喬仁杰，宋庭新

(湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430068)

0 引言

在現(xiàn)代制造企業(yè)中，產(chǎn)品制造過程中的質(zhì)量控制無疑是企業(yè)最核心的競爭力之一。1924年休哈特(Hugh Hart)提出的控制圖理論雖然能夠很直觀地反映質(zhì)量數(shù)據(jù)的波動情況，但卻忽略了歷史數(shù)據(jù)對當(dāng)前數(shù)據(jù)的累積影響，對于過程的小偏移檢出力較弱。所以，采取聯(lián)合休哈特累積和(CUSUM)控制圖，增加對觀測值與目標(biāo)值之差的累積和來描點(diǎn)，利用累積數(shù)據(jù)，可以提升對質(zhì)量狀態(tài)小偏移的檢出能力[1-2]。近年來，許多學(xué)者對質(zhì)量控制理論進(jìn)行了大量研究，如龔立雄等利用信息化技術(shù)設(shè)計了一套完整的質(zhì)量信息系統(tǒng)來對質(zhì)量進(jìn)行實(shí)時監(jiān)控與分析[3]，很好地解決了實(shí)時質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)控，但不能對未來質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測與分析。江宇平等提出的一種基于賦值型誤差傳遞網(wǎng)絡(luò)的多工序加工質(zhì)量預(yù)測建模方法，能有效預(yù)測加工誤差[4]，但這種預(yù)測方法主要針對加工過程中的誤差，且過程較繁瑣，難以普及。R語言作為一種專門為數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計制圖開發(fā)的開源編程語言，可以快速生成質(zhì)量控制圖并對質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測。本文結(jié)合汽車零部件制造中花鍵軸的實(shí)例，利用R語言繪制聯(lián)合休哈特累積和控制圖并針對花鍵軸特點(diǎn)建模，選取Holt-Winters質(zhì)量預(yù)測模型來對未來質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測。這種方法可以很好地簡化質(zhì)量預(yù)測過程，提高質(zhì)量預(yù)測效率，為解決質(zhì)量預(yù)測難以在中小型企業(yè)中普及的問題提供了有效的思路。

1 質(zhì)量控制理論

1.1 休哈特控制理論

休哈特控制理論主要通過采集質(zhì)量數(shù)據(jù)樣本，計算標(biāo)準(zhǔn)差σ和管理上限UCL及下限LCL，當(dāng)加工工序處于穩(wěn)定狀態(tài)時，隨機(jī)誤差具有一定的分布規(guī)律，總體上服從正態(tài)分布N(μ，σ)或近似正態(tài)分布。在正態(tài)分布的±3σ范圍內(nèi)，樣品特征值出現(xiàn)在μ+3σ與μ-3σ上下限之間的概率為99.73%，超出該部分的概率僅為0.27%。其計算步驟如下：

(1)

(2)求樣品極差R或者標(biāo)準(zhǔn)差S，其中S代表標(biāo)準(zhǔn)差σ。

(2)

(3)確定控制界限。一般控制界限選取為3σ標(biāo)準(zhǔn)差，即：

(3)

按照計算的參數(shù)繪制休哈特控制圖(見圖1)，圖中折線代表產(chǎn)品質(zhì)量的波動，在管制上限UCL與管制下限LCL內(nèi)的波動屬于可控狀態(tài)，當(dāng)超出則說明失控。

圖1 休哈特控制圖

1.2 累積和控制理論

累積和控制圖是基于與歷史數(shù)據(jù)比較的結(jié)果，將多次數(shù)據(jù)的波動進(jìn)行整合來放大波動效果，使累積和控制圖對于均值微小的偏移過程更加敏感。其一般步驟如下：

(1)求樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差σLT；

(4)

(2)求累積和圖，其中Ku、Kl表示上限值和下限值，上偏差mszu與下偏差mszl參數(shù)(一般取1σ)；

(5)

(6)

(7)

繪制的累積和控制圖中有上累積線與下累積線兩條折線，兩條不同的繪圖點(diǎn)讓累積和控制圖可以同時看到累積和上下偏移目標(biāo)的情況，刻畫了微小偏移的波動(見圖2)。

圖2 累積和控制圖

通過累積和控制圖發(fā)現(xiàn)大約在10個數(shù)據(jù)前上累積和與下累積和基本都趨于零，說明此時數(shù)據(jù)比較平穩(wěn)，而之后上累積大幅的向上偏移并超過了UCL控制上線，此時說明數(shù)據(jù)整體向上偏移異常，系統(tǒng)處于失控狀態(tài)。所以，通過聯(lián)合休哈特與累積和控制圖既可以直觀地反應(yīng)數(shù)據(jù)波動情況，又可以刻畫歷史數(shù)據(jù)的波動影響及對微小波動的敏感性，提高質(zhì)量控制的效率及準(zhǔn)確率。

