浙江省平陽中學(xué) (325400) 何龍泉

本文所述的遞推數(shù)列是指由遞推式an+1=f(an)在給定首項(xiàng)a1后得到的數(shù)列，其中f(x)為x的函數(shù).這類數(shù)列有一個(gè)很好的性質(zhì)，就是數(shù)列的項(xiàng)能夠在數(shù)軸上直觀地表示出來，特別是用幾何畫板能動態(tài)地演示數(shù)列的變化，從而可觀察、歸納數(shù)列的性質(zhì)，并進(jìn)一步給出證明.考慮到直觀想象素養(yǎng)養(yǎng)成的需要，這種表示對于理解數(shù)列是有重要意義的.

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1]，包括借助空間形式認(rèn)識事物的形態(tài)變化和運(yùn)動規(guī)律.數(shù)列的這種直觀表示是直觀想象這個(gè)界定的一種很好闡釋.

1.遞推數(shù)列直觀表示的理論基礎(chǔ)

(1)當(dāng)|k|>1時(shí)，an→∞(n→+∞)，趨向于正無窮還是負(fù)無窮由x1的符號決定.進(jìn)一步，我們有：當(dāng)k>1，且a>m時(shí)，數(shù)列{an}遞增；當(dāng)k>1，且a

(2)當(dāng)|k|<1時(shí)，an→m(n→+∞).具體地說：當(dāng)0m時(shí)，數(shù)列{an}遞減；

當(dāng)0

(3)當(dāng)k=-1時(shí)，{an}是一個(gè)周期為2的周期數(shù)列.即a2n-1=a，a2n=b-a.

(4)當(dāng)k=1時(shí)，{an}是公差為b的等差數(shù)列，an=a+(n-1)b.

以上這些結(jié)論都是容易證明的，更容易在坐標(biāo)系里直觀的表示.下圖1和2分別是當(dāng)0m時(shí)，和當(dāng)-1m時(shí)兩種情形.

圖1 圖2

由于遞推式an+1=kan+b是由迭代an+1=f(an)和函數(shù)f(x)=kx+b構(gòu)成.把a(bǔ)1代入函數(shù)解析式得到a2，以圖1為例，為作圖和行文方便，在x軸上以a1為橫坐標(biāo)的點(diǎn)，就簡記為a1，過a1作x軸垂線，與f(x)圖像交于一點(diǎn)，由于該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a2，記該點(diǎn)為a2，過a2作y軸的垂線，交直線y=x于A，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是a2.過A作x軸的垂線，垂足的橫坐標(biāo)是a2，這樣我們就把a(bǔ)2標(biāo)注在x軸上.依此類推，可以把遞推數(shù)列{an}的各項(xiàng)對應(yīng)的點(diǎn)標(biāo)注到x軸上.這個(gè)方法原來是動力系統(tǒng)[2]中的方法，后來被引入到中學(xué)數(shù)學(xué)的研究中[3]，大大拓寬了對遞推數(shù)列的研究，特別是利用幾何畫板或Geogebra，能直觀的看出數(shù)列的很多性質(zhì)，從而進(jìn)行證明.這正是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的直觀想象.

上述例子只是一種特殊情況，事實(shí)上，上例中

|k|<1這種情況下數(shù)列的性質(zhì)具有一定的普遍性，為了方便，我們給出下面定理.

定理設(shè)x0是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，則當(dāng)|f′(x0)|<1時(shí)，通過迭代an+1=f(an)(a1在x0附近)得到的數(shù)列{an}極限存在，并以x0為極限.反之，當(dāng)|f′(x)|>1時(shí)，通過迭代an+1=f(an)(a1在x0附近)得到的數(shù)列{an}不收斂于x0(注意：定理中f′(x0)是導(dǎo)數(shù)).

定義設(shè)x0是函數(shù)f(x)的不動點(diǎn)，則當(dāng)|f′(x0)|<1時(shí)，稱x0為穩(wěn)定的不動點(diǎn)，當(dāng)

|f′(x)|>1時(shí)，稱x0為不穩(wěn)定的不動點(diǎn).

才能保證不動點(diǎn)是穩(wěn)定的.

當(dāng)|f′(x0)|=1時(shí)，情況比較復(fù)雜，上面的遞推式已表現(xiàn)出這種復(fù)雜性，而其它的遞推式，則更為復(fù)雜.

2、遞推數(shù)列直觀表示的實(shí)例

我們通過實(shí)例來說明如何直觀地表示數(shù)列.

圖3 圖4

(2)由{an}遞減，知道a-1>0，即a>1.

圖5

我們當(dāng)然還可以研究更深入的性質(zhì).

這就像數(shù)學(xué)開放題一樣，在給定條件下有很多結(jié)論.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段，上面的例子生動地展示了直觀想象的這幾個(gè)方面.直觀想象也是探索和形成論證思路進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)[1].

三、遞推數(shù)列直觀表示的教學(xué)價(jià)值

通過以上兩個(gè)典型實(shí)例的分析，我們已經(jīng)看到了數(shù)列在數(shù)軸上直觀表示的兩種(都是收斂的)典型情況，并且通過a1的變化，可以觀察到數(shù)列性質(zhì)(如單調(diào)性，斂散性等)的相應(yīng)變化.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)和提出新的問題、并分析和解決(證明)問題.

在教學(xué)中若能充分利用遞推數(shù)列的這種直觀，在作圖、觀察中養(yǎng)成思考習(xí)慣，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列新的性質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.我們再看下面的問題.

數(shù)列{xn}滿足x1=a，xn+1=uxn(1-xn)(u為非零參數(shù))，我們來初步探討一下這個(gè)數(shù)列的性質(zhì)，由于其性質(zhì)如同一個(gè)大花園里的花朵一樣過于豐富多彩[2]，這里僅摘幾朵欣賞.

圖6 圖7

通過這個(gè)過程，學(xué)生不僅能看到數(shù)列的動態(tài)變化，落實(shí)直觀想象素養(yǎng)，提高邏輯推理能力，提升數(shù)形結(jié)合的能力，發(fā)展幾何直觀，增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀思考問題的意識，形成數(shù)學(xué)直觀，在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).