(gè)變量為主元進(jìn)行討論.

三、反客為主，變換主元法

雙變量問題中含有兩個(gè)變量，有時(shí)按照常規(guī)思維對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行區(qū)分主次，往往會(huì)陷入困境.此時(shí)若變換主元，反客為主，會(huì)有柳暗花明的感覺.

例5 (2017天津預(yù)賽題)實(shí)數(shù)a,b滿足|a|≤1,|a+b|≤1,求(a+1)(b+1)的取值范圍.

分析：此題a,b關(guān)系不好直接表達(dá)出來.若設(shè)t=a+b,則可將b消去.

評(píng)注：此題若把a(bǔ)看成主元，則是關(guān)于a的二次函數(shù)，需要對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行討論.轉(zhuǎn)變視角之后變成關(guān)于t的一次函數(shù)，則簡(jiǎn)化此題.

小結(jié)：從上述兩例可以看出若主元選擇得當(dāng)，將會(huì)降低思維難度，簡(jiǎn)化解題過程，主元變換最大的好處就是把復(fù)雜函數(shù)變成簡(jiǎn)單函數(shù).另外，主元變換蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化與化歸思想，體現(xiàn)了和諧統(tǒng)一，普遍聯(lián)系的哲學(xué)觀點(diǎn)，使用得當(dāng)，往往會(huì)使我們另眼看題.

四、利用性質(zhì)，單調(diào)性構(gòu)造法

雙變量問題多為不等式問題，而不等式的證明常常需要利用函數(shù)單調(diào)性來處理.因此，單調(diào)性構(gòu)造法顯得尤為重要.

例7 已知函數(shù)f(x)=(x-1)ex+ax2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明x1+x2<0.

分析：第(1)小題一般采用單調(diào)性的討論來判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，答案也是這么給出的.但如果利用函數(shù)與方程思想將零點(diǎn)問題變成兩函數(shù)交點(diǎn)問題便能化繁為簡(jiǎn)；第(2)小題是極值點(diǎn)偏移問題，需要將兩變量變到同一單調(diào)區(qū)間，再利用單調(diào)性證明.

解：(1)見分析，a>0.(2)不妨設(shè)x10.要證x1+x2<0，需證x1<-x2.因?yàn)楹瘮?shù)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，所以f(x1)>f(-x2),即證明f(-x2)<0.f(-x2)=(-x2-1)e-x2+ax2.又因f(x2)=(x2-1)ex2+ax2=0,得ax2=(1-x2)ex2,所以f(-x2)=(-x2-1)e-x2+(1-x2)ex2.令g(x)=(-x-1)e-x+(1-x)ex，x>0.g′(x)=x(e-x-ex)<0,g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減，又g(0)=0,所以g(x)<0,因此f(-x2)<0,即原命題成立.

評(píng)注：極值點(diǎn)偏移問題從2009年開始出現(xiàn)，到2016年再一次出現(xiàn)在全國(guó)卷上，屬于難題.最主要的難點(diǎn)在于需要將x1,x2變到同一單調(diào)區(qū)間，再聯(lián)系單調(diào)性進(jìn)行證明.在證明過程中，還有一個(gè)難點(diǎn)在于如何將x1，x2和a三個(gè)變量進(jìn)行消元變成一個(gè)變量，這里需要用到方法一的“變量歸一，消元構(gòu)造法.”

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)存在x1,x2∈(1,+∞)且x1≠x2，使

|f(x1)-f(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立，求k的取值范圍.

小結(jié)：以上兩例都是通過等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題加以解決.另外，例8也可以用指定主元法解決.讀者可以嘗試.

五、理清題意，轉(zhuǎn)化為最值問題法

分析：題意實(shí)際上是想說明無論f(x1)怎么取值，都有g(shù)(x2)比它大，也即f(x)max≤g(x)max.

評(píng)注：實(shí)際教學(xué)中很多學(xué)生對(duì)“任意、存在”問題難以理解，筆者將這類問題形象的表示為“孫悟空與如來佛”的故事.如例9，把f(x)看成孫悟空，把g(x)看成如來佛，題目可以表示為“無論孫悟空在M時(shí)期法術(shù)有多強(qiáng)，在N時(shí)期都存在某種狀態(tài)的如來佛可以擊敗他”，即M時(shí)期孫悟空法術(shù)最大值≤N時(shí)期的如來佛法術(shù)最大值,也即f(x)max≤

g(x)max.

總結(jié)：函數(shù)題中的雙變量問題是近年來高考中的“寵兒”，題型多樣，方法多變，對(duì)思維能力和運(yùn)算能力要求較高.在學(xué)習(xí)這類問題時(shí)需要通過練習(xí)熟悉題型，更重要的是領(lǐng)悟每種方法背后的思想，從而進(jìn)行歸納整理.筆者給出處理這類問題的五種常見方法與其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，旨在拋磚引玉，希望引起讀者思考.