2 案例研究

在重型汽車車橋中，傳動軸聯(lián)結(jié)一般采用漸開線花鍵聯(lián)結(jié)，因此花鍵的加工質(zhì)量非常關(guān)鍵[5]。某汽車零部件企業(yè)生產(chǎn)的花鍵軸產(chǎn)品如圖3所示，其外花鍵測量棒間距均值要求為μ0=45.550mm，測量20組外花鍵跨棒距參數(shù)D作為統(tǒng)計樣本。

圖3 花鍵軸與外花鍵跨棒距D

取樣本量為20，測得質(zhì)量數(shù)據(jù)矩陣為：

在R語言的集成開發(fā)環(huán)境RStudio中進(jìn)行編程和統(tǒng)計制圖。使用R語言的sd()函數(shù)求出數(shù)據(jù)矩陣中的標(biāo)準(zhǔn)差σ = 0.00590517，采用3σ的管控系數(shù)，則管控中心線CL =μ0= 45.550 mm，上、下控制限為：UCL = CL+3σ = 45.53228 mm，LCL = CL-3σ = 45.56772 mm。再通過plot()函數(shù)將收集的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行描點(diǎn)及繪制，并附加abline()函數(shù)繪制控制圖的管控線UCL和LCL，繪制的控制圖如圖4所示。

圖4 在RStudio中繪制休哈特控制圖

圖4中的數(shù)據(jù)均處于管控上線UCL與管控下線LCL的范圍之中，說明此時數(shù)據(jù)沒有明顯超出控制，但從圖4中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)存在向上偏移的趨勢。因此聯(lián)合使用累積和CUSUM控制，如圖5所示。

圖5 聯(lián)合累積和CUSUM控制圖

從圖5中可以發(fā)現(xiàn)11號樣本之前的累積上下線都處于0左右，說明數(shù)據(jù)沒有明顯的偏移，而11號之后下累積線一直為0，上累積線大幅度向上偏移，說明此時數(shù)據(jù)整體向上偏移，從第19個數(shù)據(jù)開始，數(shù)據(jù)整體向上偏移超過控制上線，說明此時質(zhì)量數(shù)據(jù)處于失控狀態(tài)，需要重新檢查系統(tǒng)找出問題原因，之后再進(jìn)行系統(tǒng)評估。

3 質(zhì)量預(yù)測

3.1 Holt-Winters指數(shù)平滑法

目前，在質(zhì)量預(yù)測中最常用的時間序列分析方法是指數(shù)平滑法，該方法通過對不同時間序列數(shù)據(jù)的權(quán)重分配以及從近期到遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)逐漸賦予收斂至零的權(quán)數(shù)，來合理利用各個時間段上的數(shù)據(jù)，從而對未來質(zhì)量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測[6-8]。不同次數(shù)的指數(shù)平滑對應(yīng)不同預(yù)測模型。一次指數(shù)平滑適用于無明顯趨勢和季節(jié)性的時間序列；二次指數(shù)平滑在第一次的基礎(chǔ)上再進(jìn)行指數(shù)平滑，增加了趨勢參數(shù)但沒有季節(jié)性的序列；三次指數(shù)平滑在兩次指數(shù)平滑算法上增加季節(jié)參數(shù)P來對趨勢進(jìn)行預(yù)測，更能體現(xiàn)周期性變化的規(guī)律。三次指數(shù)平滑也叫Holt-Winters指數(shù)平滑法。Holt-Winters指數(shù)平滑法分為累加和累乘兩種，累加是根據(jù)線性時間趨勢與加法模型序列，累乘是根據(jù)線性時間趨勢與乘法模型序列。由于不同季度不合格品是個數(shù)的對比，比如夏季比冬季的不合格品數(shù)多30件，所以選用累加模型。而累乘一般適用于大量數(shù)據(jù)的百分比比較[9-10]。

基于累加的Holt-Winters指數(shù)平滑公式為：

si=α(xi-pi-k)+(1-α)(si-1-ti-1)

(8)

ti=β(si-si-1)+(1-β)ti-1

(9)

pi=γ(xi-si)+(1-γ)pi-k(k=周期)

(10)

其累加Holt-Winter預(yù)測公式為：

xi+h=si+hti+pi-k+(hmodk)

(11)

其中，公式(8)中的α是平滑參數(shù)，t用來保留平滑趨勢，p為季節(jié)參數(shù)，si則是i個數(shù)據(jù)的平滑值，取值為[0,1]。α越接近0，說明數(shù)據(jù)平滑后越接近i個數(shù)據(jù)的平均值，數(shù)據(jù)越平滑；α越接近1說明平滑后的值越接近當(dāng)前時間的數(shù)據(jù)值，數(shù)據(jù)越不平滑。α的值通常通過具體情況進(jìn)行嘗試來確定最佳值。在式(8)～式(11)中，α，β，γ的值均應(yīng)該多次測試與實(shí)驗，使其最佳值位于[0,1]之間。s，t，p的初始值的選取對于整體算法的影響較小，通常取s0=x0,t0=x1-x1,在累加中p值默認(rèn)為0[11-12]。

3.2 Holt-Winters預(yù)測過程

在R語言中預(yù)置有Holt-Winters模型包，通過調(diào)用包內(nèi)的函數(shù)并配置相關(guān)參數(shù)就能建立Holt-Winters模型。將采集到的上述花鍵軸跨棒距數(shù)據(jù)D導(dǎo)入RStudio編譯器中，利用R語言的ts()函數(shù)對所取數(shù)據(jù)進(jìn)行時間序列化，取10為底的log對數(shù)，命名為測量距d，增加數(shù)據(jù)波動的敏感性。再調(diào)用plot()函數(shù)打印時間序列化后的數(shù)據(jù)圖如圖6所示。

圖6 時間序列化圖

從圖6可以看出，經(jīng)過時間序列化后的圖形趨勢變化更加明顯。時間序列t表示在時間序列下的新坐標(biāo)，1.0表示第一個時間點(diǎn)獲取的質(zhì)量數(shù)據(jù)，隨后表示每經(jīng)過0.1個時間段獲取的新的數(shù)據(jù)，這樣20個樣本數(shù)據(jù)分別與時間序列1.0～2.9之間的時間點(diǎn)對應(yīng)。

接著建立Holt-Winters模型，利用R語言中的Holt-Winters()函數(shù)，將時間序列轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)建模，將數(shù)據(jù)過濾為Holt-Winters模型下的趨勢圖(見圖7)，其中無圓點(diǎn)的折線表示原數(shù)據(jù)經(jīng)過Holt-Winters三次指數(shù)平滑計算后的觀察值，而圓點(diǎn)折線表示對現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行Holt-Winters過濾后的趨勢變化。

圖7 Holt-Winters模型圖

根據(jù)圖7中的Holt-Winters模型發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)趨勢與原數(shù)據(jù)基本吻合，再調(diào)用R語言包中的forecast()函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，其中需要設(shè)置的參數(shù)h代表預(yù)測多少個數(shù)據(jù)(這里取h=8代表預(yù)測8個數(shù)據(jù))，預(yù)測結(jié)果見表1。

表1 Holt-Winters預(yù)測結(jié)果

表1中，時間序列3.0對應(yīng)的預(yù)測數(shù)據(jù)3.819082便是對第21個未來樣本的預(yù)測值，以此類推。Lo 80與Hi 80表示預(yù)測的一級波動區(qū)間即80%的置信區(qū)間為(Lo 80, Ho 80)，同理Lo95與Hi95表示二級波動區(qū)間，其范圍比一級波動區(qū)間更大，可信度更高但數(shù)據(jù)預(yù)測更不準(zhǔn)確，波動區(qū)間為實(shí)際數(shù)據(jù)波動提供參考。最后根據(jù)質(zhì)量控制理論計算出來的UCL與LCL管控上下線取對數(shù)后的新UCL與LCL上下線進(jìn)行質(zhì)量管控，通過abline()函數(shù)附加在原圖上，再將預(yù)測值與原數(shù)據(jù)值覆蓋一并繪圖，如圖8所示。

圖8 預(yù)測數(shù)據(jù)及波動區(qū)間

根據(jù)圖8發(fā)現(xiàn)當(dāng)前的數(shù)據(jù)(圓點(diǎn)折線)并沒有超出UCL與LCL管控線，但是根據(jù)預(yù)測的結(jié)果(無圓點(diǎn)折線)說明:預(yù)測值越來越向UCL管控上線偏移，最終將會超出管控上線，未來可能出現(xiàn)質(zhì)量問題。所以此時應(yīng)該提前預(yù)警，對可能存在的質(zhì)量問題做出檢測與排查，保證未來質(zhì)量也能處于可控狀態(tài)，避免質(zhì)量問題的發(fā)生。

4 結(jié)論

本文基于R語言結(jié)合聯(lián)合休哈特累積和控制理論，對花鍵軸制造過程進(jìn)行質(zhì)量控制，并高效地建立Holt-Winters模型進(jìn)行質(zhì)量預(yù)測。對未來可能發(fā)生的質(zhì)量問題進(jìn)行預(yù)警與排查，將質(zhì)量問題解決在萌芽之中。本文質(zhì)量控制與預(yù)測方法成本低廉，便捷高效，適合向中小型制造企業(yè)進(jìn)行推廣與借鑒。下一步，還可以深入研究R語言與質(zhì)量管理信息系統(tǒng)(QMIS)的集成問題，將質(zhì)量控制理論和預(yù)測方法融入到QMIS的開發(fā)中，以提高企業(yè)質(zhì)量管理水平和質(zhì)量信息化目標(biāo)，為實(shí)際生產(chǎn)提供有益的管理工具和手段。